流体力学第一章y

2019/9/15
27
1.2.2 Euler法（欧拉法）
欧拉法：以流场中每一空间位置（即坐标
点）作为描述对象，描述这些位置上的流体 物理参数对于时间的分布规律。类似于电场， 磁场的描述。
欧拉法着眼于空间点，设在空间中的每一 个点上描述出流体运动随时间的变化状况。 如果每一点流体运动都已知道，则整个流体 的运动状况也就清楚了。
在流力中谈到流体质点的位移,不是指个别分子的位移，而是指包 含大量分子，在流体力学中看成是几何点的分子团的位移，特别地 当我们说流体质点处于静止状态时，那就是说它将永远留在原地不 动，虽然那里的分子由于热运动将不断移动位置。
当我们在连续介质内某点A上取极限时，不管离A多近的地方都有 流体质点存在，并有确定物理值。而不这样认为：在取极限时会出 现叙列点陷入分子间真空区的现象,因为我们已经将流体看成是宏观 连续体，不再认为其中有分子结构了。
组成连续介质的流体质点，指的是微观上无 穷大，宏观上充分小的分子团。
宏观运动特征尺度L3 逻辑抽象的流体质点L2
一滴水
流体质点 L3>>L2>>L1 分子间距L1
流体质点
一方面，分子团的尺度L2和分子运动的尺度L1相 比应足够地大，使得其中包含大量的分子。
流体的各种性质，如密度等，只有对分子团进行 统计平均后才能得到稳定的数值，少数分子出入 分子团不影响稳定的平均值。
宏观：一般工程中，所研究流体的空间尺 度要比分子距离大得多。
2019/9/15
4
1.1 连续介质
常采用连续介质理论模型，即把流体所占有的 空间视为由无数个流体质点连续地、无空隙地 充满着。
连续介质模型
把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的 一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和 时间的连续函数的一种假设模型。
第一章 流场的描述方法
第一节 连续介质概念 第二节 流场的描述方法 第三节 流体质点 第四节 描述流动的欧拉方程 第五节 质点导数
1.1 连续介质
流场：流体所占据的空间称为流场。
流体是由分子或原子所组成，分子或 原子无时无刻都在作无规则的热运动。在 研究流体力学规律时，人们感兴趣的不是 流体的这种微观上的分子热运动，而是由 外部原因，如重力、压力差等作用引起的 宏观上的整体定向运动。
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记
录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。
“跟踪”的方法
基本参数： 位移 x x(a，b，c，t)
流体质点的位置坐标：y
z

y(a，b，c，t ) z(a，b，c，t)
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志
2019/9/15
21
微团宏观静止状态.swf
定义密度:
lim m
V 0 V
上式中的“0”不是数学上的无穷小。只有定 义了流体质点,认为流体质点的尺度是数学 分析中的无穷小，上式才有意义。
m/ V
0
V0
V
如果取的体积太小，接近分子间距，由于分子不断的进出此 空间，单个分子的进出都会引起比值的变化，则此极限不存在； 而体积取为流体质点级别时，同一时间进出此空间的分子数目 相抵，极限才有意义。
1.1 连续介质
流体的连续介质假设
必要性：连续介质假设后
——物理量在流体中连续分布
——可将流体的各物理量看作是空间坐标和 时间的连续函数
——解析方法等数学工具来研究流体的平衡 和运动规律
流体连续介质——物理量连
续 u u( x, y, z, t )
2019/9/15
6
1.1 连续介质
流体的连续介质假设(续)
若为柱坐标系，欧拉自变量为
V erVr eV ezVz
例如：圆管中的每一个截面的速度剖面图。
V ezVz r,, z,t
对于轴对称流动，可简化为
V ezVz r, z,t
1.2.2 Euler法（欧拉法）
2.流线：
欧拉方法中，用几何曲线形象描述流动的手段。 流线是某一瞬时的这样一条曲线：曲线上每一点 的速度矢量，总在该点与曲线相切。
2019/9/15
19
1.2.1 Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法：类似于理论力学中把质点
作为研究对象.着眼于流体质点，设法描述出每
一个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位
置随时间变化的规律。如果知道了每一个流体质
点的运动状况，那整个流体运动的情况也就知道
了。
AB
A
B
t2时刻
t1时刻
1.2.1 Lagrange法（拉格朗日法）
1.2.2 Euler法（欧拉法）
流线的几个性质：
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状， 流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点 上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地 变化的。
通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一 般情况流线不能相交和分支。
迹线：质点的位置方程，即运动轨迹方程：
r r a,b,c,t
位置方程是四个自变量的函数。a，b，c固定 时，是确定质点的轨迹参数方程；t 固定时，是t 时刻各质点的位置。
迹 线
1.2.1 Lagrange法（拉格朗日法）
串线：相继通过空间某一固
定点（坐标点）的流体质点 依次串联而成的线称为串线， 又称色线（在显示流场的实 验中常使串线染有不同颜色 而得名）。
2） 欧拉法（Euler）
拉格朗日:法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于
意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都 灵的皇家炮兵学校当数学教授。
1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧 洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应 邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》 一书，建立起完整和谐的力学体系。
另一方面又要求分子团的尺寸L2和所研究问题的 特征尺度L3相比要充分的小，小到在此微团内， 每种物理量都可看成是均匀分布的常量， 因而可 以把它近似地看成是几何上的一个点。
流体质点是流体力学中的无穷小。
对微团尺度的这种宏观上小、微观上大的要求， 实际上完全可以实现，例如，气体在标准状态下， 仅在10-5cm3这样一个宏观上看来非常小的体积 里，就包含着2.7*1014个分子，这从微观上看又 是非常大了。
1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去 世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地 溯源于拉格朗日的工作。
2019/9/15
18
1.2 研究流体运动的方法
研究流体运动的两种方法：
1） 拉格朗日法（Lagrange）
2） 欧拉法（Euler）
欧拉:瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於
dr //V 即：dr V 0
而：dr idx jdy kdz V iu jv kw
i jk dx dy dz 0 u vw
1.2.2 Euler法（欧拉法）
2.流线：
wdy vdzi udz wdx j vdx udyk 0
流线方程： dx dy dz u vw
流体线：由确定的形流体
质点组成的连续曲线称为 流体线，运动时流体线总 是在空间不断改变自己的 位置，形状，长度。
1.2.1 Lagrange法（拉格朗日法）
质点物理量：
1. 流体质点的位置坐标：
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) 流体质点的运动方程 z z(a，b，c，t)
2. 速度：
2019/9/15
u u(a，b，c，t )＝ x(a，b，c，t ) t
v v(a，b，c，t ) y(a，b，c，t ) t

