面板数据的分位回归方法及其模拟研究

考虑尝试将 Koenker 和 Bassett （ 1978 ） 提出的分位回 归思想引入面板数据的分析之中 。 分位回归方法与 传统均值回归方法 不 同， 它是针对响应变量的条件 分位函数进行统计推断的 。 首先这一方法的目标函 所以被估计的系数向量对 数是加权的绝对偏 差 和， 响应变量的离群点 并 不 敏 感， 当误差项服从非正态 的时候， 这种方法得 到 的 估 计 量 要 比 传 统 最 小 二 乘 估计量更可靠 。 其次这一方法在给定一组预测变量 之后， 能在任意分位 点 全 面 刻 画 响 应 变 量 的 条 件 分 给出数据各个层次间可能存在的重要信息， 是对 布， 传统均值回归方法的一种有益改进和补充 。 Koenker （ 2004 ） 考 虑 了 纵 向 数 据 （ Longitudinal Data ） 的分位回归方法， 考虑将固定效应作为 l 1 惩罚 项的分位检验函数 最 小 化 估 计 方 法， 虽然蒙特卡洛 模拟结果显示此方法在非正态分布情形下要优于传 统的均值回归方法， 但在每个个体层样本量较小的
第 27 卷第 10 期
罗幼喜
田茂再 ： 面板数据的分位回归方法及其模拟研究
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现在对每个 i 求其在时期上的平均， 即得到 y i = 1， …， N 珋 珋 珔 i = αi + βx i + ε i， 其 中
T
不过我们主要关注的是 应参数 α i 的 τ 分位点估计， （8） β 的估计， 称之为惩罚 分 位 回 归 估 计 PQR （ Penalized Quantile Regression Estimator ） 。 与 Koenker （ 2004 ） 不 同 的 是， 我们没有采用多 个分位点加权的目标函数， 而且这里也假定 α i 是随 而 Koenker （ 2004 ） 则将 α i 分位点 τ 的变化而变化的， 视为只与个体有关而 与 τ 无 关 的 量 。 当然此方法面 临 的一个问题是当 T 较小时很难对每个 α i 在其各分 幸好此处我们重点关心的是 位点处作出有效估计， 回归系数 β 的估计值， 所以方法仍然可以实施 。 在模 由于我们知道未知参数的真实值， 所以可 拟研究中， 但在 实 以选取使得偏差最小的 λ 作为惩罚参数值， 际问题中， 由于未知参数并不知道， 所以可以有多种 方法和准则来确定 λ 的值， 此处我们提出采用使 得 模型残差平方和最小的 λ 作为惩罚参数值的选取准 则。 需要 特 别 指 出 的 是， 在 上 述 3 种 方 法 中， 只有 PQR 是同时 给 出 了 α i 和 β 的 估 计， FOQR 和 FEQR 虽然不能给出 α i 的估计， 但我们并没有忽略它可能 对估计 β 造成的影 响， 因为进行一阶差分和固定效 这实际上 应变换都是在每个 横 截 面 单 位 内 进 行 的， 就是考虑到各个 不 同 的 横 截 面 单 位 α i 的 值 是 有 所 只有在同一 个 横 截 面 单 位 内 它 们 才 是 相 同 不同的， 的 。 我们的条件分位函数都是建立在变换之后的模 型式（ 4 ） 和 式 （ 10 ） 上 的， 所以如果要讨论 β 估计的 大样本性质则还需要求变换后的模型中 Δ ε i， t 和 ε ′ i， t 满足一定的条件， 考虑到分位回归对误差项分布要 求比较弱， 所以在此我们并不对其作过多条件限制 。 不过在实际应用中另外一个值得注意的问题是此处 要求解释变量 x i， 否 t 应该随着时 期 t 的 不 同 而 不 同， 则可能会导致模型中参数 β 无法估计 。 （9）
Βιβλιοθήκη Baidu一、 引言
面 板 数 据 也 称 时 间 序 列 截 面 数 据 或 混 合 数 据， 是一种同时在时间 和 截 面 空 间 上 取 得 的 二 维 数 据， 具有传统 截 面 数 据 和 时 间 序 列 方 法 所 不 具 备 的 优 势。 面板 数 据 虽 有 诸 多 好 处， 也被广泛应用于各个 领域， 但是存在着一定的局限性， 一是传统的面板数 据分析方法主要是基于服从正态分布的数据而做出 的， 然而一旦数据分布类型发生改变， 这种传统的方 而且我们目前也 法所作出的统计结 论 将 不 再 可 靠， 没有建立起一个衡量这种改变究竟会对最终结论带 来多大风险的度量 方 法；二 是 传 统 的 面 板 数 据 分 析 方法是一种条件均 值 模 型， 其主要目的只针对于估 然而数据的信息是全方位的， 这 计和检验均值效应， 种只对均值模型做估计和检验的方法虽然能够让研 究者迅速掌握变量 均 值 间 可 能 存 在 的 相 互 关 系， 但 却忽略了数据其他 方 面 的 信 息， 没有能对数据的各 个层次做一个全方 位 的 刻 画， 遗漏了一些可能存在 的重要信息， 而这些 信 息 往 往 是 很 多 研 究 者 在 均 值 回归中难以发现的 。 为了 改 进 传 统 面 板 数 据 分 析 方 法 的 限 制， 本文
