第十二章差错控制编码习题解答

1 0 1 1 1 0 0 ①
非典型生成矩阵
G=
0
1
0
1
1
1
0
②
0 0 1 0 1 1 1 ③
0 0 1 011 1
① ⊕ ③ ①
1 0 0 1 0 1 1
典型生成矩阵
G=
0
1
0
1
1
1
0
0 0 1 0 1 1 1
[Ik Qkr ]
重写
典型生成矩阵
1 0 0 1 0 1 1
a2 a4 a3 a0 =1 0 1=0
信息“101”的系统码为“110011”
方法2：信息与典型生成矩阵G计算得到系统码 （不建议考试时使用，但是在实际中被使用）
10 0 101
[110] 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 11
1 1 0 0 11
方法3：典型生成矩阵G的某些行进行模2加运算 （适合信息位中“1”的个数不多的场合） “110”
第十二章 差错控制编码
• 12.1已知8个码组为：（O00000），（001110）， （010101），（011011），（100011）， （1O1101），（110110），（111000）， （1）求以上码组的最小码距 d0； （2）若此8个码组用于检错，可检出几位错？ （3）若用于纠错码，能纠几位？ （4）若同时用于纠错和检错，e能不能大于t？ 解：
观察监督矩阵和生成矩阵可知，该分组码 的最小码重W=3，所以最小码距是3，可检 错2位或纠错1位。
(3)写出信息码“110”所对应的系统码 方法1：由监督方程
a4 a3 a2 a0 0 a4 a3 a1 0 a5 a3 a0 0
可得 a0 a5 a3=1 0=1 a1 a4 a3=1 0=1
非典型
0
1
1
1
0
1
H
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
结果为a0错
方法2：对照监督方程
a5
a4
a3
a2
a1
a0
a4 a3 a2
a0 0
a4 a3
a1
0
a5
a3
a0 0
B3=（101111）
（1） S1 1 （2）方法一：查验监督方程 a0错
S2 0
方法二：查看监督方程的对应列
S3 1
a4 a3 a2 a0 S1 a4 a3 a1 S2 a5 a3 a0 S3
计算可得 S1 1111 0 S2 11 0 0 S3 0 11 0
B1正确
解： B2=（101011）：由监督方程可得
a4 a3 a2 a0 S1
a4 a3 a1 S2 a5 a3 a0 S3
a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 1 0 1 0 0 0
H= 0 1 1 0 1 0 0
计算可得
S1 0 S2 0 S3 1
方法1：对照由监督方程直接得到的监督矩阵
非典型
a5
a4
a3 a2
a1
a0
0
1
1
1
0
1
H
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
结果为a5错
方法2：对照监督方程
a5
a4
a3
a2
a1
a0
a4 a3 a2
a0 0
a4 a3
a1
0
a5
a3
a0 0
B2=（101011）
解：（1） 信息位 k 3
监督位 r 3
a5
a4
a3
a2
a1
a0
a4 a3 a2
a0 0
a4 a3
a1
0
a5
a3
a0 0
0
1
1
1
0
1
H
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
非典型监督矩阵
S1
H
矩阵的列对应
S2
的值
S3
将非典型监督矩阵转换为典型监督矩阵
非典型
0
1
1
1
0
H
0
1
1
0
1
1
1 0 0 1 0 1 ① 典型生成矩阵G 0 1 0 1 1 0 ②
0 0 1 0 1 0 ③
①⊕ ③
1 1 0 0 11
(4)判断下列接收到的码字是否正确。B1=（011101），B2=
（ 何1纠0错10和11检）错，。B3=（101111）。若接收到的是非码字，如 解： B1=（011101）：由监督方程可得
0
1
0
0
利用线性代数的初等变换， ① ⊕ ③ ①
典型
1
1
0
1
0
H
0
1
1
0
1
1Leabharlann Baidu
0
1
0
0
Prk Ir
1① 0② 1③
0 0 1
1
1
0
1
0
0
典型 H
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Prk Ir
典型生成矩阵 G [Ik Q] [Ik PT ]
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
(2)求其最小码距并分析其检错、纠错能力
（1） S1 0 （2）方法一：查验监督方程 a5错
S2 0
方法二：查看监督方程的对应列
S3 1
解： B3=（101111） ：由监督方程可得
a4 a3 a2 a0 S1
a4 a3 a1 S2 a5 a3 a0 S3
计算可得
S1 1 S2 0 S3 1
方法1：对照由监督方程直接得到的监督矩阵
（重点考试题型）
已知（7,3）循环码生成多项式：
g(x) x4 x2 x 1
求：(1)监督矩阵和生成矩阵。 (2)若信息为“101”，求系统码。 (3) 若接收端收到“”，试判断有没有误码？如果有
误码，指出是哪一位错了？（假设传输时最多只有一 个误码）
(4)画出构成该循环码的编码器电路。
解：（1）g(x) x4 x2 x 1 [0010111]
（1）最小距离 d0 3； （2）用于检错，d0 e 1 得 e 2 ，能检测出2位错码； （3）用于纠错，d0 2t 1 得 t 1，能纠正1位错码； （4）同时用于纠错和检错 ，d0 e t 1 得 e t 1 ，
e不能大于t 。
12.5已知（6,3）线性分组码的一致监督方程为：
G=
0
1
0
1
1
1
0
0 0 1 0 1 1 1
[Ik Qkr ]
典型 H [Prk Ir ] [QkTr Ir ]
1 1 0 1 0 0 0
= 0 1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0
1
0
1
0
0
0
1
a6 a5 a4
解：（2）若信息为“0 1 1”，求系统码
方法一： ①由监督矩阵
a4 a3 a2 a0 0 a4 a3 a1 0 a5 a3 a0 0
其中 a5, a4, a3 为信息码。
（1）试求其生成矩阵和监督矩阵。 （2）求其最小码距并分析其检错、纠错能力 （3）写出信息码“110”所对应的系统码 （4）判断下列接收到的码字是否正确。B1=
（011101），B2=（101011），B3=（101111）。 若接收到的是非码字，如何纠错和检错。