[推荐学习]高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义问题导学

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平面向量的线性运算课件

r
r (a ? bc) ?
rc
? ab? ( ? c).
a ?(b ? c ) b ? c
rr a ?b
C
r
向量的加法满足
A
r abB交换律和结合律.rr rr a+ b= b+ a rr rr rr (a+ b)+ c = a+ (b+ c)
.
向量加法运算及其几何意义
学以致用：
? 例2.长江两岸之间没有大桥的地方 ,常常通过轮渡进行运输 .一艘船从长江南岸 A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶 ,同时江水的速度为向东 2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）； (2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度） .
b
（1）
A
Br r
C
a?b
b
（2）
C r rA
B
a?b
rr
r r rr
若a，b方向相同，则 | a ? b |?| a | ? | b |
rr
rr r r
rr
若a，b方向相反，则 | a ? b |?| a | ? | b（| 或 | b | ? | a |）
.
向量加法运算及其几何意义
当向量
r a
?、br 不共线时，和向量的长度
r |a
?
r b
|
与向量
r a
r ?、b
的长度和
r |a
|?
|
r b
|之间的大小关系如何？
rr a?b
r b
r
三角形的两边a之? 和大于第三边

高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课前引导素材新人教A版

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课前导引
问题导入
200m到达C点；
一人从A点出发向东走了400 m到达B点；接着向东偏北45°走2
然后再向北走400 m到达D点,选择适当比列尺,用向量表示这个人的位移.
思路分析：如下图,一个单位表示100 m,则这个人的位移是AD.
由物理知识我们知道这个人的位移是由几个分位移、、的合位移，在物理上记作=++.将这个问题抽象成数学知识即：向量等于向量、向量、向量的和，记作=++，这就是我们这节课要研究的向量的加法.
知识预览
1．求两个向量和的运算叫做向量的加法
2．向量加法的运算法则有三角形法则和平行四边形法则.
3．对任一向量a和零向量规定0+a=a+0=a.
4．向量加法的交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).。

2020_2021高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义

2．2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义考试标准课标要点学考要求高考要求向量加法的定义及其几何意义 b b 向量加法的交换律与结合律 b b相反向量的概念 a a 向量减法的定义及其几何意义 b b知识导图学法指导1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合成、力的合成两个物理模型为背景引入．而向量的减法运算是通过类比实数的减法运算引入的．2．由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题．第1课时向量加法运算及其几何意义1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法． 2．向量加法的运算法则(1)三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC→叫作a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．规定：零向量与任一向量a 的和都有a ＋0＝0＋a ＝a .(2)平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．状元随笔 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)两个法则的使用条件不同：三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：AC → ＝AB →＋AD →(平行四边形法则)，又∵BC → ＝AD →，∴AC → ＝AB → ＋BC →(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量a →＋b →与非零向量a →，b →的模及方向的联系(1)当向量a →与b →不共线时，向量a →＋b →的方向与a →，b →都不相同，且|a →＋b →|<|a →|＋|b →|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．(2)当向量a →与b →同向时，向量a →＋b →与a →(或b →)方向相同，且|a →＋b →|＝|a →|＋|b →|.(3)当向量a →与b →反向时，且|a →|≤|b →|时，a →＋b →与b →方向相同(与a →方向相反)，且|a →＋b →|＝|b →|－|a →|. [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＋0＝a .( ) (2)a ＋b ＝b ＋a .( )(3)a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c .( ) (4)AB →＋BA →＝2AB →.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b 等于( ) A.CA → B.BC → C.AB → D.AC →解析：AB →＋BC →＝AC →. 答案：D3．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →＝BD →＋AD → D.AD →＋CB →＝0解析：因为AB →＝AD →＋DB →≠BD →＋AD →，故C 错误．答案：C4．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a 、b 是方向相反的向量C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可解析：只有a ∥b ，且a 与b 方向相同时才有|a ＋b |＝|a |＋|b |成立，故A 项正确．答案：A类型一已知向量作和向量例1 如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解析】方法一可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图①，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．① ②方法二三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD →＝c ；(4)作平行四边形CODE ，则OE →＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .即OE →即为所求. 利用三角形法则或,平行四边形法则 →先作出两个向量,的和向量 →再作出三个向量的和向量方法归纳(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合． ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，作向量a ＋b ＋c .解析：方法一如图(1)，在平面内作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ；再作BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .方法二如图(2)，在平面内作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 与OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝a ＋b ；再作OC →＝c ，以OD 与OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则OE →＝a ＋b ＋c .本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则．类型二向量的加法运算例2 化简： (1)BC →＋AB →； (2)AO →＋BC →＋OB →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解析】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)AO →＋BC →＋OB →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解．方法归纳向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．跟踪训练2 化简： (1)DB →＋CD →＋BC →；(2)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →.解析：(1)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(2)方法一 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.方法二 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.方法三 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →＋OM →)＋MB →＝AM →＋MB →＝AB →. 多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如 (a →＋b →)＋(c →＋d →)＝(b →＋d →)＋(a →＋c →)；a →＋b →＋c →＋d →＋e →＝[d →＋(a →＋c →)]＋(b →＋e →)．类型三向量加法的实际应用例3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．现有一艘船从长江南岸A 点出发，以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示，精确到度)．【解析】 (1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示水速，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝2，|BC →|＝5，所以|AC →|＝22＋52＝29≈5.4.因为tan ∠CAB ＝2.5，由计算器得∠CAB ≈68°，所以船实际航行速度的大小约为5.4 km/h ，方向与水速间的夹角约为68°. AD →表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，AB →表示水流速度，以AD ，AB 为邻边作▱ABCD ，则AC →就是船的实际航行速度．跟踪训练3 本例中若该船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4 km/h ，求水速大小．解析：由题意，|AB →|2＋|AD →|2＝|AC →|2，故|AB →|2＋(23)2＝42，解得|AB →|＝2，故水速大小为2 km/h.结合例题中的图形，由勾股定理得|AB →|.2.2.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( ) A.AB → B.BC → C.CD → D.DA →解析：因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A.答案：A2．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →解析：AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错．答案：B3．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 kmC ．向东南走10 kmD ．向东南走5 2 km 解析：如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 答案：D4．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定解析：如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．答案：A5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( ) A.OH → B.OG → C.FO → D.EO →解析：设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 答案：07．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →8．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________.解析：在菱形ABCD 中，连接BD ，∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .解析：(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)；(2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)；(3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．10.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.解析：(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.[能力提升](20分钟，40分)11．设a ＝(AB →＋C D →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的有( ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b |⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b | A ．①②⑥ B ．①③⑥ C ．①③⑤ D ．③④⑤⑥解析：a ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 又b 为非零向量，故①③⑤正确．答案：C 12.如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，则A 和B 处所受力的大小为________(绳子的重量忽略不计)．解析：如图，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.易得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°，所以|CE →|＝|CG →|cos 30°＝10×32＝5 3.|CF →|＝|CG |cos 60°＝10×12＝5.所以A 处所受的力的大小为5 3 N ，B 处所受的力的大小为5 N. 答案：5 3 N,5 N13．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |.解析：如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3， ∴四边形OACB 为菱形．连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3. ∴在Rt △BDC 中，CD ＝332.∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.14．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解析：如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N.所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.。

