弹性力学第三章习题

1.设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q ，如图1，试求应力分量。

解：采用半逆解法，设
=x σ 。

导出ϕ使其满足双调和方程：
0)
()(,00,0)
()()
()()(,04
14
44
42244
44144
44412
2=+=∇=∂∂∂=∂∂+=∂∂+==∂∂=-∂∂=dx
x f d dx x f d y
y x y dx x f d dx x f d y x x f x yf x f y Xx y x ϕϕ
ϕϕϕϕϕσ
（1）
含待定常数的应力分量为：
⎪⎪
⎪⎪⎭⎪
⎪⎪⎪⎬
⎫++-=∂∂∂-=-+++=-∂∂==-∂∂=)23(26)26(0
2
2
2222C Bx Ax y x Py F Ex B Ax y Yy x Xx y
xy y x ϕτϕσϕ
σ （2）
（3）
x
1
取任意值时，上式都应成立，因而有：
y 23232
31
234
1444)()(,)(0)(,0)(Fx Ex Cx Bx Ax y Fx Ex x f Cx Bx Ax x f dx x f d dx x f d ++++=+=++===ϕ式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。

)(x f )(1x f x
利用边界条件确定常数，并求出应力解答：
,0)
(0==x x σ 能自然满足： 0,0)(0===C x yx τ,0)(==h x x σ能自然满足：
,026,0)(23,)(02===+==--===F E F Ex q Bh Ah q y y h x yx στ
Cy
Bx y x gy By Ax Yy x
Dy Cx Xx y xy
y x 2226622
2222--=∂∂∂-=-+=-∂∂=+=-∂∂=ϕτρϕ
σϕ
σ0)(,0)(00====y xy y y τσ
（4）
（5）
2．如图2（a ），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。

2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：
上边界：
,0)(0==y yx τ不能精确满足，只能近似满足： ⎰⎰
=+-===h h
y y xy dx Bx Ax dy 0002
00)23(,0)(τ023=--Bh Ah 由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量： A B h
q
B h q A =
-=,2（
)
32(,)31(2,0h x h qx Py h x h qy xy y x --=--==τσ
σx
x x 图
（a ） （b ）
解： 1.设应力函数为： 3223Dy Cxy y Bx Ax +++=ϕ 不难验证其满足 。

所以应力分量为：
04=∇ϕ
cos sin 0cos sin cos ,sin )90cos(0=+-=+-=-=+=y xy xy x m l ασατατασα
αααρτρσαραρσαραρcot ,cot 2cot cot 3
,cot 2,022
gy gy gy gx g D g C B A xy y x -=-=-=-====ϕϕx =10)(2)2(2)(2))((221222222222212
=∇∂∂=∂∂∇=∇∇∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕϕϕϕϕϕx x x y x x x x y x 0)2(,2222222
=∂∂∇=∇∇∂∂=∇y
y ϕϕϕϕ0)444(444)()()(23222
22222232=∂∂+∂∂+∇=∇∇∂∂+∂∂+=∇+∇=+∇=∇y y x x y
y x x y x y x ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ 斜边：
解得：
解：将 代入相容条件，得：
ϕ1
3．如果 为平面调和函数，它满足 ，问 ϕ02=∇ϕϕ
ϕϕ)
(,,22y x y x + 是否可作为应力函数。

满足双调和方程，因此，可作为应力函数。

将 ϕϕy =2 代入相容条件得
也能作为应力函数。

把 代入相容条件，得： 2ϕϕϕ)(2
23y x += 所以， 也可作为应力函数。

3ϕ
x
q
x
)3(
)
(
6
)
2
(
6
)
2
(
6,
)
(
2
3
2
=
-
=
+
-
+
-
-
=
-
=
-
=
h
y
xy
h
y
y l
x
q
Ex
h
Cx
h
Ax
l
x
q
τ
σ
)4(
)
2
(
3
3
)
2
(
5
)
2
(
92
2
4
2
2=
+
-
+
+
-
+
-F
h
D
Cx
h
B
h
Ax
解：由满足相容方程确定系数A与B的关系：
B
A
Bxy
Axy
Axy
y
x
Bxy
y
x
3
5
120
72
36
,
120
,
2
2
4
4
4
4
4
-
=
=
+
=
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂ϕ
ϕ
ϕ
含待定系数的应力分量为
)2
(
)
3
3
5
9(
6
6
6
6
20
6
2
2
4
2
2
3
3
3
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
+
+
+
+
-
=
+
+
=
+
+
=
F
Dy
Cx
By
y
Ax
Ex
Cxy
Axy
Dxy
Bxy
y
Ax
xy
y
x
τ
σ
σ
由边界条件确定待定系数：
4．图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：
Fxy
Ex
Dxy
y
Cx
Bxy
y
Ax+
+
+
+
+
=3
3
3
5
3
3
ϕ
，求简支梁的应力分量（体力不计）。

