高中数学第4章指数函数与对数函数章末综合提升课件人教A版必修一

[跟进训练]
1．设 3x＝4y＝36，则2x＋1y的值为(
)
A．6
B．3
来自百度文库
C．2
D．1
D [由 3x＝4y＝36 得 x＝log336，y＝log436， ∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]
指数函数、对数函数的图象及应用
【例 2】 (1)若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所示， 则下列图像函数正确的是( )
A
B
C
D
(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝12x. ①如图，画出函数 f(x)的图象；
②根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以 a＝3.A 项，函数 解析式为 y＝3－x，在 R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解 析式为 y＝(－x)3＝－x3，当 x>0 时，y<0，这与图象不符；D 项中函 数解析式为 y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不 符；B 项中对应函数解析式为 y＝x3，与图象相符．故选 B.]
序号 磁钢面积/cm2
用胶量/g
1 11.0 0.164
2 19.4 0.396
3 26.2 0.404
4 46.6 0.664
5 56.6 0.812
序号 磁钢面积/cm2
用胶量/g
6 67.2 0.972
7 125.2 1.688
8 189.0 2.86
9 247.1 4.076
10 443.4 7.332
2．本例通过一些数据寻求事物的规律，先画出这些数据的散点 图，然后利用散点图的整体特征，选择我们熟悉的函数模型，将一些 数据代入求得表达式，进而使例题得以求解，很好地考查了学生的数 学建模的核心素养．
[素养提升]
18 世纪 70 年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木
星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
(2)[解] ①先作出当 x≥0 时，f(x)＝12x的图象，利用偶函数的图 象关于 y 轴对称，再作出 f(x)在 x∈(－∞，0)时的图象．
②函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋ ∞)，值域为(0,1]．
1．识别函数的图象从以下几个方面入手： (1)单调性：函数图象的变化趋势； (2)奇偶性：函数图象的对称性； (3)特殊点对应的函数值． 2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是 a0＝1，loga1＝ 0.
2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．
[解] 由题意可知 y＝32x＋3x－1，令 3x＝t，则 t∈[3,27]， ∴f(t)＝t2＋t－1＝t＋122－54，t∈[3,27]， ∴当 t＝3 时，f(t)最小值＝f(3)＝9＋3－1＝11.
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则． 2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该 类问题中，常设 u＝logax 或 u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数 等问题．要注意换元后 u 的取值范围．
所以谷神星大约在离太阳 2.8 天文单位处．在土星外面是天王星， 它与太阳的距离大约是 19.6 天文单位．
[跟进训练] 4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少 应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] 设过滤 n 次能使产品达到市场要求，依题意，得1020×23n ≤1 0100，即23n≤210.
(2)[解] ①因为 loga3>loga2，所以 f(x)＝logax 在[a,3a]上为增函 数．
又 f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为 1， 所以 loga(3a)－logaa＝1，即 loga3＝1，所以 a＝3.
②函数 y＝(log3x)2－log3 x＋2＝(log3x)2－12log3x＋2＝log3x－142 ＋3116.
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等． 2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、 对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． 3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后 在各部分内再利用函数性质比较大小． 4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．
[跟进训练]
3．设 a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>b>a
C
[∵a＝log2π>log22＝1，b＝
log1π<log11＝0，c＝
2
2
π－
2＝
π12，即
0<c<1，∴a>c>b，故选 C.]
指数函数、对数函数的性质
【例 4】 (1)设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则 f(x)是( ) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
则 n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故 n≥lg1＋3－lglg22≈7.4，考虑到 n∈N，故 n≥8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求．
培优 层素 养升 华
【例】 电子工业部扬声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道 重要的工序：使用 AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由 于对 AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外 溢；或用胶过少，产生脱胶，影响产品质量．经过试验，已有一些恰 当用胶量的具体数据，见下表：
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶 量的关系．
[思路分析] 画出散点图，利用散点图确定函数模型，再利用待 定系数法求出关系式．
[解] 将磁钢面积 x 作为横坐标，用胶量 y 作为纵坐标，建立平 面直角坐标系，根据上表数据在坐标系中描点，得散点图如图所示．
从图中可以看出这些点基本上在一条直线附近，画出一条直线，使图 上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数 y＝kx＋b(k≠0)表示用胶量与 磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标分别代入 直线方程 y＝kx＋b(k≠0)，得方程组02..88162＝＝18596..06kk＋ ＋bb， ，
第四章 指数函数与对数函数
章末综合提升
巩固 层知 识整 合
提升 层题 型探 究
指数与对数的运算
【例 1】 计算：(1)2log32－log3392＋log38－5log53；
(2)1.5－13×－760＋80.25×4 2＋(3 2× 3)6－
.
