人教版高中数学必修二直线与平面垂直的性质公开课优质教案
2.3.3 直线与平面垂直的性质
一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（ 3 ）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
三、教学重点与难点
直线与平面垂直的性质定理及其应用.
四、课时安排
1 课时
五、教学设计
（一）复习
直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相
如图 1，表示方法为： a ⊥ α.
a 由直线与平面垂直的定义不难得出：
b ⊥ a.
b （二）导入新课
思路 1.（情境导入 ）
大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》 ，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵 守卫着祖国疆土 .一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？
思路 2.（事例导入 ）
如图 2，长方体 ABCD —A ′B ′C ′中D ，′棱 AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直所在的平面
们之间具有什么位置关系？
三）推进新课、新知探究、提出问题
① 回忆空间两直线平行的定义
② 判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？
③ 找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系
ABCD ，它
图1
图2
④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.
⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？
讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证
明方法多用反证法
③如图4，长方体ABCD —A′B′C′中D，′棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面
ABCD ，它们之间具有什么位置关系？
棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面
ABCD ，它们之间互相平行
④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：
垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行
a
直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥ a.
b
直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图 5.
⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内
在联系
四）应用示例
思路1
例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平
行解:已知a⊥α,b⊥α.
求证：a∥ b.
②如图3，同垂直于
图6
证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O作,直线b′，使O∈b′,∥a b′ 直线b′与直线 b 确定平面β，设α∩β=则c, O∈ c.
∵a⊥α,b⊥α∴,a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,b β,b ′β,
a∥ b′显然不可能，因此b∥ a.
例 2 如图7，已知α∩β =l,E⊥A α于点A,EB ⊥β于点B,a α,a⊥AB.
求证:a∥ l.
EA ,EB l EA
证明：l ⊥平面EAB.
l l EB
又∵ a α,EA⊥α∴,a⊥EA.
又∵ a⊥AB, ∴ a⊥平面EAB.
∴a∥l.
思路2
例 1 如图8,已知直线a⊥b，b⊥ α，a α.
求证：a∥ α.
证明：在直线 a 上取一点 A ，过 A 作b′∥ b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作
平面
β，设 α∩β =a ′,
∵ b ′∥b ， a ⊥b,∴ a ⊥ b ′∵.b ⊥ α，b ′∥ b,
∴ b ′⊥ α.
又∵ a ′ α∴,b ′⊥ a ′.
由 a ，b ′，a ′都在平面 β内，且 b ′⊥ a ， b ′⊥ a ′知 a ∥ a ′∴.a ∥ α.
例 2 如图 9，已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面， M 、N 分别是 AB 、PC 的中点 .
（ 1）求证： MN ⊥CD ；
（2）若∠ PDA=45° ，求证 :MN ⊥面 PCD.
图9
1 证明： (1)取 PD 中点 E,又 N 为
PC 中点 ,连接 NE,则 NE ∥CD,NE= CD. 2
1 又∵ AM ∥ CD,AM= CD, 2
∴ AM NE.
∴四边形 AMNE 为平行四边形 .
∴MN ∥AE. PA 平面 ABCD CD PA
CD 平面 ADP ∵ CD 平面 ABCD CD AD CD ⊥AE.
AE 平面 ADP
(2)当∠ PDA=45°时 ,Rt △PAD 为等腰直角三角形 ,
则 AE ⊥ PD.又 MN ∥AE,
∴MN ⊥PD,PD ∩CD=D.
∴MN ⊥平面 PCD.
变式训练
已知 a 、b 、c 是平面 α内相交于一点 O 的三条直线，而直线 l 和平面 α相交，并且和 a 、b 、c 三条直 线成等角 .求证： l ⊥ α.