Chapter5_广义矩估计

f
(wt
, θ)
0
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即
mˆ wt ,θ prmwt ,θ
Step3 ： 令 样 本 矩 =总 体 矩 ， 得 到 矩 方 程 ， 解 方 程 （ 组 ） 得 到 未 知 参 数 的 矩 估 计 量 。 在很多情况下，我们可以根据矩条件构建矩方程，然后求解未知参数。一般情况下，这 些矩条件都是可以直接观察到（或假定）的。
E x1t 'ut 0
10
E x2t 'ut 0
11
设x2的工具变量为z2，z2包括K2个工具变量，z2满足
Corr z2t , x2t 0
12
Corr z2t ,ut 0
13
（10）（13）共同构成了新的矩条件，定义
zt x1t , z2t 1K
z为工具变量，其中x1t仍然作为自身的工具变量，而z2t作为x2t的工具变量。
16
t1
t1
1.2 广义矩
广义矩（Generalized Moment Method）是由矩方法发展而来，其奠基之作是 Hansen（1982）。
X
k i
k
1,
2,
,K
7
上式确定了包含 K 个未知参数 θ 1,2, ,K 的 K 个方程式，求解上式所构成的方程组就
可以得到 θ 1,2, ,K 的一组解 θˆ ˆ1,ˆ2,,ˆk 。因为 mk 是随机变量，故解得的 θˆ 也是
随机变量。这种参数估计方法称为矩方法， θˆ ˆ1,ˆ2,,ˆk 即是 θ 1,2, ,K 的矩估计
件可以写为： E[ f (wt ,θ)] 0 。 给定观测样本 ( y1, y2, , yT ) ，总体矩无法计算。但可以计算总体矩条件对应的样本矩条
件。
Step2：样本矩条件（sample moment condition）： mˆ wt ,θ 0 。一般情况下，矩条件可
以写为：
1
T
T t 1
量。
定理：X 的分布函数 F(X)存在 2ν 阶矩，则对样本的 ν 阶原点矩 mv，则矩的期望和方差为：
Em
，Varm
1 n
2
2
8
证明：
E
m
E
1 n
n i1
X i
1 n
n i1
E
X
i
1 n
n
i1
Varm Em2 Em 2
E
1 n
n i1
X
i
2
2
假定 ut 的条件均值 E ut | xt 为 0，则 E yt | xt E xtβ ut | xt
3
E xtβ | xt E ut | xt
xtβ
由 E ut | xt 0 和迭代期望公式可以得出：
E(xt 'ut ) E[xt '( yt xtβ)] 0 其对应的样本矩条件为：
例 1.1 假定随机变量 yt 的均值 E yt 存在但未知，利用矩方法进行估计。
Step1：总体矩：令 f yt , yt ，则 E f yt , 0
Step2：样本矩为：
mˆ
yt
,
1 T
T
t 1
f
yt
,
1 T
T
t 1
yt
0
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即
第1章 广义矩估计
1.1 矩估计
1.1.1 总体矩与样本矩
设总体 X 的可能分布族为 F x, , ，其中来自参数空间 Θ 的 θ 1,2, ,k 是待
估计的未知参数。假定总体分布的 m 阶矩存在，则总体分布的 k 阶原点矩和 k 阶中心矩为
EX k
k
θ
xk
dF
x,θ
1 k m
1
E[X E(x)]k
E
1 n2
n
X
2 i
i1
1 n2
i j
X
i
X
j
2
1 n2
n
E
i1
X
2 i
1 n2
i
j
E
X
i
X j
2
1 n2
n
2
i1
1 n2
i j
E
X
i
E
X
j
2
1 n
2
1 n2
nn 12
2
1 n
2
1 n
2
。
2
矩方法的一般步骤：
Step1：总体矩条件（population moment condition）： mwt ,θ 0 。一般情况下，矩条
mˆ yt , prE f yt ,
解 上 述 方 程 即 可 得 到
的矩估计量 ˆMM
1 T
T
yt
t 1
1.1.3 矩方法的几个特例
很多估计方法（比如OLS、TSLS等）都是矩估计的特殊形式。 1． OLS 估计 例 2：在回归方程中，
yt xtβ ut ， 其中 xt (x1t , x2t , , xKt ) ， β (1, 2, , K )' 。
1
本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
总体分布的 k 阶矩为 θ 1,2, ,K 的函数。根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体
矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：
即：
k 1,2, ,K mk k 1,2, , K
xk
dF
x,θ
1 n
n i1
k (θ)
[xk E(x)]dF x,θ
1k m
2
两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：
E(X )
3
Var(X ) E[(X )2] E(X 2) 2 2
4
一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。
对于样本 X (X1, X2, , Xn ) ，其 k 阶原点矩是：
mk
1 n
n
X
k i
i1
（1 k
m）
5
当 k=1 时，m1 表示 X 的样本均值。
X 的 k 阶中心矩是：
Bk
1n n i1
Xi X
k （1 k m）
6
当 k=2 时，B2 表示 X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法
矩方法（moment method）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样
mˆ xt ,β
1 T
T
xt
t 1
'
yt
xtβ
1 T
x'y
xβ
0( K 1)
解上述方程可以得到MM估计量：
βˆ MM
T
1 xt 'xt
T
xt ' yt
(x 'x)1xy βˆOLS
t1
t1
2． IV 估计
考虑如下回归模型：
yt x1tβ1 x2tβ2 ut
9
其中， xt x1t , x2t 1K ，x1t包括K1个外生变量，但 x2t 包括K2个内生变量，即
K=K1+K2个总体矩条件为：
mwt ,θ E zt 'ut E zt ' yt xtβ 0K1
14
相应的样本矩为：
mˆ wt ,θ
1 T
T
zt
t 1
'
yt
xtβ
1 T
z'y
xβ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0( K 1)
15
MM估计量为：
βˆ MM
T
1 zt 'xt
T
zt ' yt
(z 'x)1zy βˆ IV