几何图形性质

n

Ai zCi
zC

i1 n

Ai
i1 n Ai
yCi

yC

i1 n
Ai

i1

坐标和面积;
组合图形
n为组成组合图形的简单图形的个数。
形心的坐标 计算公式
第8章 弯曲内力（1）
例8-1 矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对z1轴的静矩Sz1和
对形心轴z的静矩Sz。
y
解 (1) 计算矩形截面对z1轴的静矩 h/2
h bh2
S z1

A yC
bh 2

2
h/2
C
z
z1
(2) 计算矩形截面对形心轴的静矩
b/2 b/2
由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形
截面对z轴的静矩为
Sz=0
第8章 弯曲内力（1）
例8-2 试计算如图所示的平面图形对z1和y1的静矩，并求
几何图形性质
第8章 弯曲内力（1）
一、静距的概念
y
静距是面积与它到轴的距离之积。
dSz ydA dS y zdA
Sz dSz ydA
A
A
Sy dSy zdA
A
A
z dA
y z
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形 对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正， 可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。
的惯性矩
取平行于z轴的微面积dA， dA到z h/2
y dz
dy
C
z
轴的距离为y，则
dA=bdy
b
截面对z轴的惯性矩为 截面对y轴的惯性矩为
Iz
y2dA
A
h
2 h
2
y2
bdy

bh3 12
I y
z 2 dA
A

b
2 b
2
z2
hdz

hb3 12
第8章 弯曲内力（1）
iy
Iy , A
iP
IP A
式中iz、iy、iP分别称为平面图形对z轴、y轴、和极点的
惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。
惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的 极惯性矩）也愈大。
第8章 弯曲内力（1）
例8-3 矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心
轴z、y的惯性矩、惯性半径及惯性积。 解 (1) 计算矩形截面对z轴和y轴
第8章 弯曲内力（1）
形心
zC

A z A

yC


A

y

A
y
z
d
xC
A
y yC
zdA
zC
A
A


ydA
yC
A
A

zC

Sy A

yC

Sz A

Sz A yC
Sy

A

zC

平面图形对z轴（或y轴）的 静矩，等于该图形面积A与其形 z 心坐标yC（或zC）的乘积。
性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯
性矩也各不相同。惯性矩恒为正值，常用单位为m4或mm4。
第8章 弯曲内力（1）
二、惯性积
y
惯性积面积与其到两轴距离之积。
Izy zydA
A
z
d
r
yA
惯性积是平面图形对某两
z
个正交坐标轴而言，同一图 形对不同的正交坐标轴，其 惯性积不同。惯性积可能为 正或负，也可能为零。单位 为m4或mm4。
如果坐标轴z或y中有一
根是图形的对称轴，则该图 形对这一对坐标轴的惯性积 一定等于零。
I zy

zydA 0
A
第8章 弯曲内力（1）
三、惯性半径
常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方
的乘积，即
I z iz2 A,
或改写成
Iy

i
2 y
A,
I P iP2 A
iz
Iz , A

45mm
120
10
第8章 弯曲内力（1）
该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为
n
Sz1 Ai yCi A1 yC1 A2 yC2 1200 60 700 5mm 3 7.55 10 4 mm 3
i 1
n
Sy1 Ai zCi A1zC1 A2 zC2 1200 5 700 45mm 3 3.75 104 mm 3
根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静
矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即
S z A1 yC1 A2 yC2 An yCn

n
Ai yCi
i1

S y

A1zC1 A2 zC2
An zCn

n
Ai zCi
i1Leabharlann Baidu

式中 yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心
(2) 计算矩形截面对z轴、y轴的惯性
半径
截面对z轴和y轴的惯性半径分别为 h/2
y
C
z
iz
Iz A
bh3 12 bh
h 12
b
iy
Iy A
hb3 12 bh
b 12
(3) 计算矩形截面对y、z轴的惯性积
因为z、y轴为矩形截面的两根对称轴，故
I zy
yzdA 0
A
第8章 弯曲内力（1）
i 1
y1
求得该平面图形的形心坐标为
10
n
C1
yC

Ai yCi
i 1
n
7.55 104 mm 39.74mm 1200 700
Ai
i 1
C1（5,60）
n
C2（45,5）
C2
z1
80
zC

Ai zCi
i 1
n
3.75 104

mm 19.74mm
1200 700
Ai
i 1
120 10
第8章 弯曲内力（1）
惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩
惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。
Iz y2dA
y
A
I y z2dA
A
zd
极惯性矩是面积对极点的二次矩。
I 2dA Iz I y
r
yA
z
A
惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯
该图形的形心位置。 解 将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成
y1
矩形Ⅰ A1=10×120mm2=1200mm2
10
120
yC1 2 mm 60mm
10
C1
zC1 2 mm 5mm
矩形Ⅱ A2=70×10mm2=700mm2
C2
z1
80
yC2

10 2
mm
5mm
zC2

10

70 mm 2
第8章 弯曲内力（1）
Sz A yC
Sy

A

zC

当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反 之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面 图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形 的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
第8章 弯曲内力（1）
二、组合图形的静矩