高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？问题2：共线向量怎样进行求和？问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示，首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂

2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂疏导引导1.向量求和的三角形法则已知向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=+=.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图2-2-1所示）图2-2-1疑难疏引①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.2.向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.(2)向量加法的交换律：a+b=b+a.简证如下：①若a、b不共线，作AB=a,BC=b,则A、B、C三点不共线，AC=a+b.作=b，连结DC，（如图2-2-2），由于=，∴四边形ABCD为平行四边形.∴DC AB.∴||=||=|a|,又与同向，∴=DC，此时有b+a=+DC=AC,即有a+b=b+a.②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b 与b+a同向，故有a+b=b+a.③当a与b共线且反向时，不妨设|a|＞|b|,a+b与a同向，且|a+b|=|a|-|b|,b+a与a同向，且|b+a|=|a|-|b|.故a+b与b+a同向，因此a+b=b+a.综合①②③知a+b=b+a.图2-2-2 图2-2-3(3)向量加法的结合律：（a +b ）+c =a +(b +c ).验证如下：如图2-2-3.（a +b ）+c =+=,a +(b +c )= =+. ∴(a +b )+c =a +(b +c ).疑难疏引向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律.由于向量的加法具有这两个运算律,因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.3.向量求和的平行四边形法则已知两个不共线的向量a ，b ，作=a ，=b ，则A 、B 、D 三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC =a +b .这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.4.向量加法的实际应用向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.案例1一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【探究】本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.图2-2-4【解】如图2-2-4.OA 表示水流速度，OB 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC 表示船实际航行的速度，∠AOC=30°,||=5 km/h.∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA |=︒==︒30sin ||||,3530tan ||=10. ∴水流速度大小为35km/h,船实际速度为10 km/h ，与水流速度的夹角为30°.【规律总结】用向量解决实际问题的步骤为：①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题，作出回答.活学巧用1.已知a ∥b ，试用向量加法的三角形法则作出向量a +b .图2-2-5解析：a ∥b 时，也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作=a ，=b .则a +b =+BC =AC .如图2-2-6所示.图2-2-6 图2-2-7(2)作11B A =a ，11C B =b ，则a +b =11B A +11C B =11C A ，如图2-2-7所示.2.已知非零向量a ，b ，试说明|a +b |与|a |+|b |的大小.解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决，并且要注意分类讨论.（1）当a ，b 不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有|a +b |＜|a |+|b |.(2)当a ，b 方向相同时，有|a +b |=|a |+|b |.（3）当a ，b 方向相反时，有|a +b |＜|a |+|b |.综上有|a +b |≤|a |+|b |.3.在矩形ABCD 中，AC 等于（） A.+ B.+ C.+ D.+解析：画出图形，帮助分析.若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然D 选项中，DC +AD =AD +DC =AC .而其他的选项运算的结果不是AC . 答案：D4.化简下列各式.（1）++；（2）++；（3）+BC +CD ++.分析：根据向量加法的运算律，对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算.第（1）个可以使用结合律转化为求++的和；第（2）个则可以直接运算；第（3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此可直接计算. 解：（1）++=++=. (2)++=0. (3) +BC +CD ++=.5.如图2-2-8,在ABCD 中，已知有以下4个等式：①AB +AD =AC ;②AC +DO +CD=;③++=;④++=0,其中正确的式子有___________个.（）A.1B.2C.3D.4解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一一验证.图2-2-8①+=+=，故①正确；②++=++=≠，故②不正确；③++CD=AC+CD=≠CB，故③不正确；④AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC +DA=AD+DA=0，故④正确.答案：B6.在正六边形中，若OA=a，OE=b，试用向量a、b将OB、OC、OF表示出来.分析：如图2-2-9所示，在正六边形中，有很多菱形、三角形，这就为使用向量求和的三角形法则或平行四边形法则创造了条件.图2-2-9解：设正六边形的中心为P，则=+=（+）+=2a+b，=+=+=2a+2b，OF=OE+=2b+a.7.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km 到达C处，求此时轮船与A港的相对位置.图2-2-10解：如图2-2-10所示，设、分别是轮船两次位移，则表示两次位移的和位移，20km.在Rt△ACD中, 即=+.在Rt△ABD中，||=20 km,||=3|340=km,∠CAD=60°,即此时轮船位于A 港东偏北60°，且距离A 港340km 处.。