3
4xy
d =ϕ)
6(0)2(33)2(5)2(9,0)
()
5(0
6)2
(6)2(6,0)(22
422
2
32
=++++==++==
=
F h D Cx h B h Ax Ex h
Cx h Ax h
y xy h y y τσ、
由以上式子可求得：
)
8(0
,0)()7(6804,6)(4,5,3,122222
0203
002
20
30300=++=--=+===-=-
=⎰
⎰-==-D Bh Al ydy l q l h q Fh Dh l q dy lh q
C lh q B lh q A l q E h
h l x x x h h
xy στ
由此可解得：
l
h
q h l q F h
l
q lh q D 804,
3100
0300+-
=+-
=
应力分量为
)
9(203)(4(4)43(2)10
32(22
2
22223
03
323
032
2230⎪⎪⎪⎭
⎪⎪
⎪⎬⎫+---=--=-+-=h l y x h y lh q h y y h x lh q h l x y xy lh q xy
y x τσσ5.如图所示，右端固定悬臂梁，长为l ，高为h ，在左端面上受分布力作用（其合力为P ）。

不计体力，试求梁的应力分量。

解：用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。

显然，应力函数 3
4xy d 所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为
244
3-h d 的剪应力，为了抵消它，在应力函数
上再添加一个与纯剪应
力对应的应力函数
xy b 2
：
xy b xy d 234+=ϕ
由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：
2
4222
242
230
,
6y d b y
x x xy d y xy
y
x --=∂∂∂-==∂∂==∂∂=ϕτϕσ
ϕσ
利用边界条件确定，并求出应力分量： 上、下边界：
)
(,
0)
(2
2
==±
=±
=h y xy h y y
τσ
左端部：
P
dy h h x xy x x -==⎰
-==22
00)(,
0)(τσ
解得：
2
333
42623,0,122,23y
h P h P xy h P h P d h P b xy y x +-==-=-==τσσ
6.试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?
【解答】⑴相容条件:
不论系数a 取何值，应力函数3
ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得
6,0,0x y xy yx ay σσττ====
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；
当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()00y xy x f τ===
右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为
主矢，主矩
x
f x
f
主矢的中心在矩下边界位置。

即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。

偏心距e ：
因为在A 点的应力为零。

设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：
2()0/6/6
x A p pe
e h bh bh σ=-=⇒=
同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。

7.试考察应力函数223(34)2F
xy h y h
Φ=
-，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面
力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
4444
22420∂Φ∂Φ∂Φ
++=∂∂∂∂x x y y
，显然满足 （2）将Φ代入式（2-24），得应力分量表达式
3
12,0,x y Fxy
h
σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h τ
τ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：
y
①在主要边界上（上下边界）上，2
h
y =±，
应精确满足应力边界条件式（2-15），应力()
()
/2
/2
0,0y yx y h y h στ=±=±==
因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ⎛⎫⎛
⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：
22340:0,1-2x y F y x f f h h ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
3
221234:,12x y Fly F y x l f f h h h
⎛⎫
==-
=-- ⎪⎝⎭
因此，各边界上的面力分布如图所示：
③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上 x=l 上
1212h/2/2
/2/2h/2
/2
/2/2h/2/2
12-h/2
/2
=0, 0=, =0, h N x N x h h h S y S y h h h x x h x F f dy F f dy y F f dy F F f dy F M f ydy M f ydy Fl
-----======-===-⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
向主矢：向主矢：主矩：
因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
(a) (b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F 作用的问题。

8.设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q （图3-10），试求应力分量。

【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。

(1)假定应力分量的函数形式。

x
y
b
g
ρh
h
b
q
图3-10
根据材料力学，弯曲应力y σ主要与截面的弯矩有关，剪应力xy τ主要与截面的剪力有关，而挤压应力x σ主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则0x σ=
(2)推求应力函数的形式
将0x σ=，体力0,x y f f g ρ==，代入公式（2-24）有
220x x f x y
σ∂Φ
=-=∂
对y 积分，得
()f x y
∂Φ
=∂ （a ） ()()1yf x f x Φ=+ （b ）
其中()()1,f x f x 都是x 的待定函数。

（3）由相容方程求解应力函数。

将（b ）式代入相容方程（2-25），得
()()
44144
0d f x d f x y dx dx += （c ）
在区域内应力函数必须满足相容方程，（c ）式为y 的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y 值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
()()4414
0,0d f x d f x dx dx
== 两个方程要求
()()32321,f x Ax Bx Cx f x Dx Ex =++=+ （d ）
()f x 中的常数项，()1f x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在Φ的表达式中成为y 的一次项及常数项，不影响应力分量。

将（d ）式代入（b ）式，得应力函数
()()3232y Ax Bx Cx Dx Ex Φ=++++ （e ）
（4）由应力函数求应力分量
220x x f x y
σ∂Φ
=-=∂ （f ）
226262y y f y Axy By Dx E gy x
σρ∂Φ
=-=+++-∂ (g)
2232xy
Ax Bx C x y
τ∂Φ=-=---∂∂ (h)
(5)考察边界条件
利用边界条件确定待定系数A 、B 、C 、D 、E 。

