河北省中考试卷及解答

1998年河北省初中生升学统一考试
数 学 试 卷
试题（100分）
一、填空题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．计算：1－（－5）=__________．
解：原式 = 1 + 5 = 6．
2．若a ＜0，则a =____________．
解：∵a ＜0，∴a =－a ．
3．已知角α和β互补，β比α大200，则α =______________．
解：αββα+=-=⎧⎨⎪⎩⎪18020
00，∴2 a = 800． 4．计算：818+=___________________．
解：原式 = 252322=+ ．
5．在函数y x
=
-124中，自变量的取值范围为________________． 解：2－4x ＞0，x ＜12． 6．将二次三项式x 2＋2x －2 进行配方，其结果等于__________________．
解：x 2＋2x －2 = x 2＋2x ＋1－3 = （x ＋1）2－3．
7．若等腰三角形的底角为150，腰长为2，则腰上的高为_______________．
解：如右图所示，AB = 2，BD = 1． 8．计算：()x y x x y y y x +-+-
=2222______． 解：原式 = x x
y y x y x y x y
x y 2222
-
--=--=+． 9．已知方程组x y x y +=-=⎧⎨⎩
5522则 xy 等于__________________． 解：x y x y +=-=⎧⎨⎩5522 ，y = 5－x ，代入x 2－y 2 = 5，
得，x = 3，y = 2，∴xy = 6．
10．若等腰梯形的周长为80cm ，中位线长与腰长相等，
则它的中位线长等于__________．
11．已知一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相
等，则这个扇形的圆心角等于_____________．
解：R = 2r ，ππR n r 2
2360
= ，4n = 360，n = 900．
12．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ， AB = 103，AD 、BC 的长是方程x 2－20x ＋75 = 0
的两根，那么以D 为圆心、AD 为半径的圆与以C 为
圆心、BC 为半径的圆的位置关系是_____________．
解：AD 、BC 的长是方程x 2－20x ＋75 = 0 的两根，
得，AD = 5，BC = 15，
作DM ⊥BC ，则AB = DM =103，
AD = BM = 5，MC = BC －MC =15－5 = 10，
∴DC = 20．
∴以D 为圆心、AD 为半径的圆与以C 为 圆心、BC 为半径的圆的位置关系 是外切．
二、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把符合题目要求的选项前的字母填写在题后括号内）
1．若 2a 与1－a 互为相反数，则a 等于 【 】 （A ） 1 （B ） －1 （C ）
12 （D ） 13
解：依题意，得 2a = －(1－a) , a = －1，故选B ．
2．下列运算中，正确的是 【 】
（A ） 5ab －ab = 5 （B ） x ＋x = x 2
（C ） x 2x = 3x （D ） x 3÷x 2 = x
解：显然选D ．
3． 分解因式 x 4 －1的结果为 【 】
（A ） (x 2＋1)(x 2－1) （B ） (x ＋1)2(x －1)2
（C ） (x ＋1)(x －1) (x 2＋1) （D ）(x －1) (x ＋1)3
解：显然选C ．
4．设y = x 2＋x ＋1，则方程 x 2＋x ＋1 = 22x x
+可变形为 【 】 （A ） y 2－y －2 = 0 （B ） y 2＋y ＋2 = 0
（C ） y 2＋y －2 = 0 （D ） y 2－y ＋2 = 0 解：依题意，得 1
2-=y y ，整理，得 y 2－y －2 = 0 ，故选A ． 5．下列命题中，真命题为 【 】
（A ）对角线相等的四边形一定是矩形
（B ）底角相等的两个等腰三角形一定全等 D
C
A B M R r
（C ）平行四边形的一条对角线分成的两个三角形一定相似
（D ）有公共顶点和一条公共边的两角，若其和为1800，则这两角互为邻补角 解：选C ．
6．已知，如图1，∠A = 320，∠B = 450，∠C = 380，则∠DFE 等于 【 】
（A ） 1200 （B ） 1150
（C ） 1100 （D ） 1050 解：∠AEB =∠A + ∠C = 320 + 380 = 700， ∴∠DFE =∠AEB +∠B = 700 + 450 = 1150． 故选B ． 图 1
7．已知，ab ＜0，点p (a ，b)，在反比例函数
y a x
=
