圆锥曲线的切线方程总结附证明

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆222r y x =+上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200r y y x x =+。那么，在圆锥曲线中，又将如何我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点),(00y x M 切线方

程为12020=+b

y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122

22=+b y a x 的外部时，过M

引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b

y

y a x x

证明：（1）22221x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b

'

+=，得020

2

x x b x y a y ='

=-，由点斜式得切线方程为20

0020()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。

（2）设过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，

切点分别为),(11y x A 、),(22y x B 。由（1）可知过A 、B 两点的切线方程

分别为：12121=+b y y a x x 、12222=+b y

y a x x 。又因),(00y x M 是两条切线的交点，

所以有1201201=+b y y a x x 、1202202=+b

y

y a x x 。观察以上两个等式，发现

),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b

y

y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的

直线方程为12020=+b

y

y a x x 。

评注：因),(00y x M 在椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 上的位置（在椭圆

上或椭圆外）的不同，同一方程12020=+b y

y a x x 表示直线的几何意义亦不同。

联想二：（1）过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上一点),(00y x M 切

线方程为12020=-b

y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122

22=-b y a x 的外部时，

过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b

y

y a x x 。（证明

同上）

联想三：（1）过圆锥曲线220Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点),(00y x M 的切线方程为00

00022

x x y y Ax x Cy y D

E F ++++++=；

（2）当),(00y x M 在圆锥曲线220Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：

00

00022

x x y y Ax x Cy y D

E F ++++++= 证明：（1）两边对x 求导，得220Ax Cyy D Ey ''+++= 得0

0022x x Ax D y Cy E =+'

=-

+，由点斜式得切线方程为00002()2Ax D

y y x x Cy E

+-=-

-+ 化简得2200000022220Cy y Cy Ey Ey Ax x Dx Ax Dx -+-++--=………………….① 因

为

2200000

Ax Cy Dx Ey F ++++=…………………………………………………

②

由①－②×2可求得切线方程为：00

00022

x x y y Ax x Cy y D

E F ++++++= （2）同联想一（2）可证。结论亦成立。

根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点

),(00y x M 的切线方程为：把原方程中的2x 用0x x 代换，2y 用0y y 代换。若

原方程中含有x 或y 的一次项，把x 用

02x x +代换，y 用0

2

y y +代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点),(00y x M 在曲线外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：

00

00022

x x y y Ax x Cy y D

E F ++++++= 通过以上联想可得出以下几个推论：

推论1：（1）过抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x M 切线方程为

)(00x x p y y +=；（2）过抛物线)0(22>=p px y 的外部一点),(00y x M 引

两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00x x p y y +=

推论2：（1）过抛物线)0(22>-=p px y 上一点),(00y x M 切线方程为)(00x x p y y +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p px y 的外部一点),(00y x M 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00x x p y y +-=。

推论3：（1）过抛物线)0(22>=p py x 上一点),(00y x M 切线方程为)(00y y p x x +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p py x 的外部一点),(00y x M 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00y y p x x +-=。

推论4：（1）过抛物线)0(22>-=p py x 上一点),(00y x M 切线方程为)(00y y p x x +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p py x 的外部一点),(00y x M 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00y y p x x +-=。

在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。