1.2.3_空间中的垂直关系(2)

4． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB=BC=3，B1B=4，连接B1C，过B作 BE⊥B1C，交B1C于F，交CC1于E， 求证： 平面BDE⊥平面A1BCD1。 证明：连接AC， ∵ABCD－A1B1C1D1是长 方体， ∴ AA1⊥面ABCD， 又∵ ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD，
又AC是A1C在面ABCD上的射影，由三垂 线定理得 A1C⊥BD.
又A1B1⊥面B1BCC1，且B1C是A1C在面 B1BCC1上的射影，BE⊥B1C，
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∴ A1C⊥BE，A1C⊥面BDE， 又A1C
面A1BCD1，
∴ 平面BDE⊥平面A1BCD1.
证明：（1）如图，因为AD⊥BD， AD⊥DC， 所以AD⊥平面BDC，
因为平面ABD和ACD都过AD， 所以平面ABD⊥平面BDC， 平面ACD⊥平面BDC；
（2）在原图中，直角△BAC，因为 AB=AC=a，所以BC= 2 a， 所以 BD=DC=
2 2
a，
△BDC是等腰直角三角形。 所以BC= 2 BD= a △BDC是等腰直角三角形。 所以AB=AC=BC， 因此∠BAC=60°.
2． 平面与平面垂直的判定定理：
①文字语言：如果一个平面过另一个平面 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言：
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， AB α⊥β。 α
3．平面与平面垂直的性质定理：
①文字语言：如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面； ②图形语言： ③符号语言：α⊥β,α∩β=a，AB AB⊥a，且垂足为B， AB⊥β. α，
已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD，BA α，BA⊥CD，B为垂足， 求证：BA⊥β. 证明：在平面β内过点B作BE⊥CD， 因为α⊥β， 所以BA⊥BE， 又因为BA⊥CD， CD∩BE=B， 所以BA⊥β。
例1．已知：平面α⊥平面β，在α与β的交 线上取线段AB=4cm，AC，BD分别在平面 α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且 AC=3cm，BD=12cm，求CD的长。 解：连接BC， 因为BD⊥AB，直线AB是 两个互相垂直的平面α 和 β的交线，
1.2.3空间中的垂直关系(2)
平面与平面垂直
1． 定义：如果两个相交平面的交线与第 三个平面垂直，又这两个平面与第三个平 面相交所得的两条直线互相垂直，就称这 两个平面互相垂直。
两个平面α，β互相垂直， 记作：α⊥β。
两个平面互相垂直的画法： 画两个互相垂直的平面，把直立平面 的竖边画成和水平面的横边垂直，如图 所示，平面α和平面β垂直，记作：α⊥β。
3. 如图所示：四边形ABCD是平行四边形， 直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点， 求 证：平面EBD⊥平面ABCD. 证明：连接AC，BD，交点为F， 连接EF，EF是△SAC的中位线， ∴ EF//SC.
∵ SC⊥平面ABCD，
∴ EF⊥平面ABCD，
又EF
平面BDE，
∴ 平面BDE⊥平面ABCD.
练习题
1． 下列命题中正确的是（ C ） （A）平面α和β分别过两条互相垂直的直 线，则α⊥β （B）若平面α内的一条直线垂直于平面β 内的两条平行直线，则α⊥β （C）若平面α内的一条直线垂直于平面β 内的两条相交直线，则α⊥β （D）若平面α内的一条直线垂直于平面β 内的无数条直线，则α⊥β
2．设两个平面互相垂直，则（ B ） （A）一个平面内的任何一条直线都垂直 于另一个平面 （B）过交线上一点垂直于一个平面的直 线必在另一个平面内 （C）过交线上一点垂直于交线的直线必 垂直于另一个平面 （D）分别在两个平面内的两条直线互相 垂直
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 直角三角形， 在直角△BAC中，BC= 32 42 5 在直角△CBD中，CD= 52 122 13 所以CD的长为13cm.
例5．已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD 是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC 成直角，求证： （1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥ 平面BDC； （2）∠BAC=60°.