主要边界0x =上（左）：
()000,()0x xy x x στ====
将（f ），（h ）代入
()00x x σ==，自然满足
0()0xy x C τ==-= （i ）
主要边界x b =上，
()0x x b σ==，自然满足
()xy x b q τ==，将（h ）式代入，得
2()32xy x b Ab Bb C q τ==---= （j ）
在次要边界0y =上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
()200
0()62320b
b
y y dx Dx E dx Db Eb σ==+=+=⎰⎰ （k ）
()3200
()6220b b y y xdx Dx E xdx Db Eb σ==+=+=⎰
⎰ （l ）
()23200
()320b
b yx y dx Ax Bx C dx Ab Bb Cb τ==---=---=⎰
⎰ （m ）
由式（i ），(j)，（k ），（l ），（m ）联立求得
2, , 0q q
A B C D E b b
=-====
代入公式（g ），(h)得应力分量
230, 13, 2x y xy qx x q gy x x b b b b σσρτ⎛⎫⎛⎫
==
--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9.设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。

【解答】采用半逆解法求解
(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数3223=Ax Bx y Cxy Dy Φ+++，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）
(2) 由式（2-24）求应力分量
由体力分量0,x y f f g ρ==，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：
2226x x f x Cx Dy y σ∂Φ
=-=+∂ （a ）
2262y y f y Ax By gy y
σρ∂Φ
=-=+-∂ （b ）
222xy
Bx Cy x y
τ∂Φ=-=--∂∂ （c ）
（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。

①对于主要边界0y =，其应力边界条件为：
0()0
y y σ==，
0()0
yx y τ== （d ）
将式（d ）代入式（b ），（c ），可得
0=0A B =， （e ）
②对于主要边界tan y x α=（斜面上），应力边界条件：
在斜面上没有面力作用，即0x y f f ==，该斜面外法线方向余弦为，sin l α=-，cos m α=.由公式（2-15）
，得应力边界条件 tan tan tan tan sin ()cos ()0sin ()cos ()0x y x yx y x xy y x y y x ααααασατατασ====-⋅+⋅=⎫
⎬-⋅+⋅=⎭
（f ）
将式（a ）、（b ）、（c ）、（e ）代入式（f ），可解得
2
cot ,cot 23
g g C D ρραα==- （g ）
将式（e ）、（g ）代入公式（a ）、（b ）、（c ），得应力分量表达式：
2cot 2cot cot x y xy gx gy gy
gy σραρα
σρτρα
⎧=-⎪
=-⎨⎪
=-⎩
10. 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，l>>h ，图3-5，试用应力函数Φ=Axy+By 2+Cy 3+Dxy 3求解应力分量。

解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数Φ，可按下列步骤求解。

1．将Φ代入相容方程，显然是满足的。

2．将Φ代入式（2-24），求出应力分量
()
2266,0,
3。

x y xy B Cy Dxy A Dy σστ=++==-+
3．考虑边界条件：主要边界y =±h /2上，应精确满足式（2-15），
()
()
y 2
2
0,满足；30,
得04y h yx y h A Dh στ=±=±==+
=
在次要边界x =0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边
界条件代替。

注意x =0是负x 面，图3-5中表示了负x 面上σx ,和τxy 的正方向，由此得
()()()
()
2
02
2
30
2
2
3
2
,求得
;22,求得;
1,得。

4
h N
x N x h
h x x
h h xy
S S x h F dy F B h M
ydy M C h
dy F Ah Dh F b σστ=-=-
=-=-=-
=-=-=-+
=⎰⎰⎰
由式(a)，（b ）解出
332,。

2h S S F F
A D h =
=-
最后一个次要边界条件(x =l 上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，
是必须满足的，故不必再校核。

代入应力公式，得
x 33221212,0,314。

2N S y S
xy
F F M
y xy h h h
F
y h
h σστ=-
--=⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
11. 挡水墙的密度为ρ1，厚度为b ，图3-6，水的密度为ρ2，试求应力分量。

解：用半逆解法求解 1．假设应力分量的函数形式，因为在y =-b /2边界上，σy =0；y=b /2边界上，σy =-ρ2gx ，所以可假设在区域内σy 为
()y 。

xf y σ=
2．推求应力函数的形式。

由σy 推测Φ的形式，
()()()()()()2y
2
2
13
12,则
,2。

6
xf y x
x f y f y x x f y xf y f y σ∂Φ==∂∂Φ=+∂Φ=
++
3．由相容方程求应力函数。

将Φ代入▽4Φ=0，得
44342124442
20。

6d f d f x d f d f x x dy dy dy dy +++=
要使上式在任意的x 处都成立，必须
4324
42543211424322
24
0,得f=Ay +y ;
20,得;
10
6
0,得
f 。

d f
B Cy D dy d f d f
A
B
f y y Gy Hy Iy dy dy d f Ey Fy dy =+++==-
-
+++==+
代入Φ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。