（5）
minΣ
β∈ R i = 1
Σ
ρ τ （ Δ y i， t － β Δ x i， t）
（6）
t=1
可以获得 β 的 τ 分 位 点 估 计， 称此估计为一阶差分 分 位 回 归 估 计 FDQR （ First-Differenced Quantile Regression Estimator ） 。 （ 二 ） 固定效应变换分位回归法 下 面 我们 考 虑 另外 一 种消 除 固 定效 应 的 方 法。 对每个 i 有， y i， t = 1， …， T t = α i + β x i， t + ε i， t， （7）
第 27 卷第 10 期 2010 年 10 月
统计研究 Statistical Research
Vol. 27 ，No. 10 Oct. 2010
面板数据的分位回归方法及其模拟研究
罗幼喜 田茂再
内容提要 ： 文章讨论了含有固定效应的面板数据模型， 给出了 3 种估计未 知 参 数 的 分 位 回 归 方 法 ， 蒙特卡洛模 拟结果显示这些分位回归方法是处理面板数据的有效手段， 且在误差非正态时 优 于 均 值 回 归 方 法 。 文 章 最 后 给 出 得到了有利于决策的有用参考信息 。 了一个真实数据的建模案例， 关键词 ： 面板数据；固定效应；分位回归；蒙特卡洛模拟 中图分类号 ： O212 文献标识码 ： A 文章编号 ：1002 － 4565 （ 2010 ） 10 － 0081 － 07
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Quantile Regression for Panel Data and Its Simulation Study
Luo Youxi ＆ Tian Maozai
Abstract ： The paper discusses fixed effects panel data model and gives three quantile regression estimates of the unknown parameters. Monte Carlo simulation study indicates that these quantile regression methods are effective in deal with the panel data model and do better than mean regression methods when the error distribution is non-normal. Finally ，a real data is studied and some useful reference information for decision-making is obtained. Key words ： Panel Data ； Fixed Effects ； Quantile Regression ； Monte Carlo Simulation
min Σ
Σ
ρ τ （ y i， t － α i － β x i， t）
（3）
t=1
其中 ρ τ （ u ） = u （ τ － I （ u < 0 ） ） = τ uI［0 ， ∞ ） （ u） － （ 1 － τ ） uI （ － ∞ ， 0） （ u） 为 检验函数， 也称为损失函数，当 τ = 0. 5 时称为中 位回归， 也称为最小绝 对 偏 差 回 归 。 然 而， 在实际问 我们面临的问题是往往 N 比 较 大 但 T 却 比 较 题中， 小， 即对于每个个体而 言， 其 观 测 值 并 不 多， 要想利 用这少量的个体 观 测 值 去 估 计 每 个 个 体 效 应 α i 并 非易事， 而且即使能 够 估 计， 其 估 计 值 也 并 非 有 效。 考虑到大多数的研究中， 参数值 β 才是人们的兴趣 所以我们的重 点 将 放 在 对 β 的 估 计 上 。 然 而， 所在， 如果在估计 β 的过程中完全忽略个体效应 α i ， 又会 对最终的估计结果产 生 不 利 的 影 响， 所以我们不能 将所有 α i 看成是同一个数 。 那么如何消除 α i 的影响 下面我们给出了 同时又能够得到 β 的 有 效 估 计 呢， 3 种方法 。 （ 一 ） 一阶差分分位回归法 对于式（ 1 ） ， 由于 相 同 的 个 体 其 固 定 效 应 相 同， 所以对于固定的 i ， 我 们 可 以 取 相 邻 期 的 差 分 把 αi …， 消掉， 即 Δ y i， Δ y i， 1 = y i， 2 － y i， 1， 2 = y i， 3 － y i， 2， Δ y i， t － 1 = y i， t － y i， t － 1 ，从而有 i = 1， …， N， t = 1， …， Δ y i， t = β Δ x i， t + Δ ε i， t， T －1 （4） 这样， 虽然我们的数据减少了 N 个， 只剩下 N （ T － 1 ） 个， 但我们需要估计的参数只有 β 了， 这对于实 T 很小哪怕是只有 2 期时也可以给 践 中往往 N 很大， 出 β 较为有效的估计 。 于是考虑 Δ y i， t 的条件分位函 数 Q Δ y i， （ τ Δ x it ） = β （ τ ） Δ x i， i = 1， …， N， t = 1， t， t …， T －1 通过求解极小化问题
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统计研究
N α i， β∈ R i = 1 T
2010 年 10 月
情况下该方法是很 难 得 到 有 效 的 估 计， 且文献没有 给出如何 确 定 惩 罚 参 数 λ 取 值 的 有 效 方 法； Tian ， Maozai and Chen ， Gemai （ 2006 ） 在正态假定下对分层 给出了一种 线性模型提出了分 层 分 位 回 归 的 思 想， 新的迭代算法： EQ 算 法， 考 虑 了 EQ 算 法 的 渐 近 性 质； Galvao （ 2008 ） 提出了动态面板数据的分位回归 通过引入了工 具 变 量 减 少 遗 漏 变 量 带 来 的 偏 方法， 差， 蒙特卡洛研究证 实 该 方 法 在 处 理 数 据 非 正 态 和 厚尾时比传统方法 更 具 有 优 势； Galvao and MontesRojas （ 2009 ） 同样引入 工 具 变 量 讨 论 了 含 有 测 量 误 差的 动 态 面 板 数 据 分 位 回 归 方 法； Harding and Lamarche （ 2009 ） 则 利 用 工 具 变 量 解 决 了 内 生 变 量 和个体效应与响应变量间相关时的面板数据分位回 归方法； Powell （ 2009 ） 讨 论 了 含 有 外 生 或 内 生 变 量 该方法的一个 的面板数据的无条 件 分 位 回 归 方 法， 好处是能够有效估计固定效应参数并且其统计含义 和横截面数据 分 位 回 归 方 法 相 同 。 纵 观 以 上 文 献， 目前关于面板数据的分位回归方法还处于一个起步 阶段， 有很多理论问题及方法需要探讨， 也急需将这 些已有研究成果应用于实际问题 。 本文正是在这方 面做了一些有益探 讨， 文中给出了 3 种基于面板数 据的分位回归方法， 即一阶差分分位回归法 、 固定效 应变换分位回归法和引进虚拟变量的惩罚分位回归 法， 并在不同误差分 布 情 形 下 给 出 了 3 种 方 法 同 均 值回归方法的蒙特卡洛模拟比较结果 。 最后利用分 位回归的方法对我国各地区城镇居民人均收入与消 费支出面板数据进 行 了 建 模 分 析， 并根据分析结果 提出了相应政策建议 。
* 本文获国家社科基 金“分 位 回 归 与 复 杂 分 层 结 构 数 据 分 析 ” （ 07BTJ002 ） ；国家自然科学 基 金“高 维 复 杂 分 层 数 据 分 析 与 鞍 点 逼 （ 10871201 ） ； 中 国 人 民 大 学 研 近方法及其在流行病 风 险 中 的 应 用 ” “线性 混 合 模 型 分 位 回 归 方 法 及 其 应 用 究生科学研究基金重点项目 （ 10XNG048 ） 资助 。 研究 ”
N T －1
二、 模型及方法
考虑如下含固定效应的二变量面板数据模型 y i， i = 1， …， N， t = 1， …， T t = α i + βx i， t + ε i， t， （1） t 表示时期， y i， 其 中 i 表示横截面单位， t 表示第 i 个个体在时刻 t 的观测值； α i 表示第 i 个个体的固 它 不 随 时 间 的 变 化 而 改 变； x i， 定效应， t 为解释变 量，β 为待估的参数， 假定其不随时间的而变化； ε i， t 为随机误差 。 1 ） 的条件 我们可以考虑对任意分位点 τ ∈ （ 0 ， 分位函数 Q y i， （ τ x i， t ） = α i （ τ ） + β （ τ ） x i， t t 以借助于求解极小化问题 （2） i = 1， …， N 和 β （ τ ） ，可 为了估 计 参 数 α i （ τ ） ，