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向

则
则．对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0
＝ 0＋a ＝量平行作A→B＝a，A→D＝b，则 A、B、D 求和四边三点不共线，以 AB ， AD 为邻边的法形法作平行四边形 ABCD .
则则则对角线上的向量A→C＝a＋b，如图，这种作两个向量和的方法叫作两个向量加法的平行四边形法则.
课时作业
一、向量加法的定义求两个向量和的运算
[自主梳理] ，叫作向量的加法．
二、向量加法的运算法则
已知非零向量 a，b，在平面上任取一点 A，作
向量
A→B＝a.B→C＝b，则向量A→C 叫作 a 与 b 的和，
求和三角形记作 a＋b，即 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C . 的法法则这种求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法
探究三向量加法的应用 [典例 3] 在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． [解析] 如图所示，设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55° 的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)．又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义学案无答案新人教A版必修182

§2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．知识点一向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3000N ，F 2＝2000N ，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．思考1 从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？答案后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC →表示的力是OA →与OB →表示的力的合力．体现了向量的加法运算．思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则？答案三角形法则和平行四边形法则．梳理 (1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量求和的法则为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．知识点二向量加法的运算律思考1 实数加法有哪些运算律？答案交换律和结合律．思考2 根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )答案 ∵AC →＝AB →＋BC →， ∴AC →＝a ＋b .∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a . ∴a ＋b ＝b ＋a .思考3 根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )答案 ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →， ∴AD →＝(a ＋b )＋c ，又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．梳理向量加法的运算律1．0＋a ＝a ＋0＝a .( √ ) 2．AB →＋BC →＝AC →.( √ ) 3．AB →＋BA →＝0.( √ ) 4．AB →＋BC →>AC →.( × ) 5．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( × )类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1 如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c .(1) (2)考点向量加法的定义及几何意义题点求作和向量解 (1)作法：在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量． (1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________；(3)OA →＋FE →＝________.考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量加法在平面几何中的应用答案 (1)OB → (2)AD →(3)0 类型二向量加法运算律的应用例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 考点向量的加法运算与运算律题点化简向量解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA →＝0.反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．(2)向量求和的多边形法则：A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A 1——→＝A 1A n —→.特别地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A 1——→＝0.跟踪训练2 (2017·上饶高一检测)向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →化简后等于( ) A.BC → B.AB → C.AC →D.AM →考点向量的加法运算与运算律题点化简向量答案 D解析向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →＝AB →＋BO →＋OP →＋PB →＋BM →＝AM →. 类型三向量加法的实际应用例3 在静水中船的速度为20m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在运动学中的应用解作出图形，如图所示．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt△ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20m/min ，∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进．引申探究1．若本例中条件不变，则经过1h ，该船的实际航程是多少？解由例3知v 船＝20m/min ，v 实际＝20×sin60°＝103(m/min)，故该船1h 行驶的航程为103×60＝6003(m)＝335(km)．2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．解如图，作平行四边形ABDC ，则AD →＝v 实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝|BD →||AB →|＝2010＝2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键．跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在物理学中的应用解如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →|cos30° ＝10×32＝53(N)， |CF →|＝|CG →|cos60° ＝10×12＝5(N)．∴A 处所受的力为53N ，B 处所受的力为5N.1．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A.AB →B.BA →C ．0D.AC →考点向量的加法运算与运算律题点化简向量答案 D解析 AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →考点向量的加法运算与运算律题点几何图形中的向量加法运算答案 D解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 3．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B. 2 C ．3D ．2 2考点向量加法的平行四边形法则题点利用向量的加法求模答案 B解析在正方形ABCD 中，AB ＝1，可知AC ＝2，所以|AB →＋AD →|＝|AC →|＝|AC |＝ 2.4.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形考点向量加法的平行四边形法则题点判定四边形的形状答案 C解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴DC →＝DA →＋AC →＝DA →＋AB →＋AD →＝DA →＋AD →＋AB →＝AB →，即DC →＝AB →，∴AB ＝DC ，AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．5.如图，已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：(1)AO →＋AC →；(2)DE →＋BA →.考点向量加法的定义及几何意义题点求作和向量解 (1)延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →即为所求．(2)在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →即为所求．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.一、选择题1．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A.AB →B.BA →C ．0D.AC →考点向量的加法运算与运算律题点化简向量答案 D2．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →等于( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO →考点向量的加法运算与运算律题点几何图形中的向量加法运算答案 B解析 OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 3．下列说法正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同； ②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．0B ．1C ．2D ．3考点向量加法的定义及几何意义题点向量加法的三角形不等式答案 B解析 ①错，若a ＋b ＝0，则a ＋b 的方向是任意的；②正确；③错，当A ，B ，C 三点共线时，也满足AB →＋BC →＋CA →＝0；④错，|a ＋b |≤|a |＋|b |. 4．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →考点向量的加法运算与运算律题点几何图形中的向量加法运算答案 C解析对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，所以AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.5．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度为( ) A ．25B ．45C ．12D ．6 考点向量加法的平行四边形法则题点利用向量的加法求模答案 B解析因为AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍．又|AC →|＝42＋22＝25，所以向量AB →＋AD →＋AC →的长度为4 5.6．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( ) A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形考点向量加法的平行四边形法则题点判定四边形的形状答案 D解析以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∴∠ABD 为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形，故选D. 二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＋CD →＝________； (2)AC →＋BA →＋DA →＝________. 考点向量的加法运算与运算律题点几何图形中的向量加法运算答案 (1)AD →(2)08．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______. 考点向量的加法运算与运算律题点化简向量答案 0解析如图所示，连接AG 并延长交BC 于点E ，点E 为BC 的中点，延长AE 到点D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.9．小船以103km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h. 考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在运动学中的应用答案 20解析如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝103km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20km/h ，即小船航行速度的大小为20 km/h.10．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 考点向量加法的平行四边形法则题点利用向量的加法求模答案 1解析在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1， |BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 三、解答题11．如图所示，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24N ，绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12N ．求F 1和F 2的合力大小．考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在物理学中的应用解如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中，|OA →|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°， ∴∠OCA ＝90°，∴|OC →|＝12 3.∴F 1与F 2的合力大小为123N ，方向为与F 2成90°角竖直向上．12．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.考点向量的加法运算与运算律题点证明几何图形中的向量等式证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →， ∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. ∵PB →与QC →大小相等，方向相反， ∴PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →. 四、探究与拓展13．设非零向量a ，b ，c ，若p ＝a |a|＋b |b|＋c |c|，则|p |的取值范围为____________．考点向量加法的平行四边形法则题点利用向量的加法求模答案 [0,3] 解析因为a |a|，b |b|，c|c|是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p |取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p |的最小值为0.14．若a 等于“向东走8km”，b 等于“向北走8km”，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在运动学中的应用答案 8 2 北偏东45°解析如图所示，设AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则|AC →|＝82，∠BAC ＝45°.。