4．由应力函数求应力分量，将Φ代入式（2-24），注意体力f x =ρ1g ，f y =0，求得应力分量为
()()()
()
2332
x 2
1232
2
22
2432
2262362,
,322
232。

23x y y xy
B f x x Ay x Ay By Gy H y Ey
F gx f y x Ay By Cy D x x Ay By C x y A B y y Gy Hy I σρστ⎛⎫∂Φ=-=++--+++
⎪∂⎝
⎭+-∂Φ=-=+++∂∂Φ=-=-+++
∂∂⎛⎫+--- ⎪⎝⎭
5．考虑边界条件：在主要边界y =±b /2上，有
()
()
()
()()
34y 222
322
22
2
432,得x ;8420,得0;84230,
得2430。

32124y b y y b xy y b b b b
gx A B C D gx a b b b
x A B C D b x b A Bb C b b b A B G Hb I σρρστ==-=±⎛⎫=-+++=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-+= ⎪⎝⎭
⎛⎫=-±++
⎪⎝⎭
⎛⎫±--= ⎪⎝⎭
由上式得到
()
()
24323b 0,,430。

,32124
A Bb C c d b b b A
B G Hb I e f ±+=±--=
求解各系数，由
(a)+(b)得
22
1
,4
2b B
D g ρ+=-
(a)-(b)得
23
1
,8
2
2b b
A
C
g ρ+=-
(c)-(d)得
21
0,
,2B D g ρ=∴=-
(c)+(d)得230。

4b A C +=
由此得
2232
3
,。

2b
A g C g b ρρ=
=-
又有 (e)-(f)得
0，H =
(e)+(f)得 4
2
30,324b b A G I --=
代入A ，得
()
2
23。

g 164
b
b I g G ρ=-
在次要边界（小边界）x =0上，列出三个积分的边界条件：
()()
()()2
2
20
2
2
220
2
0,
得,80
4
0,得0,0,
得0。

b xy x
b b x x b b
x x
b b
b dy I g G h dy F ydy E τρσσ=-=-=-==
-
====⎰⎰⎰
由式(g),(h)解出
221
,。

80
10b
I g G g b ρρ=-
=
代
入
应
力
分
量
的
表
达
式
，
得
应
力
解
答
：
33
222133
323232223323g 4+
,531222333。

41080x y xy
g
g x y xy xy gx b b b y y gx b b
y y y b gx gy b b y b b ρρρσρσρτρρ=--⎛⎫
=-- ⎪
⎝⎭⎛⎫⎛⎫=----+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12. 已知
()
()()
()
22222432224,,
a Ay a x Bxy C x y
b Ax Bx y Cx y Dxy Ey Φ=-+++Φ=++++
试问它们能否作为平面问题的应力函数？ 解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，
40。

∇Φ=
将Φ代入，
（a ）其中A =0，才可成为应力函数；（b ）必须满足 3（A+E ）+C =0，才可成为应力函数。

13. 图3-7所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F 和力矩
M = b
2F 的作用，试用应力函数
32Ax Bx Φ=
+
求解图示问题的应力及位移，设在A 点的位移和转角均为零。

解：应用应力函数求解：
（1）校核相容方程 ▽4Φ=0，满足。

（2）求应力分量，在无体力时，得
62,0。

y x xy Ax B σστ=+==
（3）考虑主要边界条件 ,0,0,
x xy x b στ=±== ，均已满足。

考虑
次人边界条件，在y =0上，
()
()()
20
0,满足;
得;2得
A=-。

2
8yx y b y b
y b
y b
y F dx F B b Fb
F xdx b τσσ=-=-===-=-
=-
⎰⎰
代入，得应力的解答，
y 31,0。

22x xy F x b
b σστ⎛⎫=-
+== ⎪⎝⎭
上述Φ和应力已满足了▽4Φ=0和全部边界条件，因而是上述问题的解。

（4）求应变分量，
x 331,1,0。

2222y
xy F x F x Eb
b Eb b μεεγ⎛⎫⎛⎫
=
+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
（5）求位移分量，
()()2123由
1,对积分,得
223u ;
243由1,对积分，得223v=-。

2b 2x y u F
x x x Eb
b F x x f y Eb b v F x y y Eb b F xy y f x E b μεμε⎛⎫∂==+ ⎪∂⎝⎭
⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
⎛⎫∂==-+ ⎪∂⎝⎭⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
将u,v 代入几何方程第三式
v 0,xy u x y γ∂∂+==∂∂
两边分开变量，并令都等于常数ω,即
()()2123。

4df x df y F
y dx
dy
Eb ω=-
+
=
从上式分别积分，求出
()()202102
f ,
3。

8x x F
f y y y u Eb ωνω=+=
-+
代入u,v ，得
22
0233,2483x+v 。

22F x F u x y y u Eb b Eb
F xy
v y Eb b μωω⎫⎛⎫=++
-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎬⎪⎛⎫
=-
++ ⎪⎪⎝⎭
⎭
再由刚体约束条件，
()()2
0,202
0,00,u 30,得=;430,得;80,得。