的图象上，则直线y = ax + b 不经过的象限为 【 】 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
解：∵点p (a ，b) 在反比例函数y a x
=的图象上，得 b = 1， 又∵ab ＜0，∴a ＜0，
∴直线y = ax + b 不经过的象限为第三象限．故选C ．
8．已知，如图2，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ， BE 切⊙O 于B ，且BE = BC ，CE 交AB
于F ，交⊙O 于M ，连接 MO 并延长，交 ⊙O 于N ．则下列结论中，正确的是 【 】
（A ） CF = FM （B ） OF = FB （C ） AB 弧等于22.50（D ）BC ∥MN 解：∵ 依据题目所给条件,得 ∠CBE =∠CBO +∠OBE= 450 + 900 = 1350,
连接MB, ∠MBE =∠BCE =∠BEC = 22.50, 圆心角∠BOM = 450
∴∠CBO = ∠BOM = 450 , ∴BC ∥MN ．故选D ．
三、（本大题共2个小题，每小题5分，共10分）
1．指出下面一组数据的中位数，并计算这组数据的方差：
11 19 13 17 15
解：将这组数据从小到大排列，得到
11 13 15 17 19
∴中位数为15 ---------------1分 x =
()15191715131151=++++ --------2分 ()()()()()[]222222151915171515151315115
1-+-+-+-+-=s =8 ---5分 2．已知：
x y z 3460==≠,求x y z x y z +--+的值． 解：设k z y x ===6
43，则x = 3k ，y = 4k ，z = 6k -------------2分 ∴x y z x y z +--+ = 5
15643643==+--+k k k k k k k k --------------------------5分 N A D C B F O M C A B E F
D
四、（本大题10分） 已知，如图3，四边形ABCD 为平行四边形， 延长BA 到E ，延长DC 到F ，使BE = DF ，AF
交BC 于H ，CE 交AD 于G ．
求证：△AGE ≌ △CHF ． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD-----------------2分
∵ BE = DF
∴AE ∥CF ， AE = CF ，四边形EAFC 是平行四边形．------------4分
∴∠E =∠F ， ----------------------6分 ∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠EAG =∠D ，∠D =∠FCH------8分
∴∠EAG =∠FCH ，△AGE ≌ △CHF ．----------------------------10分
五、列方程（或方程组）解应用题（本大题10分）
从A 村到B 村的路程为12千米，甲、乙两人同时从A 村出发去B 村，1小时后，甲在乙前1千米，甲到达B 村比乙早1小时．问甲、乙两人每小时各走几千米？
解：设乙每小时走x 千米，则甲每小时走(x + 1)千米．-----------------------1分 依题意得，11
1212=+-x x ----------------------------------5分 去分母，整理得 x 2 +x －12 = 0 -----------------------------7
解这个方程，得 x 1 = 3，x 2 =－4 --------------------8分
经检验， x 1 = 3，x 2 =－4 都是原方程的根，但速度不能为负数，故只取 x = 3， 此时 x + 1 = 4
答：甲每小时走4千米，乙每小时走3千米．---------------------------------10分
六、（本大题10分）
某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A 、B 两种产品，共50件，已知生产一件A 产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元，已知生产一件B 产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元，
（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来．
（2）设生产 A 、B 两种产品获总利润为y （元），其中一种的生产件数为x ， 试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产 方案获总利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品（50－x ）件．