高中数学第二章平面向量2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A必修

对角线_O_C__就是a与b的和
图形
规定零向量与任一向量a的和都有a+0=_0_+_a_
【思考】 (1)向量求和的三角形法则中“非零”二字去掉可以吗?为什么? 提示:不可以.对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+0=a,不需要应用三角形法则. (2)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余,去掉可以吗? 提示:不能,因为如果两个向量共线,就无法以它们为邻边作出平行四边形,也不会产生和向量.
【变式探究】若将本例改为:
四边形ABCD中, AB DC ,且| BC BA|=| BC AB|, 试求证四边形ABCD为矩形.
角度2 实际应用【典例】一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地, 然后向C地飞行,已知C地在A地北偏东60°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离. 【思路导引】根据题意画出图形,利用向量加法的三角形法则,用 BA，AC表示出 BC,进而求解问题.
类型二向量加法运算律的应用(数学抽象、直观想象)
【典例】1.向量 AB MB BO BC OM 化简后等于( )
A.CB
B. AB
C. AC
D. AM
2.化简:(1) (MA＋BN)＋(AC＋CB).
(2) AB＋(BD＋CA)＋DC.
【思路导引】利用向量加法运算律化简. 【解析】1.选C. (AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝
【解题策略】利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【题组训练】
1.在▱ABCD中,| AB|=3,| BC|=4,则: (1)| AC|________7(填“>”“<”“≥”或“≤”); (2)若| AC|=5,则此四边形为________. 【解析】(1)三角形两边之和大于第三边. (2)由| A|B2+| |B2=C| |2,A可C知△ABC为直角三角形,则此四边形为矩形. 答案:(1)< (2)矩形

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修4 (1)

12
知识拓展1.向量加法的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这n 个向量的和等于从折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则的实质就是三角形法则的连续应用.
2.三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. (4)规定:a+0=0+a=a. (5)结论:|a+b|≤|a|+|b|.
A.3
B.4
答案:D
C.7
D.5
【做一做 1-3】在边长为 1 的正方形 ABCD 中,|�� + �� + ��|
等于( )
A.0
B.1
C. 2D. 3
解析: |�� + �� + ��| = |�� + ��| = |��| = 1.
∴(a+b)+c=a+(b+c).
(3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不仅有大小而且还有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算法则来进行.
题型一
图①
图②
再以 OD,OC 为邻边作▱ODEC,连接 OE,则�� = �� +
�� =a+b+c 即为所求.

高中数学必修四第2章平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则运算求解．解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一向量的加法运算【例 1】化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二利用向量证明几何问题【例 2】在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明一组对边对应的向量相等即可．

平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义讲义新人教A版必修4

向量加法运算及其几何意义知识梳理1、向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法.2、求向量和的方法(1)三角形法则:已知非零向量a、b,在平面上任取一点A,作AB = a, £ = b，则向量AC叫做a与b的和或和向量，记作a+ b,即a+ b= AB +B C = A C .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.点的对角线OC就是a与b的和，如图.这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.对于零向量与任一向量a,规定：a+ 0= 0+ a= a.3 .向量加法的交换律和结合律(1)向量加法的交换律：a+ b= b + a；(2)向量加法的结合律：(a+ b) + c = a+ ( b+ c).常考题型题型一、求作向量的和例1、如图，已知a, b,求作向量a + b.变式训练如图，已知a、b、c,求作向量a+ b+ c.(2)平行四边形法则:已知两个不共线向量a, b,作OA = a, OB = b,以a, b为邻边作？OACB则以0为起题型三、向量加法的应用例3、轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了 40 km 到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶 40 km 到达C 处，求此时轮船与 A 港的相对位置.题型二、向量加法运算例2、化简或计算:CD +BC +7B ； 7B + DF +CD +BC + TA变式训练如图，在△ ABC 中，0为重心, ⑴ BC +cE+E A ； D E 、F 分别是BC AC AB 的中点，化简下列三式:OE + AB + EA ；(3)AB + F E + DC .变式训练雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0 m/s ，现在有风,风使雨滴以433 m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向.课堂小测1、下列等式错误的是()5、如图所示，P, Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BA QC 求证: 7B+7C Z AP +7Q .A . a + 0 = 0+ a = aT TAB + BA = 0T TC. 2、在矩形ABCDK | A . 2 53、如图，在平行四边形 T T(1) AB + AD = T T T (3) AB + AD + CD =AB | = 4, | BC | = 2, B . 4 5ABCDKB . AB + "BC + AC = 0 D. CA + AC =M N + N + P MT T T贝恫量AB + AD + AC 的长度等于(.124、如果 | AB | = 8, | AC | = 5,那么 | ；(4) AC + BABC |的取值范围为利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤fiQ C同步练习 1、如图所示，在平行四边形 A. BD B. ABCD 中, DB C. BC DC BA 等于( BC D.CB2、在厶ABC =a , BC =b 则a b 等于（ A .C A•BC • AC 3、在四边形 ABCD 中，若AC = AB AD ，则四边形 ABCD r 曰定是 A.正方形 .菱形 C .矩形 •平行四边形 4、若四边形 ABCD A . AB BC 二 AC 为菱形，则下列等式中成立的是（ .7B AC D. AC A ^^DC 5、已知向量a 表示"向东航行 1 km ”，向量b 表示 "向南航行1 km ”，则a b 表示（A.向东南航行.2 km B .向东南航行2 km C .向东北航行.2 km D.向东北航行2 km 6、已知 b 为非零向量，且 a +b = b ，则（） F-A. a b ，且a 与b 方向相同 .a , b 是共线向量且方向相反 .a , b 无论什么关系均可7、如图所示的方格纸中有定点 O , E , F , G , H ，则 CP 二( A. O H B . O GFO .EO8、如图所示，四边形 ABCD 是梯形， B. OC9、在平行四边形 ABCD 中，若BC = BC AB ，则四边形ABCD 是AD _ BC ，贝U OA+BC AB =(A. CD C. DA D. CO10、已知 a = 3, b =5，则向量a b 模长的最大值是r- L —jJ-LL-jj-I ----------- 片 ---------- L-S--4OI I F I I <i i r M i ■Lw 」二二三』11、已知 AB =3, =5，贝U AC 的取值范围是12、设a 表示“向东走19 km ”，b 表示“向西走5 km示“向南走5 km ”，试说明下列向量的意义.(1) a ■ a ; (2) 1 b ; ( 3)13、在水流速度为10 km/h 的河中，如果要使船以10 3 km/h 的速度与河岸成直角地横渡, 求船行驶速度的大小与方向.14、求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形.c 表示“向北走10 km ”，d 表(5)b.c b ；(6)dad。