2x y h
x
y h
x y h F
h y Eb F
u u h Eb
F
v v h Eb ω======⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭==
==
代入u,v ，得到位移分量的解答：
()()22233u ,24831。

22b F x F x h y Eb
b Eb F x v h y Eb μ⎫
⎛⎫=
++-⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎬⎛⎫
⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭
⎭
在顶点x=y =0。

()0。

2x
y Fh Eb ν===
14.矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载，图3-8。

试用下列应力函数
335333=x ,A y Bxy Cx y Dxy Ex Fxy Φ+++++
求解应力分量。

解：应用上述应力函数求解：、 （1）将Φ代入相容方程
450,721200,得。

3A B A B ∇Φ=+==-
由此，
33
53335=-
x xy 。

3B y Bxy Cx y D Ex Fxy Φ+++++
（2）求应力分量，在无体力下，得
()
33x 322422=-10Bx 20xy 6,1066,
15533。

y xy y B Dxy Bxy Cxy Ex Bx y By Cx Dy F σστ++=-++=--++++
（3）考虑主要边界条件（y ±h /2）,
22421553y 0,得30。

4164xy h x C Bh Bh Dh F τ⎛⎫⎛⎫=±=-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对于任意的x 值，上式均应满足，由此得
()()()
()
2
4233153-
h 0,453
0。

b 164
5,0,360,452,,36。

d 4y y C B a Bh Dh F y h x Bh Ch E c x x
y h q x Bh Ch E q l l σσ=++=⎛⎫
==-++= ⎪⎝⎭
⎛⎫=-=--+=- ⎪⎝⎭
由(c)+(d)得。

12q
E l =-
由(c)-(d)得
()
25-h 3。

42q B C e lh
+=
由（e ）-(a)得
3
,。

45q q
B C lh lh
=
= （4）考虑小边界上的边界条件（x =0），由
()
2
2
,
6h xy
x h ql
dy τ=-=
⎰
得
()
5
3。

16
4
6
h h ql
B
D
Fh f ++=-
由式（b ）和(f)解出
3
1,103。

804l D q lh h h l F q l h ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
另两个积分的边界条件，
()()2
220
2
0,0,
h x x
h h
x x
h dy ydy σσ=-
=-
==⎰⎰
显然是满足的。

于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：
22222
23232222322,10134,2143。

420x
y xy
xy l x y q lh h h
x y y q l h h q y l x h y h lh l lh h σστ⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫⎪
=--+⎬ ⎪
⎝⎭⎪
⎪
⎛⎫⎛⎫⎪=---+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
读者试校核在x =l 的小边界上，下列条件都是满足的。

()()()
22
2
l 2
2
2
0,0,。

3
h h h x x xy
x x l x l
h
h h ql
dy ydy dy σστ===-
--===-
⎰⎰
⎰
15. 矩形截面的柱体受到顶部的集中力F 2和力矩M 的作用。

图3-9，不计体力，试用应力函数
233
=y A Bxy Cxy Dy Φ+++
求解其应力分量。

解：应用上述应力函数求解：
（1）代入相容方程，▽4Φ=0，满足。

（2）求应力分量，在无体力下，得
()
2xy 66,0，
3。

x y A Cxy Dy B Cy σστ=++==-+
（3）考察边界条件。

在主要边界⎪⎭
⎫ ⎝⎛±=2b y ，
()
2
,0,满足；
2
3,。

4
y yx b
y q B Cb q a στ=±
==-+
=
在次要边界x =0，
()()
()()(
)
()2
2
02
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
22
,
,得;223,
,得D 3
,,得
1 B+
Cb 。

b 4322b b x x b
b b b x x
b b b b xY x
b b F dy F F A b
M
ydy M M b dy F F F b
Ay Dy y A Dy By Cy σστ=--=--=--=-=-=-
=-=-=-
=--=-=+⎰⎛⎫+⎰ ⎪⎝⎭
+⎰
再由(a),(b)式解出
22,13。

2
F C q b b F B q b ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭⎛⎫=-
- ⎪⎝
⎭ 代入，得应力解答，
x 23221212,0136。

2y xy
F F M
q xy y b b b b F F q q y b b b σστ⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎪
⎪
=⎬⎪
⎛⎫⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
16. 试由应力函数
()
22
q =-
arctan ,2y x y xy x π⎡⎤Φ+-⎢⎥⎣⎦
求解图3-10所示的半无限平面体在x ≤0的边界上受均布压力q 的问题。

解：应校核相容方程的边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。

本题得出的应力解答是
ρ
O
y
x
ϕ
2q
22222
22
arctan ,arctan
,。

x y
xy
q y xy x x y q y xy x x y q y x y
σπ
σπτπ⎫⎛
⎫=-+⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎛
⎫⎪=--⎬ ⎪+⎝
⎭⎪
⎪⎪=-+⎪⎭
17.试由应力函数
()
2222q 1=
ln arctan ,2y y x y xy y x π⎡⎤Φ++-⎢⎥⎣⎦
求解图3-11所示的半平面体在x ≤0的边界上受均布切力q 的
问题
解：应力函数Φ应满足相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。

