利用频率分布表求中位数

我校高三年级进行了一次水平测试．用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩，准备进行分析和研究．经统计成绩的分组及各组的频数如下：

分组频数频率

[40，50） 2

[50，60） 3

[60，70）10

[70，80）15

[80，90）12

[90，100] 8

合计50

（Ⅰ）完成样本的频率分布表；画出频率分布直方图．

（Ⅱ）估计成绩在85分以下的学生比例；

（Ⅲ）请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数．（精确到0.01）（Ⅰ）频率分布表

分组频数频率

[40，50） 2 0.04

[50，60） 3 0.06

[60，70）10 0.2

[70，80）15 0.3

[80，90）12 0.24

[90，100] 8 0.16

合计50

分析

（I）由统计成绩的分组及各组的频数分别求解各组的频率，完成上表；

（II）根据组距，频率，直接画出频率分布直方图；

（II）根据众数、中位数、平均数的概念计算；由成绩表即可得出各年级的成绩的平均数、众数及中位数；根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标进行解题即可，利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．

解答

解：（Ⅰ）频率分布表

分组频数频率

[40，50） 2 0.04

[50，60） 3 0.06

[60，70）10 0.2

[70，80）15 0.3

[80，90）12 0.24

[90，100] 8 0.16

合计50 1

画频率分布直方图：

（Ⅱ）成绩在85分以下的学生比例：72%

（Ⅲ）众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，

∴中间的一个矩形最高，故70与80的中点是75，众数是75；

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标

第一个矩形的面积是0.04，第二个矩形的面积是0.06，第三个矩形的面积是0. 2，最后二个矩形的面积和是0.4，故将第四个矩形分成4：3即可，∴中位数是76.67；

所有的数据的平均数为45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+65×0.16

=76.2．

故众数为75、中位数约为76.67、平均数为76.2．

为了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次抽样调查，根据所得数据整理后列出了频率分布表如下：

组别频数频率

145.5～149.5 1 0.02

149.5～153.5 4 0.08

153.5～157.5 22 0.44

157.5～161.5 13 0.26

161.5～165.5 8 0.16

165.5～169.5 m n

合计 M N

（1）求出表中所表示的数m，n，M，N分别是多少？

（2）画出频率分布直方图和频率分布折线图．

（3）若要从中再用分层抽样方法抽出10人作进一步调查，则身高在[153.5，161.5）范围内的应抽出多少人？

（4）根据频率分布直方图，分别求出被测女生身高的众数，中位数和平均数？（结果保留一位小数）

考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数．

专题：计算题；概率与统计．

分析：（1）由第一组中频率与频数的关系

频

数

M

=频率求出M，进一步得出m，n，N即可．

（2）计算出每组的纵坐标=

频

率

组

距

，完成频率分布直方图和频率分布折线图．

（3）先求出抽样比和身高在[153.5，161.5）范围内的人数，再求身高在[153.5，161.5）范围内的应抽出多少人．

（4）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．

解答：解：（1）M=

1

0.02

=50，m=50-（1+4+22+13+8）=2，N=1，n=

m

M

=

2

50

=0.04．

∴m=2，n=0.04，M=50，N=1．…（4分）

（2）作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如下图．

由此得到折线图为：

…（7分）

（3）f=

10

50

=0.2，

身高在[153.5，161.5）范围内的人数为22+13=35，

∴身高在[153.5，161.5）范围内的应抽出35×0.2=7人．…（9分）（4）根据频率分布直方图，知由图知，最高小矩形的中点横坐标是153.5+157.5

2

=155.5，

故被测女生身高的众数为155.5，

前两个矩形的面积为（0.005+0.02）×4=0.1，

0.5-0.1=0.4

0.4

0.44

×4≈3.6，

∴中位数为153.5+3.6=157.1．

平均数=147.5×0.02+151.5×0.08+155.5×0.44+159.5×0.26+163.5×0.16+167.5×0.04=157.8…（14分）．

点评：本题主要考查了频数分布直方图，在解题时要能根据直方图中的已知数据求出未知数据是本题的关键．