人教版高中数学必修4第二章平面向量《2.2平面向量的线性运算：2.2.1 向量加法运算及其几何意义》教学PPT

以 OA、OB 为邻边做 OACB ， a
连结OC，则 OC OA OB a b.Oa来自Aabb
平行四边形法则 B
C
四、例题
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）角求来船表实示际）航。行的速度的大小D 与方向（C 用与江水速度的夹
练习:化简
(1)AB BC AC
(2)AB BC CD AD
(3)AB BC CD DE AE
(4)AB BC CD DA 0 注: 1.首尾相接 2.以第一个向量的起点作为起点,
最后一个向量的终点作为终点
三、新课讲解 (二)向量加法的平行四边形法则
a ab ？
b
A
C
首尾相接
B
已知非零向量 a、b ,在平面内任取一点A，作AB = a,BC = b,
则向量AC叫做a与b的和，记作a + b,即
a + b = AB + BC = AC 这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。
反之,任何一个向量都可以拆成若干个首尾相接的向量的和
三、新课讲解 (一)向量加法的三角形法则
(2)解 :由图可知AB DC
C
D
y
AB // CD AB CD ABCD为平行四边形. AD BC 200米.
50
B Ao x
练习
2.把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l
上点P处，这些向量的终点构成的几何图形为直 ___线__l

高中数学第二章平面向量 2.2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法数学教案

2．2.1 向量的加法整体设计设计思想数学定义也是数学思维活动的结果，本节课设计思想是以物理学中“合位移”“合力”等概念为背景，引导学生亲历向量加法的建构过程，使学生体会数学抽象思维活动的基本方法．教学内容分析本节课教学内容包括向量加法法则的建构，向量加法运算律及运算，以及向量加法的简单应用．教学目标分析理解向量加法的意义，会用三角形法则和平行四边形法则求作已知两向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，会进行向量加法运算；通过体会、理解向量加法的定义过程对学生进行抽象思维训练，培养学生的创新意识和创造能力．教学过程1．情景设置从数学的角度看，向量也是量，数量可以进行运算，向量也必须建立相应的运算系统，才能作为解决实际问题的工具．呈现物理学中“合位移”和“合力”求法，提出问题：已知两个向量，我们是否可以类比“合位移”或“合力”求法，“生成”一个新的向量？探索讨论：已知向量a和b，按照求合位移的方式我们可以这→＝a，AB→＝b，连结OB得到新向量OB→；样得到一个新向量：如图，作OA按照平行四边形求合力的方式我们又可以这样得到一个新向量：→＝a，OB→＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，如图，作OA→.当然，利用向量相等概念分析可知，两种方式得到得到新向量OC→＝OB→＝b，也就说的“新向量”是相等的，这是因为图1(2)中的AC→(见图1(2))与由“三角形”法明由“平行四边形”法则得到的OC→(见图1(1))是相等的．则得到的向量OB(1)(2)图12．向量加法定义我们把由上面的“三角形”法则或“平行四边形”法则得到的“新向量”定义为两个已知向量a与b的和，记作a＋b，求两向量和的运算叫做向量的加法．3．验证向量加法满足交换律、结合律利用向量加法定义和法则可以验证以下结论：a＋0＝0＋a＝a.a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.a＋b＝b＋a(加法交换律)(见图2(1))．(1) (2)图2(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(加法结合律)(见图2(2))．思考讨论：(1)A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 1→＝？(多个向量相加法则)(2)|a ＋b |与|a |±|b |的大小关系．(数形结合)4．例题选讲(以学生活动为主)例1如图3，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：图3(1)OA →＋OC →；(2)BC →＋FE →；(3)OA →＋FE →.解：(1)因为四边形OABC 是以OA 、OC 为邻边的平行四边形， OB 为其对角线，所以OA →＋OC →＝OB →.(2)因为BC →与FE →方向相同且长度相等，所以BC →与FE →是相等向量，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →长度的2倍，因此，BC →＋FE →可用AD →表示．所以BC →＋FE →＝AD →.(3)因为OA →与FE →是一对相反向量，所以OA →＋FE →＝0.例2在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？分析：如图4，渡船的实际速度AC →、船速AD →与水速AB →应满足AB →＋AD →＝AC→. 图4解：如图4，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，|DC→|＝|AB →|＝12.5，|AD →|＝25，所以∠CAD＝30°.答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.例3在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上取两点E 、F ，使BE ＝DF ，用向量方法证明四边形AECF 也是平行四边形.分析：要证四边形AECF 是平行四边形，只需证AE →＝FC →.图5∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又四边形ABCD 是平行四边形，BE ＝DF ，∴AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →.小结(学生回答)：如何用向量方法证明四边形为平行四边形？5．练习与反馈(1)如图6，已知向量a 、b ，作出a ＋b .(1) (2)图6(2)已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中正确的是( )A.AB →＋CB →＝AC →B.AB →＋AD →＝AC →C.AD →＋CD →≠BD →D.AO →＋CO →＋OB →＋OD →≠0(3)在△ABC 中，求证：AB →＋BC →＋AC→≠0.(4)一质点从点A 出发，先向北偏东30°方向运动了4 cm ，到达点B ，再从点B 向正西方向运动了3 cm 到达点C ，又从点C 向西南方向运动了4 cm 到达点D ，试画出向量AB →，BC →，CD →以及AB →＋BC →＋CD →.6．课堂小结今天我们以求合位移和合力为背景定义了向量的加法，以后我们还会利用其他的实际背景和数学运算的内部结构定义多种向量的运算，本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，其要点则分别为“首尾相连”和“起点重合，作平行四边形”．。