本题得出的应力解答是
222
22222
222ln ,,arctan 。

x y xy q y x y x y q y x y q y xy x x y σπ
σπτπ⎫⎛⎫=
++⎪ ⎪+⎝
⎭⎪⎪
⎪=-⎬
+⎪
⎪⎛⎫=-+⎪
⎪+⎝⎭⎪⎭
18.半平面体表面上受有均布水平面力2q ，试用应力函数
2
(sin 2)B C ρϕϕΦ=+求解应力分量，如图
解：（1）由于2ρΦ∝，而相容方程40∇Φ=，故满足，验证相容方程满足； （2）求出应力分量如下：
2sin 222sin 222cos 2B C B C B C ρϕρϕσϕϕσϕϕτϕ⎧=-+⎪
=+⎨⎪
=--⎩ （3）代入2
π
ϕ=±
边界的应力边界条件，得：
()
()
2
2
2C q B q
π
ϕϕπ
ρϕϕστ=±=±=⇒==-⇒=-
（4）得到应力分量的表达式为：
2sin 22sin 22cos 2q q q ρϕρϕσϕσϕτϕ⎧=⎪
=-⎨⎪
=⎩
19.半平面体表面上受有均布水平面力2q ，试用应力函数2(sin 2)B C ρϕϕΦ=+求解应力分量，如图（12分）
解（1）由于2ρΦ∝，而相容方程40∇Φ=，故满足，验证相容方程满足； （2）求出应力分量如下：
2sin 222sin 222cos 2B C B C B C ρϕρϕσϕϕσϕϕτϕ⎧=-+⎪
=+⎨⎪
=--⎩ （3）代入2
π
ϕ=±
边界的应力边界条件，得：
y
()
()
2
2
00
2C q B q
π
ϕϕπ
ρϕϕστ=±=±=⇒==-⇒=-
（4）得到应力分量的表达式为：
2sin 22sin 22cos 2q q q ρϕρϕσϕσϕτϕ
⎧=⎪
=-⎨⎪
=⎩ 20.如图所示矩形截面简支梁，长度为l ，高度为h （h l >>，1=δ），在上边界受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：Fxy Ex Dxy y Cx Bxy y Ax +++++=Φ333533，求简支梁的应力分量（体力不计）。

解（1）将Φ代入相容方程，
B A B A 3
5
,
012072,
04-==+=Φ∇得
由此，
Fxy 。

Ex Dxy y Cx Bxy y Bx +++++-=Φ3335333
5
（2）求应力分量，在无体力下，得。

F Dy Cx By y Bx Ex Cxy Bxy Dxy Bxy y Bx xy y x )33515(,
6610,6201022422333++++--=++-=++-=τσσ
（3）考察主要边界条件)2/(h y ±=，。

F Dh Bh Bh C x h y xy 0431654153,0,2/2422=⎪⎭
⎫
⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=±=得τ
对于任意的x 值，上式均应满足，由此得
y
x
6
/0lq
04
1532
=-
Bh C
（a ） 04
3
16524=++F Dh Bh
（b ） ()06345
,0,2/3=++-==E Ch Bh x h y y σ （c ） )l x q E Ch Bh x l
x
q h y y 030634
5
,
,2/-=+- ⎝⎛-=-=σ
（d ）
由(c)+(d)得
l
q E 120
-
=。

由(c)-(d)得
lh
q C Bh 2345
02=+- (e) 由(e)-(a)得
lh q C lh
q B 4,5030==
（4）考察小边界上的边界条件（x =0）,由
,6
)(02/2/0
l q dy h h x xy =⎰-=τ 得 6
41603
5l q Fh h D h B -=++ （f ）
由式（b ）和(f)解出。

h l l h
q F lh h l q D ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=480,
1013030 另两个积分的边界条件：。

ydy dy h h x x h h x x 0)(,
0)(2
/2
/02
/2/0==⎰
⎰-=-=σσ
显然是满足的。

（5）于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-=。

lh y l h lh x h l h y q h y h y l x q h y h x l lh xy q xy
y x 2222033220222220203414,4312,10322τσσ 经校核在x=l 的小边界上，下列条件也是满足的：
⎰⎰
⎰-=-=-=-
===2
/2/02
/2/2
/2/3
)(,0)(,0)(h h l x xy h h ly x x h h l x x l
q dy dy dy τσσ。

