第13章质点系动能定理

Q3
vD 补充方程 B , v A v D , A v A v D r r r
i
例 题 补充方程 (运动学) vD v A vD B , vA vD , A r r r
3Q 2 T vD , 2 g M Q P ( r － 2 )v D
M Q － 2 g aD r 3W
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式， 描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的 大小，而且涉及运动量的方向。
动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整 体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如 何运动，动能定理只能提供一个方程 。
点的运动学分析方法 —— 选择合适的描述点的运动坐标 系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时 间求一次导数，即得点的速度。 点的复合运动分析方法 —— 正确选择动点和动系，确定 牵连速度、相对速度和绝对速度。 刚体平面运动分析方法 —— 建立在速度合成定理基础上 的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法。
dt dt
W
质点系动能定理
1 d( mv 2 ) dv dv P 质点： m F m v F v 2 dt dt dt
1 2 d( mv ) 2 质点系： P dt
T2 T1 W 12
dT Pdt
dT W
dT P dt
第十三章 动能定理
从汽车的驱动问题看 动量方法与能量方法
从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力 maC = F1 - F2 - Fr
F1 －汽车行驶的驱动力
C Fr W Mf2 FN2 F2
F1 >F2 ＋Fr 汽车向前行驶
Mf1
F1 F N1
从汽车的驱动问题看 动量方法与能量方法 如果发动机的功率很小而摩擦力很大 如果发动机的功率很大而摩擦力很小
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机 械运动范围内的运动变化问题。 动能定理可以用于研究机械运动与其他运动 形式之间的运动转化问题。
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间 参数。 动能定理的表达式中含有路程参数。
z1
mz ( F ) C W M m z ( F )d W mz ( F ) ( 2 1 )
1
2
力偶的功 WM M ( 2 1 ) 摩檫力的功 •两物有相对滑动, 摩擦力 作负功
vO O P
Fs
纯滚动时, 作用在速度瞬心P点 的摩擦力F 所作元功为 WFs Fs d rp Fs v p dt 0
结论与讨论
速度(角速度)分析 与动能计算
确定速度和角速度的方法
y A
墙面
长度为l ，质量为m的均质杆件AB， 杆件两端A和B分别沿光滑的墙面和 地面滑动，A端的速度为vA。
地面
vA
l,m B
x O
怎样确定杆件AB的速度， 进而确定其动能？
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？
动能
质点的动能
质点系的动能
1 T mi v i2 i 2 刚体的动能 1 1 1 2 2 2 T＝ mi v i ＝ ( mi )vC mv C 平移: 2 2 2 1 T＝ J z 2 定轴转动: 2 1 1 1 2 2 T＝ mv C J C T J P 2 平面运动:
3Q 2 d( vD ) 3Q M Q 2g 2v Da D ( － )v D dt 2g r 2
例 题 2. 对圆轮B和物块D dLB e MB 应用动量矩定理 dt
1Q 2 Q r B a D r M (Q - FT )r 2g g
运动学关系
B
FT
B
FBy FBx
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的 原则是： 1、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地 表达出来； 2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。 对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如 果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及 的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。 如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将 系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量 方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。
— 功率方程
－微分形式
— 积分形式
若作用力分类(内力和外力)
dT P外 P P主 P约 内 dt dT W 外 W 内 W主 W约
T2 T1 W 外 W 内 W主 W约
FA FB B y •内力作功？
Q3
质点系普遍定理的综合应用
动量定理 动量方法
动力学普遍定理
动量矩动量 动能定理 能量方法
质点系普遍定理的综合应用
动力学两类问题与分析程序
非 自 由 质 点 系
主动力 质点系运动
质点系运动 动约束力
质点系普遍定理的综合应用
动力学两类问题与分析程序
一般分析程序： 先避开未知约束力，求解运动量； 然后再现在合适的定理，确定动约束力。
例 题
解:一、研究对象： 整体
二、受力分析: Q1 , Q2 , Q3, M, FN ,Fs ,FB A 三、运动分析：
圆柱A: 平面运动 A 定滑轮B: 定轴转动 vA 物块D: 平动
Fs
B
B
M
FBy
FBx
四、应用理论：
30o
Q2 D
Q1 FN vD 动能定理微分形式 dT 1 1 1 1 2 2 2 2 P主 T＝ m D v D J B B m Av A J A A dt 2 2 2 2 Pi PQ1 PQ2 PM Q3v D Q1sin30 o v A M B
结论与讨论
正确计算刚体 平面运动时的动能
r
C*
0
R O
行星轮机构中，小圆轮的质量为m。 请判断关于小圆轮动能的下列表达式 是否正确？