高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义知识巧解

2.2.1 向量加法运算及其几何意义疱工巧解牛知识•巧学一、向量的加法求任意两个向量和的运算，叫做向量的加法，两个向量的和仍是向量.由于向量是自由平移的对两个向量进行求和的过程，可按以下两个法则进行.1.三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a、b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.(1)利用向量加法的三角形法则求两个向量的和如图2-2-1(1)、(2)、(3)中，AB=a，BC=b，则AB+BC=AC.图2-2-1图2-2-1的(1)、(2)、(3)中各有两个向量，只要把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.(2)向量加法的三角形法则适用的范围及应用①三角形法则对于两个向量共线时也适用.对于零向量，课本规定a+0=0+a=a(a≠0)，我们可利用三角形法则，通过几何作图法作出a+0,0+a,a，观察结果，去认识规定的合理性.图2-2-2②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如：AB=+OB，如图2-2-2所示，这里的O点具有任意性.学法一得对于首尾相连的两个向量的和，等于以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量，这就是向量加法的三角形法则的几何意义.记忆要诀不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个向量的和向量，它的方向总是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点.二、平行四边形法则1.以同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.图2-2-32.用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时要注意以下几点：(1)当两个向量共线时，不能用平行四边形法则求和，因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形，所以，平行四边形法则对于两个向量共线时是不适用的.(2)用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时，可在空间任取一点O，使两个向量的起点同时移到点O上去，也可把其中一个向量的起点移到另一个向量的起点上去，再作和. 学法一得以从同一点O出发的两个向量为邻边作平行四边形，则从公共点O出发的对角线表示的向量就是两个向量的和，这就是向量加法的平行四边形法则的几何意义.三、向量加法的交换律和结合律1.向量加法的交换律先看看求两个向量和时,两个向量相加的次序能否交换.图2-2-4让我们回到加法的定义.已知向量a、b,如图2-2-4所示，作AB=a，BC=b，如果A、B、C不共线，则AC=a+b.再看看b+a等于什么?作AD=b，连结DC，如果我们能证明DC=a，那么也就证明了加法交换律成立.由作图可知，AD=BC=b，所以四边形ABCD是平行四边形(为什么?)，这就证明了DC=a，即加法交换律成立.2.向量加法的结合律图2-2-5如图2-2-5，作=a，=b,=c，由向量加法的定义，知=+=a+b,=+=b+c,所以=AC+CD=(a+b)+c,=+=a+(b+c),从而(a+b)+c=a+(b+c)，即向量的加法满足结合律.学法一得与实数的运算相类比，向量也满足交换律和结合律，利用向量的运算律，可有效地简化向量的运算.四、向量加法的多边形法则由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个(有限)向量相加.现以四个向量为例说明，如图2-2-6.图2-2-6已知向量a 、b 、c 、d ，在平面上任选一点O ，作OA =a ，AB =b ，BC =c ，CD =d ，则OD =OA +AB +BC +CD =a +b +c +d .已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，其中各向量的和就是0.记忆要诀 n 个向量首尾顺次相连，首起为起，终终为终点的向量叫做n 个向量的和向量. 典题•热题知识点一向量加法的三角形法则例1 某人先位移向量a ：“向东走3 km”，接着再位移向量b ：“向北走3 km”，求a +b . 解：如图2-2-7所示，适当选取比例尺，作图2-2-7OA =a =“向东3 km”， AB =b =“向北3 km”，OB =OA +AB =a +b .因为△ABC 为直角三角形，所以|OB |=233322=+(km).又∠AOB=45°，所以a +b 表示向东北走23 km.例2 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.图2-2-8如图2-2-8，已知四边形ABCD ，对角线AC 与BD 交于点O ，且AO=OC ，DO=OB.求证：四边形ABCD 是平行四边形.思路分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明某一组对边平行且相等即可.由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量.解：由已知得=，=.∵AD =AO +OD =BO +OC =BC ，且A 、D 、B 、C 不在同一直线上. 故四边形ABCD 是平行四边形.