w

w(a，b，c，t )

z(a，b，c，t )
t

25
1.2.1 Lagrange法（拉格朗日法）
质点物理量：
合理性：流体分子的间隙极其微小——可看
做连续介质 优 点:
1mm3液体3.3×1019 1mm3气体2.7×1016
避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流 体的宏观运动。使人们从分子运动的复杂性中 解放出来。
可以利用数学工具来研究流体的平衡与运动 规律。
2019/9/15
7
1.1 连续介质
瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生 於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15 岁大学毕业，16岁获硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界 作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上 最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量 的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引 论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经 典著作。
1.2.2 Euler法（欧拉法）
基本思想：
“站岗”的方法
考察空间每一点上的物理量及其变化。
空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的 物理量。
流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
独立变量：
v v( x, y, z, t)
空间点坐标 ( x, y, z)，时间(t)的函数
p p( x, y, z, t)
2019/9/15
2
1.1 连续介质
流体的微观图景
流体的宏观图景
1.1 连续介质
问题的引出：
微观：分子间存有空隙，在空间是不连续的。
流体是由大量做无规则运动的分子组成的， 分子之间存在空隙，但在标准状况下，1mm3液体 中含有3.3×1019个左右的分子，相邻分子间的距 离约为3.1×10-8cm。1mm3气体中含有2.7×1016个 左右的分子，相邻分子间的距离约为3.2×10-7cm
3. 流体质点的加速度：
ax

a
x
(a，b，c，t
)＝
u(a，b，c，t t
)

2 x(a，b，c，t )
t 2

ay

a y (a，b，c，t )

v(a，b，c，t ) t

2
y(a，b，c，t)
t 2

ay

a y (a，b，c，t )

w(a，b，c，t ) t
1.2 研究流体运动的方法
流场
充满运动的连续流体的空间。 在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。
研究流体运动的两种方法：
1） 拉格朗日法（Lagrange） 2） 欧拉法（Euler）
2019/9/15
17
1.2 研究流体运动的方法
研究流体运动的两种方法：
1） 拉格朗日法（Lagrange）
V0实际上就是流体质点的体积。
应当指出，在某些特殊情况下，连续介质假定是 不适用的。如高度真空下，气体稀薄，分子的平 均自由程与气体流动通道的直径几乎同量级时， 连续介质模型就不适用了。
1.1 连续介质
流体的连续介质假设(续)
适用范围： L / l >100 适用
L ——物体特征尺寸 l ——流体质点特征尺寸
1.2.1 Lagrange法（拉格朗日法）
几点说明：
1、对于某个确定的流体质点，（a，b，c）为常 数，t为变量——轨迹
2、t为常数，（a，b，c）为变量——某一时刻不 同流体质点的位置分布
3、a，b，c为Lagrange变量，不是空间坐标函 数，是流体质点的标号
1.2.1 Lagrange法（拉格朗日法）
火箭在高空稀薄气体中飞行 激波 MEMS（微尺度流体机械系统）
不适用
2019/9/15
15
强调三点内容
当流体力学中引进连续介质假设,并将流体近似看成是由流体质点 连续地无空隙地组成后，我们将不再考虑流体的分子结构。也就是 说，从连续介质力学看来，流体的形象是宏观的均匀连续体，而不 是微观的包含大量分子的离散体。
(x,y,z)空间坐标，也是流体质点的位移
(x, y, z,t)
按复合函数求导来推导加速度
2019/9/15
29
1.2.2 Euler法（欧拉法）
1.速度场：
V V x, y, z,t iu x, y, z,t jvx, y, z,t kwx, y, z,t

2z(a，b，c，t )
t 2

2019/9/15
26
1.2.1 Lagrange法（拉格朗日法）
优缺点：
√ 直观性Βιβλιοθήκη Baidu、物理概念明确、可以描述各质点的时变 过程。
×实际所关心的往往是空间固定区域内的物体与流体 的作用。
实验测量的也往往是空间固定点的参数。 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用 。