21.楔形体左边垂直，右边与垂直方向成角45o ，下端无限长，不计体力，左边受
到均布水平方向的面力q 作用，试用半逆解法求应力分量。

解： 解法1---
（1）假设部分应力的形式并推求应力函数的形式
用量刚分析认为，各个应力分量只可能是x 和y 的纯一次式。

而应力函数较长度量刚高两次，应该是x 和y 的纯三次式，因此假定：
3223ax bx y cxy dy Φ=+++
（2）验证上式满足相容方程。

显然满足 （3）求解应力分量的具体形式
22222266222x x y y xy f x cx dy
y f y ax by
x bx cy
x y σστ∂Φ
=-=+∂∂Φ
=-=+∂∂Φ
=-=--∂∂ （4）考察边界条件
第一个边界x=0应力边界条件为： 00(); ()0
x x xy x q y στ===-=-=
代入上式并代入边界方程x=0可得：
q =
00()6()201
; 0
6x x xy x dy y cy d c στ====-=-=∴=-=
因此应力分量变化为：
266262222x y xy cx dy y
ax by ax by
bx cy bx σστ=+=-=+=+=--=-
第二边界x=y 的应力边界条件为：
()()0()()0
x x y xy x y xy x y y x y l m l m σττσ====+=+=
而：
cos 45 sin 4522o o l m ==
=-=-
所以：
1(2)0120222 12302)2)0322b y by b b a a by a b y ⎫⎧
=---=⎪⎪-=⎧⎪⎪⇒⇒⎬⎨
⎨+=⎩⎪⎪=---+=⎪⎪⎩⎭
（5）求解应力分量 最后得出应力分量为：
2662222x y xy
cx dy y
ax by x y bx cy x σστ=+=-⎧⎪
=+=-+⎨⎪=--=-⎩
解法2--- （1）假设
x y σ=-
23
1221 ()()6y y yf x f x y ∂Φ=-⇒Φ=++∂
（2）代入相容方程：
4444
22420x x y y ∂Φ∂Φ∂Φ
++=∂∂∂∂
得到：
21323
223()()16
f x bx cxy f x ax y cxy bx y ax =+=Φ=-
+++
（3）代入边界条件
第一个边界x=0应力边界条件为：
00(); ()0x x xy x q y στ===-=-=
第二边界x=y 的应力边界条件为：
()()0()()0
x x y xy x y xy x y y x y l m l m σττσ====+=+=
而：22
cos 45 sin 4522
o o l m ===-=- 得到：
11;23
b a ==-
（4）求解应力分量
2x y xy
y
x y x σστ=-⎧⎪
=-+⎨⎪=-⎩ 22.如图所示楔形体右侧面受均布荷载q 作用，试求应力分量。

【解】（1）楔形体内任一点的应力分量决定于q 、ρ、α，ϕ其中q 的量纲为NL -2，与应力的量纲相同。

因此，各应力分量的表达式只可能取Kq 的形式，而K 是以α，ϕ表示
的无量纲函数，亦即应力表达式中不能出现ρ，再由22ρ
σϕ∂Φ
∂=知，应
力函数Φ应是ϕ的函数乘以2ρ，可设
)(2ϕρf =Φ （a ）
将式（a ）代入双调和方程
0112
22222=Φ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂ϕρρρρ， 得 0)(4)(124
42=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+ϕϕϕ
ϕρd f d d f d ， ϕϕϕϕd f d d f d )
(4
)(24
4+=0， 上式的通解为
D C B A f +++=ϕϕϕϕ2sin 2cos )(， 将上式代入式（a ），得应力函数为
)2sin 2cos (2D C B A +++=Φϕϕϕρ。

（b ）
(2)应力表达式为
C 。

B A ，
D C B A ，
D C B A --=∂∂Φ∂-∂Φ∂=+++=∂Φ∂=∂++--=∂Φ
∂+∂Φ∂=ϕϕϕ
ρρϕρτϕϕϕρ
ϕϕϕϕρρρσρϕ
ϕρ2cos 22sin 211)2sin 2cos (2)2sin 2cos (211222
2222 (c)
(3)应力边界条件
q -==0)(ϕϕσ ，得2（A+D ）=－q ; (d) 0)(==αϕϕσ,得Acos2α+B sin2α+C α+D=0, (e)
)(0==ϕρϕτ,得－2B －C=0, (f)
0)(==αϕρϕτ,2Asin2α－2Bcos2α－Ｃ=0 。

(g)
联立求解式(d)－(g)，得各系数
)(tan 4tan ααα
--
=q A ，)
(tan 4αα-=q B ，
)
(tan 2αα--
=q C ，)
(tan 4)
2(tan αααα---
=q D 。

将系数代入(c)，得应力分量
q 。

q ，q ，
q )
(tan 22sin tan )2cos 1()
(tan 2)
2sin 2()2cos 1(tan )
(tan 2)
2sin 2()2cos 1(tan ααϕαϕτααϕϕϕασααϕϕϕασρϕϕρ---=----+-=-+-++
-= （h ）
23.楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如下图所示，试求其应力分量。