例3 轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40 n mile 到达C 处.求此时轮船与A 港的相对位置.思路分析：如图2-2-9，设AB 、BC 分别表示轮船发生的位移，轮船到达C 处可由AC 确定，则AC =AB +BC .图2-2-9解：设、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，=+. 在Rt△ADB 中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，||=40 n mile ，所以||=20 n mile ，||=203 n mile.在Rt△ADC 中，∠ADC=90°，|DC |=60 n mile ，所以|AC |=34060)320(||||2222=+=+DC AD n mile.因为||=2||，所以∠CAD=60°.答：轮船此时位于A 港东偏北60°，且距A 港340 n mile 的C 处.方法归纳向量的模可通过勾股定理求解，方向可通过锐角的三角函数的定义求解. 知识点二平行四边形法则例4 已知正方形的边长为1，AB =a ，BC =b ,AC =c ，试作向量a +b +c .解：如图2-2-10,由已知得a +b =+=，又=c ，所以延长AC 至E ，使||=||，则a +b +c =，||=22.图2-2-10例5 两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1=40 N ，方向向东，F 2=30 N ，方向向北，求它们的合力.解：如图2-2-11所示，OA 表示F 1，OB 表示F 2.以OA 、OB 为邻边作OACB ，则OC 表示合力F .图2-2-11在Rt△OAC 中，||=40 N ，||=||=30 N.由勾股定理，得F =|503040||||2222=+=+AC OA (N).设合力F 与力F 1的夹角为θ，则43||12==F F OA =0.75. 所以θ≈37°.答：合力大小为50 N ，方向向东偏北37°.知识点三和向量的模例6 若||=8,||=5,则|的取值范围是( )A.［3,8］B.(3,8)C.［3.13］D.(3,13) 思路分析：∵BC =AC -AB ,当、同向时，||=8-5=3;当、反向时，||=8+5=13；当、不共线时，3≤||≤13.答案：C例7 下列命题①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么，a +b 的方向必与a 、b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有++=0；③若AB +BC +CA =0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3 思路分析：①假命题.当a +b =0时，命题不成立.②真命题.③假命题.当A 、B 、C 三点共线时也可以有AB +BC +CA =0.④假命题.只有当a 与b 同向时，相等，其他情况均为|a +b |>|a |+|b |.答案：B方法归纳 (1)当向量a 、b 共线且同向时，|a +b |=|a |+|b |；(2)当向量a 、b 共线且反向时，若|a |>|b |，则|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则|a +b |=|b |-|a |.因为三角形中两边之和大于第三边，由向量加法的几何意义不难知道，当a 与b 不共线时，恒有|a +b |<|a |+|b |，即两个向量和的长度小于两个向量长度之和.在一般情况下，有|a +b |≤|a |+|b |.问题•探究方案设计探究问题课堂上老师布置作两个向量的和，同学们选择的始点通常都是不相同的，那么选择不同的始点作出的向量都相等吗？或许你会认为，这还需要理由吗，这是“显然”成立的.到底这种“显然”是否正确，你能否设计一个方案逻辑地说明这个问题？探究思路：如图2-2-12，在平面内任取一点A ，以A 为始点依次作向量AB =a ，BC =b ，连结向量AC ，则由三角形法则知AC =a +b .再任取一点A′,以A′为始点依次作向量B A ''=a ，C B ''=b ，连结向量C A ''.图2-2-12由于=B A ''=a ，故四边形AA′B′B 为平行四边形，则AA′∥BB′且AA′=BB′. 由BC =C B '=b ，则四边形BB′C′C 为平行四边形，则BB′∥CC′且BB′=CC′. 所以AA′∥CC′且AA′=CC′,即四边形AA′C′C 为平行四边形.则AC∥A′C′且AC=A′C′.又与C A ''方向相同，所以=C A ''.探究结论：选择不同的始点作出的向量和都相等.于是你所认为的“显然”是非常正确的，你的直觉没有欺骗你.思想方法探究问题如果已知五个四边形ACPH ，AMBE ，AHBT ，BMHK ，CKXP 都是平行四边形(所有四边形的顶点按同一方向排列)，那么四边形ABTE 也是平行四边形，你能证明这个问题吗？从中你能体会什么样的数学思想方法？探究过程：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，抓住平行四边形的特征——“对边平行且相等”进行转化，则此题迎刃而解.即由平行四边形AMBE 得=.由平行四边形BMXK 得=.由平行四边形ACPH 得HA PC =由平行四边形AHBT 得BT HA =.综上可得BT AE =.即四边形ABTE 是平行四边形.探究结论：转化和化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法，以向量为工具，通过转化，可以为平面几何中的许多问题提供新颖、简捷的解法.。