1 R＋r 2 T ＝ J C A ， A ＝ 0 2 r
结论与讨论
速度(角速度)分析 与动能计算
计算动能必须正确确定速度或角速度。为此需要 首先分析运动，进而选择相应的方法计算速度或角 速度。 确定速度和角速度的方法
这瞬时P点的位移为零。
FN
纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功 约束力不作功的约束称为理想约束 不作功的约束力 光滑固定面约束 内约束力: 光滑圆柱铰链约束 二力构件 柔性约束
功率
dr F v F 力的功率: P dt dt W d 力(偶)矩的功率: P M M
如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大 汽车也只能打滑，而不能向前行驶；反之，如果 路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发 出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶。
结论与讨论
关于动量和动能 的再讨论
运动员跑步时，脚底与地面之间的摩擦力并 不作功，其作用是使运动员的动量增加；小腿 的肌肉(比目鱼肌)收缩产生内力而作功，使运 动员的动能增加。二者都是运动员跑步前进的 驱动力。
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理的表达式中只包含 外力，而不包含内力(内力的主矢和主矩均为 零) 动能定理的表达式中可以包含主动力和约束 力，主动力中可以是外力，也可以是内力(可变 质点系) ；对于理想约束，则只包含主动力。
结论与讨论
关于动量和动能的再讨论 正确计算刚体平面运动时的动能 速度(角速度)分析与动能计算 关于三个动力学定理的综合应用
关于动能定理与机械能守恒
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋
结论与讨论
关于动量和动能 的再讨论
关于汽车驱动问题的结论
发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功 使汽车的动能增加； 与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的 摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加。
P 瞬心， C质心
1 2 mv 2
永为正值的标量
2
2
Biblioteka Baidu
2
对于任意点为基点, 上述结论正确
？
力的功 (几种常见力的功) z
重力的功 W P
2
Pdz P ( z
2 1
2
1
z 2 ) Ph
弹性力的功 原长L0 ,
1
弹簧刚性系数k 1 2 1 2 2 初变形 1 WF kxdx kx ] k (1 2 ) 未变形2 2 2 转动刚体上作用力的功
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
B C
W W
O
k , l0
A
x
为求物块A下降至 任意位置(x)时的加速 度，可以采用哪一个 动力学定理？
W x
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
z A
当 rAB 0时
•理想约束条件下 W约 0
W
i 内
0
x
T2 T1 W主
dT dt
P
主
例 题 已知：圆轮A和B: 重Q,半径r. 物块D: 重Q 圆轮B上有力偶矩M, 圆轮A作纯滚动。不 计轴承摩擦力。 M B A Q 30o
Q
D
求：1、物块D的aD； 2、二圆轮间绳索拉力；轴承B处约束力。 Q
M
a D＝r B
1 3 M FT ( W ) 2 2 r
质心运动定理 ma Cx Fx ma Cy F y
0 FBx FTcos30o W a D FBy 2W FTsin30o g
Q2
aD D
1 3 M FBx ( Q )cos 30o 2 2 r 1 53Q M FBy ( ) 12 2 r
动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述 质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力 之间的关系。
整体运动的变化 所受的作用力
动量定理
动量矩定理 动能定理
动 量
力(冲量) 力 矩
动量矩
动 能
力的功
动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用 于求解动力学的两类基本问题。
结论与讨论
关于几个动力学定理 的综合应用
质点系普遍定理的综合应用
动力学两类问题与分析程序
需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质
确定：系统是单自由度还是多自由度； 是一处约束还是多处约束； 是理想约束还是非理想约束。
质点系普遍定理的综合应用
动力学两类问题与分析程序
需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质
对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统， 一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩 定理，确定动约束力。 对于具有一处约束的系统，或者虽然具有多处约束的系统， 但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合 应用动量定理和动量矩定理。 对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定 理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统 的守恒情形。
结论与讨论
x O A
正确计算刚体 平面运动时的动能
v A xA
x


B
均质杆AB长度为l、质量为m , A端与小圆滚轮铰接，小圆滚轮 的重量不计。广义坐标q=(x,) 。 请判断关于系统动能的下列表 达式是否正确：
TAB
1 1 A J A 2 mx 2 2
结论与讨论
正确计算刚体 平面运动时的动能
应用动能定理时，很重要的是，正确计算系统 的动能。特别是正确计算刚体平面运动的动能。 因此，要正确应用柯希尼定理。
1 1 2 T ( mi )vC mi vi2 Te Tr r 2 i 2 i
质点系的动能(绝对运动动能)，等于系统跟 随质心平移的动能(牵连运动动能)与相对于质 心平移系运动的动能(相对运动动能)之和。