依题意，得 ()()⎩
⎨⎧≤-+≤-+290501033605049x x x x ------------------------------------4分 解得 30≤x ≤32，∵x 为整数，∴ x 只能取30，31，32．
相应的（50－x ）的值为20，19，18．
∴生产方案有三种： ----------------------------5分 第一种方案：生产A 种产品30件，B 种产品20件；
第二种方案：生产A 种产品31件，B 种产品19件；
第三种方案：生产A 种产品32件，B 种产品18件．----------------6分
（2） 设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品（50－x ）件．
依题意，得 y = 700x +1200（50－x ）=－500x + 60000
其中x 只能取30，31，32． -----------------------------------7分
E
A B G D C F H
∵－500＜0，∴此一次函数 y 随x 增大而减小．
∴当x = 30时，y 的值最大，即按第一种生产方案安排生产，获总利润 最大．最大利润为：－500×30＋60000 = 45000（元）．-------10分
附加题（40分）
七、选择题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．答题要求与第二题相同）
1．关于x 的方程x k k x -=-的根为 【 】
（A ）x = k （B ）x 1 = k+1, x 2 = k －1 （C ）x 1 = k, x = k+1（D ）x = 2k
解: 根据题意, 得⎩⎨⎧≥-≥-00x k k x 解得x = k, 故选A ． 2．已知，如图4，弦AB 经过⊙O 的半径OC 的中点P ，
且AP = 2，PB = 3，则⊙O 的半径等于 【 】
（A ）2 （B ）6
（C ）22 （D ）26
解: 连接OD 交⊙O 于D, OD = R, CP = OP = 2
1R, ∴依据相交弦定理得: AP ·PB = CP ·PD , 即2×3 =
21R ×(21R + R ) R = 22± 舍去负值, R = 22．故选C ．
3．已知，k ＞1, b = 2k, a + c = 2k 2 , ac = k 4－1,
则以a 、b 、c 为边的三角形一定是 【 】
（A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形（D ）形状无法确定 解: 依据所给条件先求出a 、b 的值, x 2 －(a + c) x + ac = 0
即 x 2 －2k 2x + k 4－1 = 0
解方程x 2 －2k 2x + k 4－1 = 0得 x 1 = k 2+1, x 2 = k 2－1
∴a = k 2+1, c = k 2－1 （或相反）又, b = 2k,把前3式分别平方得
a 2 = k 4+2k 2+1, c 2 = k 4－2k 2+1,
b 2 = 4k 2
发现有 c 2 + b 2 = a 2, 所以 三角形一定是直角三角形．故选C ．
4．已知抛物线y = x 2＋2mx ＋m －7与x 轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关
于x 的方程
14
x 2＋（m ＋1）x ＋m 2＋5 = 0的根的情况是 （A ）有两个正数根 （B ）有两个负数根
（C ）有一个正数根和一个负数根 （D ）无实数根 解: ∵抛物线与x 轴的两个交点在点（1，0）两旁， ∴a ＞0, 开口向上, 直线x = 1与抛物线的交点
的纵坐标小于零
将x = 1代入y = x 2＋2mx ＋m －7,得 1 +2m + m －7＜0, m 方程14x 2＋（m ＋1）x ＋m 2＋5 = 0的判别式为 D C
A O P B
△ = (m ＋1)2－4×4
1( m 2＋5) = m －2＜0, ∴方程无解．故选D ． 八、（本大题8分）
已知，如图5，△ABC 中，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，
⊙O 过点A ，且与BC 相切于D ，与AB 、AC 分别相交于
E 、
F ，AD 与EF 相交于
G ． （1）求证：AF ·FC = GF ·DC ； （2）已知AC= 6cm ，DC = 2cm ，求FC 、GF 的长． （1）证明：连接DF ，在△AGF 和△DFC 中，
∵BC 与 ⊙O 相切于D ，
∴∠FAG =∠CDF
∵∠FAG = ∠BAD ，又 ∠BAD =∠EFD ，
∴∠CDF = ∠EFD ，EF ∥BC ．
∴∠AFG =∠DCF ．△AGF ∽△DFC ．
∴FC