[推荐学习]2018年秋高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法

2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律．(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算．(重点)3.数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)[自主预习·探新知]1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则，作AB →＝a ，AD →＝b ，(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[基础自测]1．思考辨析(1)a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c .( ) (2)AB →＋BA →＝0.( )(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．( )[解析] (1)正确．(2)正确．(3)错误．平行四边形法则只适用于求两个不共线的向量的和．[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2.CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DB →B.CA →C.CD →D.DC →C [CB →＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CD →.]3．如图221，在平行四边形ABCD 中，DA →＋DC →＝________.图221DB →[由平行四边形法则可知DA →＋DC →＝DB →.][合作探究·攻重难][1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移合成等．2．设A 1，A 2，A 3，…，A n (n ∈N ，且n ≥3)是平面内的点，则一般情况下，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →的运算结果是什么？提示：将三角形法则进行推广可知A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →.(1)如图222，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：图222①AB →＋DF →＝________；②AD →＋FC →＝________；③AD →＋BC →＋FC →＝________. (2)①如图223甲所示，求作向量和a ＋b . ②如图223乙所示，求作向量和a ＋b ＋c .甲乙图223[思路探究] (1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．(1)①AC → ②AB → ③AC →[(1)如题图，由已知得四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →. ②AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →. ③AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →.(2)①首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．]母题探究：1.在例1(1)条件下，求CB →＋CF →.[解] 因为BC ∥DF ，BD ∥CF ，所以四边形BCFD 是平行四边形，所以CB →＋CF →＝CD →.2．在例1(1)图形中求作向量DA →＋DF →＋CF →.[解] 过A 作AG ∥DF 交CF 的延长线于点G ，则DA →＋DF →＝DG →作GH →＝CF →，连结DH →，则DH →＝DA →＋DF →＋CF →，如图所示． [规律方法] 1.向量求和的注意点： (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．(2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．(1)设a ＝(AB ＋CD )＋(BC ＋DA )，b 是一个非零向量，则下列结论正确的有________．(将正确答案的序号填在横线上)①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |.(2)如图224，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：图224①DG →＋EA →＋CB →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →.[思路探究] 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．[解] (1)由条件得：(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝0＝a ，故选①③. (2)①DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. [规律方法] 向量加法运算律的意义和应用原则： 1意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.,实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.2应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.[跟踪训练]1．已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________. 22 [|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|＝2 2.]如图上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)图225[思路探究] 作出对应的几何图形，构造有关向量→利用三角形法则或平行四边形法则运算→回答实际问题[解] 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53，|CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5.∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N.[规律方法] 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤[跟踪训练]2．如图226所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.图226[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.[当堂达标·固双基]1．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A.AB →B.CE →C.AC →D.BE →C [AE →＋EB →＋BC →＝AC →.]2．对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC →的是( ) A.BA →＋AD →＋DC → B.BD →＋DA →＋AC → C.AB →＋BD →＋DC →D.DC →＋BA →＋AD → C [在A 中BA →＋AD →＋DC →＝BD →＋DC →＝BC →；在B 中BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →；在C 中AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →；在D 中DC →＋BA →＋AD →＝DC →＋BD →＝BD →＋DC →＝BC →.]3．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 1 [在菱形ABCD 中，连接BD (图略)，∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1， |BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.]4．若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)，因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]5．如图227所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量：图227(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.[解] (1)由题图可知，四边形OABC 为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由题图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.。

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2.2.1 向量加法运算及其几何意义
问题导学
一、向量加法运算
活动与探究1
(1)化简：①BC＋AB；
②DB＋CD＋BC；
③AB＋DF＋CD＋BC＋FA．
(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①OA＋OE；
②AO＋AB；
③AE＋AB．
迁移与应用
化简：
(1)CD＋BC＋AB；
(2)四边形ABCD是边长为1的正方形，AB＝a，BC＝b，AC＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|．
解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．
二、利用向量知识证明几何问题
活动与探究2
用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
迁移与应用
在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE=DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．
1．用向量法证明几何问题的一般步骤：
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．
(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．
(3)还原成几何问题．
2．注意以下两个问题：
(1)法则的灵活应用．
(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且线段的长度相等．
三、向量加法的实际应用
活动与探究3
在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
迁移与应用
在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 3 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
向量应用题要首先画出图形．解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题．
当堂检测
1．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则( )
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
2．AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝( )
A．0 B．0
C．2AD D．－2AD
3．下列等式不成立的是( )
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C．AB＋BA＝2BA D．AB＋BC＝AC
4．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝__________．
5．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝__________；a＋b的方向是__________．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．两个向量和
2．和a＋b a＋b AC三角形法则
3．平行四边形法则
4．b＋a(a＋b)＋c a＋(b＋c)
预习交流1提示：a＋0＝a．
预习交流2提示：不一定，当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1思路分析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．
解：(1)①BC＋AB＝AB＋BC＝AC；
②DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝BD＋DB＝0；
③AB＋DF＋CD＋BC＋FA
＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA
＝AC＋CF＋FA
＝AF＋FA＝0．
(2)①由题图知，OAFE为平行四边形，
∴OA＋OE＝OF；
②由题图知，OABC为平行四边形，∴AO＋AB＝AC；
③由题图知，AEDB为平行四边形，
∴AE＋AB＝AD．
迁移与应用解：(1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD
＝AC＋CD＝AD．
(2)如下图，延长AC到E，使AC=CE，则CE=AC，
∴a+b+c=AB+BC+CE=AE，
即AE为所求作的向量．
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴|AC|AE|=2|AC|=
故|a+b+c|=
活动与探究2思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等．根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可．此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述．
证明：根据向量加法的三角形法则有AB=AO+OB，DC=DO+OC．
又AO=OC，DO=OB，
∴AO+OB=DO+OC．∴AB=DC．
∴AB∥DC且AB=D C，
即AB与DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
迁移与应用证明：AE=AB+BE，FC=FD+DC，
又AB=DC，BE=FD，
∴AE=FC，即AE，FC平行且相等．
故四边形AECF是平行四边形．
活动与探究3思路分析：利用向量加法的三角形法则，知AC＝AB＋BC，|AC|是线段AC的长度．
解：如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的两次位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB＋BC．
在Rt△ABD中，
|DB|＝20 km，|AD|20 3 km．
在Rt△ACD中，|AC|＝40 3 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 3 km处．
迁移与应用解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2．
依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，|BC|＝|v1|＝23，
|AB |＝|v 2|＝2，
∴|AC |＝|v |＝22＋(23)2＝4，
tan θ＝||||
BC AB ＝232＝3． ∴θ＝60°．
∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°．
【当堂检测】
1．D 解析：由AC ＝AB ＋AD 知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．
2．B 解析：由向量加法的运算法则可知AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FA ＝0．
3．C 解析：对于C ，∵AB 与BA 是相反向量，∴AB ＋BA ＝0． 4．AC 解析：原式＝(AB ＋BO )＋(OM ＋MB )＋BC ＝AO ＋OB ＋BC ＝AB ＋BC ＝AC ．
5．8 2 km 东北方向解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．。