【解】（1）应用应力函数)2sin 2cos (2D C B A +++=Φϕϕϕρ，进行求解。

由应力函数Φ得应力分量
C
B A D
C B A
D C B A --=∂Φ
∂∂∂-=+++=∂Φ
∂=--+-=∂Φ∂+∂Φ∂=ϕϕϕρρτϕϕϕρ
σϕϕϕϕρρρσρϕϕρ2cos 22sin 2)1(),
2sin 2cos (2),
2sin 2cos (21122222
（2）考察边界条件：根据对称性，得
();02
=αϕσ （a ）
αϕ
τααϕσααϕσρϕϕρsin 2sin ,cot sin 2cos ,
cot sin 2cos q
q q =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛+-=()
;2
q =α
ρϕτ (b)
()
;02
=-α
ϕσ (c) ()
q -=-2
α
ρϕτ (d)
同式（a ）得 0;2D C 2Bsin 2Acos =+++ϕϕϕ (e) 同式（b ）得 ;C 2Bcos 2Asin q =--ϕϕ (f) 同式（c ）得 0;2D C 2Bsin 2Acos =+--ϕϕϕ (g)
同式（d ）得 ;C 2Bcos 2Asin q -=---ϕϕ (h) 式(e) 、(f) 、(g)、 (h)联立求解，得
ααcot 2,0,sin 2q D C B q A -====
将以上各系数代入应力分量，得
24. 图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1，右端固定、左端自由，荷
载分布在自右端上，其合力为P （不计体力），求梁的应力分量。

解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。

（1）选取应力函数。

由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M （x ）与截面位置坐标x 成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y 成正比，因此可设
(a)
式中的为待定常数。

将式（a）对y积分两次，得
(b)
式中的，为x的待定函数，可由相容方程确定。

将式（b）代入相容方程
，
得
上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即
，
积分上二式，得
式中为待定的积分常数。

将，代入式（b），得应力函数为
. (c)
(2)应力分量的表达式
(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；
自由端的剪力之和为P，得边界条件
,自然满足；
,得;
上式对x的任何值均应满足，因此得，，即
，得
X取任何值均应满足，因此得.
将式（e）代入上式积分，得
计算得,
其中,横截面对Z轴的惯性矩。

最后得应力分量为
25. 试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分
量(不计体力),画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题。

解（1）相容条件：
将代入相容方程,显然满足。

（2）应力分量表达式
(3)边界条件：在主要边界上，应精确定满足应力边界条件
在次要边界x=o, x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件
(a)
(b)
(c)
对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。

所以，能解决悬臂在自由端受集中力作用的问题。

26. 如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,h>>b,在两侧上受到均布剪力q
的作用，试用函数求解应力分量。

b/2b/2
h q
q
y (h>>b)
题3-6图x
o
解：（1）相容条件
将应力函数代入相容方程，其中
，，。

很显然满足相容方程。

（2）应力分量表达式
(3)考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件，即
在次要边界y=0上，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替
.
(4)把各应力分量代入边界条件，得
应力分量为
27. 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l>>h 如题3-7图所示，试用应力函数
求解应力分量。

x
l
y
M
O
h/2h/2
(l>>h,
Fs
Fs
解（1）相容条件 将
代入相容方程，显然满足。

（2）应力分量表达式
(3) 考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条
件
得
(a)
在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替。

注意x=0是负x面，由此得
(b)
由式（a）(b)解出
最后一个次要边界条件（x=l上）,在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。

代入应力公式，得
28.设题3-9图中的简支梁只受重力作用，而梁的密度为，试用教材§3-4中的应力函数(e)求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。

y
q
x
h
o
l ql
l
ql
解 （1）应力函数为
(2)应力分量的表达式
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能够选择适当的常数A,B,…，K,使所有的边界条件都满足，则应力分量式（b ）,(c),(d)就是正确的解答。

（3）考虑对称性。

因为yz 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz 面。

这样是是x 的偶函数，而
是x 的奇函数，于是由式（b ）
和（d ）可见
（4）考察边界条件：在主要边界上，应精确满足应力边界条件
将应力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有，可见这些边界条件要求
联立求解得到
将以上已确定的常数代入式（b）,式（c）和（d），得
考虑左右两边的次要边界条件。

由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，例如右边。

梁的右边没有水平面力，x=l时，不论y取任何值
，都有。

由式（f）可见，这是不可能满足的，除非是均为零。

因此，用多项式求解，只能要求在这部分边界上合成的
主矢量和主矩均为零，也就是要求
将式（f）代入式（i）,得
积分以后得
将式（f）代入式（j），得
积分以后得
将K，H的值代入式（f）,得
另一方面，梁右边的切应力应当合成为反力
积分以后，可见这一条件是满足的。

将式（g）,(h),(k)略加整理，得应力分量的最后解答
注意梁截面的宽度取为一个单位，可见惯性矩是，静矩是。

根据材料力学应用截面法求横截面的内力，可求得梁任意截面上
的弯矩方程和剪力方程分别为。

式（l）可以写成
29.如题3-10图所示的悬臂梁，长度为l，高度为h, l>>h,在上边界受均布荷载q，试检验应力函数能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。

解（1）相容条件
将代入相容方程，得
，若满足相容方程，有
(2)应力分量表达式
(3)考察边界条件;主要边界上，应精确满足应力边界条件
在次要边界上x=0上，主矢和主矩为零，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替
(e)
联立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得
将各系数代入应力分量表达式，得
30.为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？
解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。

这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。

将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。

如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。

教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。