GF DC AF =，即 AF ·FC = GF ·DC ----------------5分 （2）解：由切割线定理,得 DC 2 = AC ·FC ----------------6分
∵AC = 6, DC = 2, ∴FC =
()cm 32 , AF = AC －FC = ()cm 3
16 -----7分 由（1）知 AF ·FC = GF ·DC, ∴GF = ()cm 916 -------------8分 九、（本大题10分）
已知一条抛物线经过A （0，3）、B （4，6）两点，对称轴为x =53
． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）试证明这条抛物线与x 轴的两个交点中，必有一点C ，使得对于x 轴上任 意一点 D ，都有AC+BC ≤AD+BD ．
（1）解：设抛物线的解析式为y = ax 2＋bx ＋c ，A 点关于35=
x 的对称点为A ＇ 则A ＇（3
10，3） 依题意，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==++⎪⎭⎫ ⎝⎛=++3331031064162c c b a c b a ， 解得 a =89, b = 4
15-, c =3-------2分 ∴抛物线的解析式为y =89x 24
15-x + 3 --------------------------4分 （2）证明：设89x 2415-x + 3 = 0，解得 x 1 =3
4 , x 2 = 2． A E B D
C F
G O 图5
∴抛物线与x 轴的两个交点的坐标分别是（3
4 ，0），（2，0）---6分 设点A 关于x 轴的对称点为E ，则E （0，3） 设直线BE 的解析式为 y = mx +n ，由直线经过B ，E 两点得m =
49, n =－3． ∴y = 49x －3．易知，直线与x 轴的交点坐标是（3
4 ，0） 设C （3
4 ，0），则点C 恰为抛物线与x 轴的一个交点．----------8分 在x 轴上任意取一点D ，连接AC 、AD 、BD 、ED ．
若点D 与点C 为同一点，则AC + BC = AD + BD ；
若点D 与点C 不为同一点，在△BED 中，有BE ＜ED +BD ．
∵BE = EC + BC ，EC = AC ，ED = AD ，∴AC + BC ＜AD + BD ．
∴对于x 轴上任意一点D ，都有AC + BC ＜AD +-----------------10分
十、（本大题10分）
如图6所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB = 100里．
（1）若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试 求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；
（2）现轮船自A 处立即提高船速，向位于东偏北300方向，相距60里的D 港 驶去．为使台风到来之前，到达D 港，问船速至少应提高多少（提高的 船速取整数，1336 .）？
解：（1）设途中会遇到台风, 且最初遇到台风的时间为t 小时,
此时,轮船位于C 处,台风中心移到E 处,连接CE ． 则有 AC = 20t, AE = AB －BE = 100－40t,EC =2010．
在△RtAEC 中, AC 2 + AE 2 = EC 2, ∴(20t)2 + (100－40t)2 =(2010)2．
整理,得 t 2 －4t ＋3 = 0． ① ------------3分
∵△ = (－4 )2 －4×1×3 = 4＞0, ∴ 途中会遇到台风 --------------------------4分 解 ①得 t 1 = 1，t 2 = 3
∴ 最初遇到台风的时间为1小时．-------------5分
（2）设台风抵达D 港的时间为t 小时,此时台风中心至M 点．
过D 作DF ⊥AB,垂足为F,连接DM ．- ---------------------------------6分 在△RtADF 中,AD = 60,∠FAD = 600,∴DF = 303,FA = 30．--------7分 又 FM = FA + AB －BM = 130－40 t, MD = 2010．
∴(303)2＋(130－40 t )2 = (2010)2 ．
整理,得 4t 2 －26t ＋3 9 = 0． ----------------------------8分 解得 4
1313,4131321+=-=t t ． ∴台风抵达D 港的时间为
41313-小时． -------------------------------9分 ∵轮船从A 处用41313- 小时到D 港的速度为60 4
1313-≈25.5． 因此,为使台风抵达D 港之前轮船到D 港,轮船至少应提速6里/时．----10分。