数列递推思想的应用

数列递推思想的应用

数列作为高考的考点与热点，在历年的高考中所占比例较大，特别在综合题中的应用，能力要求越来越高.其中数列递推思想，具有很强的逻辑性，是学习逻辑推理和化归能力的好素材，也是数学教学中渗透数学思想方法的好载体，其递推思想在解题中的应用相当广泛.下面对数列递推思想的应用作简要梳理，供参考.

在归纳推理中应用

例1 如图，一白珠下面挂一黑珠，每一黑珠下挂一黑珠与一白珠，则第11行黑珠的个数为________.

[…第一行][…第二行][…第三行][…第四行][…第五

行][…第六行]

解析设第行黑珠的个数为个，则，则第行黑珠的个数为等于第行黑珠的个数为与第行白珠的个数之和，由于第行白珠的个数即为第行中黑珠个数，故有.

点拨此题通过运用递推思想得到一个递推关系，正是著名的“斐波拉契数列”. 在一些数列归纳通项的推理中，利用递推思想，构建递推公式，使有限拓展到无限，由特殊变成一般规律，这是解决此类问题常见思路与方法，同理这也体现了合理推理的精髓所在.

构建“递推公式”，巧证数列不等式

例2 已知函数设满足，，数列满足，.证明：.

解析本题可不用数学归纳法证，直接应用递推公式证更加简洁，简证如下.

时，显然成立.

时，由题意得，，且，

综上所述，.

点拨此题由两边结构中都有，故联想递推关系，类比“已知等比数列递推关系求通项方法”，适当放缩使问题得以解决.在中学阶段某些压轴数列不等式的证明中，常利用此递推思想结合放缩法进行转化与化归.

构建递推数列模型，求无限往复数学问题

例3 设是正三角形的边上的任意一点，从向边引垂线，垂足为，再从向边引垂线，垂足为；再从向边引垂线，垂足为，再从重复以上操作，得当时，能否无限趋近于某一点？若能，请指出这一点的位置；若不能，请说明理由.

解析此题为典型的无限往复问题，其本质为求极限点，看似很复杂，我们先不妨构建递推关系，如图.

不妨设，正三角形边长设为1，

.

故当时，无限趋近于的距的等分处.

点拨在无限反复问题中，过程较繁琐. 这类问题通过构

建相邻过程的二元数量的递推关系，由“理不断”的无限反复变成相对固定的数列递推模型来解决，问题解答顺利而流畅！

用递推思想解决一些浓度混合应用题

例4 现有流量均为300m3/s的两条河流汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m3和0.2kg/m3. 假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100m3的水量，即从股流入股100m3水，经混合后，又从股流入股100m3的水量并混合.问：从第个观测开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3（不考虑泥沙沉淀）.

解析设第个观测点两股水流含沙量分别为kg/m3与

kg/m3，

则，

且=①，

=②.

①-②得，=.

故从第9个观测点开始，两股水流含沙量之差小于

0.01kg/m3.

点拨在浓度混合问题中，不断地“混合”，使问题变得较为“混沌”，此类问题可通过构建交叉递推数列，再利用递推数列的解法去化“混沌”为“清晰”，使思路明了而清

晰.

递推思想在计数方面的应用

例5 将一个圆分成个扇形部分，依次为，每一扇形分别用种不同颜色中任一种涂色，其中相邻部分涂不同颜色，则不同的染色方案有多少种？

解析设有种涂色方案，则表示用这种不同的颜色按同样的规则填涂类似的块区域.

显然，先涂区域有种；再涂区域，不能与区域同色，有种，再涂区域，不能与区域同色，也有种，按照这种方式一直涂到区域.

我们不妨只考虑区域与区域不同色，则共有种.

但其中包含区域与区域同色的情形，当区域与区域同色时，可将此二区域视为一个区域来涂色，这种情形下的涂色方法恰为于是就得出了一个递推关系：

上式可改写成：.

即数列（）是一个公比为-1的等比数列.

综上所述，

点拨在一些复杂的计数问题中，运用数列递推思维组建递推关系可起到“疱丁解牛”的作用，使问题清晰而明了.需要说明的是，此题涉及到计数中的染色问题，通过递归关系得到一个一般化的通式，此式在染色问题中应用相当广泛.

递推思想在某些概率问题方面的应用

例6 已知，正四面体中，一枚棋子从一个顶点出发，选任何一条棱移动的概率都相等，每次移动前，掷一次骰子，出现偶数点，则棋子原地不动；若出现奇数点，则移动. 一枚棋子从点开始移动到点，求掷次骰子，才到达点的概率.

解析设掷次骰子时到达点的概率为，由题意知，在点选择任一条棱的概率均为，向前移动一次概率为，则分二类：（1）掷第次时不在点，则到达必顺掷奇数点且从该点移动到，则其概率为；（2）掷第次时在点，则第次必顺掷偶数点且不移动，则其概率为.

故由（1）（2）知，

则有，

故数列构成首项为

公比为的等比数列.

则有，即即掷次骰子，才到达点的概率.

点拨此题位置不确定，掷点奇偶不定，关系复杂，利用递推思想是最有郊的方法，通过构建递推数列，问题迎刃而解.一般存在相互依存关系问题的概率都可运用递推思路去

解决.

综上所述，灵活运用递推思维，构造递推数列解决某些问题，可以起到化繁为简、化抽象为具体的奇效. 其运用过程中，融高度的逻辑性于一体，是数学中化归思想的深度体现，因此在平时高考复习中，应引起我们足够的重视.