[解] (1)原式＝log3223×2 8－3＝2－3＝－1. 9
令 t＝log3x，因为 1≤x≤3， 所以 0≤log3x≤1，即 0≤t≤1. 所以 y＝t－412＋3116∈3116，52， 所以所求函数的值域为3116，52.
1．把本例(1)的函数 f(x)改为“f(x)＝ln(x＋ 1＋x2)”，判断其奇 偶性．
[解] ∵f(x)＝ln(x＋ 1＋x2)，∴其定义域为 R， 又 f(－x)＝ln(－x＋ 1＋x2)， ∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋ 1＋x2)＋ln(－x＋ 1＋x2)＝ln 1＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
函数的应用
【例 5】 一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10% 衰减．
(1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确 到 0.1)．
[解] (1)最初的质量为 500 g. 经过 1 年，w＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过 2 年，w＝500×0.92； 由此推知，t 年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得 500×0.9t＝250，即 0．9t＝0.5，两边同时取以 10 为底的对数，得 lg 0.9t＝lg 0.5，即 tlg 0.9＝lg 0.5， 所以 t＝llgg 00..59≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年．
指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问 题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
解得kb≈≈0－.001.506437，60. 所以用胶量与磁钢面积的函数关系可表示为 y＝0.015 47x－0.063 60.
1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、 用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实 际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型， 确定参数，计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
太阳的距离大约是多少？
[解] 根据题意画出散点图如图所示，由此图知宜采用指数型函 数做模型．
设 f(x)＝a·bx＋c， 代入前三组数据，得 a＝230，b＝2，c＝25. 所以 f(x)＝230×2x＋25. 把 x＝5 和 x＝6 分别代入检验，得 f(5)＝256＝5.2，f(6)＝10，刚 好符合． 所以 f(4)＝2.8，f(7)＝19.6.
行星 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星) 7( )
距离 0.7 1.0 1.6
5.2 10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的
行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星
爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置．在土星外面是什么星？它与
[跟进训练]
2．函数 y＝1＋log1 (x－1)的图象一定经过点( )
2
A．(1,1)
B．(1,0)
C．(2,1)
D．(2,0)
C [把 y＝log1x 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单
2
位即可得到 y＝1＋log1 (x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]
2
比较大小
【例 3】 若 0<x<y<1，则( ) A．3y<3x B．logx3<logy3 C．log4x<log4y D.14x <14y
C [因为 0<x<y<1，则 对于 A，函数 y＝3x 在 R 上单调递增，故 3x<3y，A 错误． 对于 B，根据底数 a 对对数函数 y＝logax 的影响：当 0<a<1 时， 在 x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为 0<x<y<1，所以 logx3>logy3， B 错误． 对于 C，函数 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增，故 log4x<log4y， C 正确． 对于 D，函数 y＝14x在 R 上单调递减，故14x >14y，D 错误．]
(2)已知 a>0，a≠1 且 loga3>loga2，若函数 f(x)＝logax 在区间[a,3a] 上的最大值与最小值之差为 1.
①求 a 的值； ②若 1≤x≤3，求函数 y＝(logax)2－loga x＋2 的值域．
(1)A [由题意可得，函数 f(x)的定义域为(－1,1)，且 f(－x)＝ln(1 －x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数．又 f(x)＝ln11＋－xx＝ln1－2 x－1， 易知 y＝1－2 x－1 在(0,1)上为增函数，故 f(x)在(0,1)上为增函数．]
(2)原式＝2313＋234×214＋22×33－2313＝21＋4×27＝110.
指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数， 根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式 分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变 化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式， 换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.