人教版初中数学 圆周角3教案

24.1.4 圆周角

第2课时 圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用

一、教学目标

1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义，知道圆内接四边形的对角互补，会简单运用这个结论.

2.培养演绎推理能力和识图能力. 二、教学重点和难点

1.重点：圆内接四边形的对角互补.

2.难点：结论的证明. 三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知 1.填空：如图， x= °.

2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°， 则∠DBC= °，∠BDC= °， ∠BCD= °.

3.用三角尺画出下面这个圆的圆心.

（二）创设情境，导入新课 （师出示下面的板书）

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

x 50︒

40︒A

B

C

D

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

师：（指准板书）前面我们学习了圆周角定理和它的两个结论，本节课我们要学习什么？我们要学习圆周角定理的第三个推论（板书：推论3）. 师：推论3怎么说？让我们先来看下面的问题. （三）尝试指导，讲授新课 （师出示下图）

师：（指准图）这是四边形ABCD ，这个四边形有一个特点，什么特点？（稍停）这个四边形的四个顶点，点A ，点B ，点C ，点D 都在⊙O 上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：四边形ABCD 叫做圆内接四边形），我们还把⊙O 叫做四边形ABCD 的外接圆（板书：⊙O 叫做四边形ABCD 的外接圆）.

师：（出示圆内接三角形图片，并指准）这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.

师：（出示圆内接五边形图片，并指准）这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.

师：（出示圆内接五边形图片，并指准）一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

师：知道了圆内接多边形的概念，（指黑板上的圆内接四边形）现在我们还是回来看圆内接四边形.

O

A B

C

D

.

师：圆内接四边形有一个重要的性质，什么性质？圆内接四边形的对角互补（板书：圆内接四边形的对角互补）.

师：圆内接四边形的对角互补，什么意思？（指准图）就是说，∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，（板书：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）.

师：用圆周角定理可以推出这个结论，怎么推？大家自己先想一想（让生思考片刻）.

师：我们一起来证明，（指板书）先证明∠A+∠C=180°.

师：怎么证明∠A+∠C=180°？连结OB ，OD （边讲边用虚线连结OB ，OD ）. 师：（把BAD 描成红色，并指准）这条红弧所对的圆周角是哪个？ 生：（齐答）∠C.

师：红弧所对的圆周角是∠C （边讲边用红笔标∠C ），那红弧所对的圆心角是哪个？ 生：（齐答）∠BOD.

师：红弧所对的圆心角是∠BOD （边讲边用红笔标∠BOD ）. 师：（把BCD 描成黄色，并指准）这条黄弧所对的圆周角是哪个？ 生：（齐答）∠A.

师：黄弧所对的圆周角是∠A （边讲边用红笔标∠A ），那黄弧所对的圆心角是哪个？ 生：……

师：（指准图）黄弧所对的圆心角是这个角（边讲边用黄笔标这个角）. 师：（指准图）根据圆周角定理，∠A 等于这个圆心角的一半，∠C 等于这个圆心角的一半，所以∠A+∠C 等于这个角加上这个角的一半.这个角加上这个角等于360°，所以∠A+∠C 等于360°的一半，等于180°. 师：同样道理可以证明∠B+∠D=180°.

师：（指板书）推论3是一个很有用的结论，下面就请同学们利用这个结论来做几个练习.

（四）试探练习，回授调节

4.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A=60°， 填空：

E

.D A

O

(1)∠BCD= °； (2)∠DCE= °； (3)∠B+∠D= °.

5.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，

∠BOD=100°， 则∠BAD= °， ∠BCD= °.

（五）尝试指导，讲授新课 师：下面我们来看一道例题. （师出示例题）

例 求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.

（师画出图形写出已知求证，然后让生说证明思路，最后师写出证明过程，图形、已知、求证及证明过程如下）

已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形. 求证：∠DCE=∠A.

证明：∵∠DCE+∠BCD=180°， 又∵∠A+∠BCD=180°， ∴∠DCE=∠A. （六）归纳小结，布置作业

师：（指准板书）本节课我们学习了圆周角定理的推论3，圆内接四边形的对角互补；还学习了一个例题，利用推论3证明了圆内接四边形的任何一个

外角都等于它的内对角.这个结论像别的定理、推论一样可以在做题的时候直接拿来用. （作业：P 88习题6.7.） 课外补充作业

6.如图，∠A=30°，∠ABC=50°，则∠E= °， ∠D= °，∠ACB= °. 四、板书设计

A B

O C

D E

D

A

O

B C

.A

B

C

D E

推论1……四边形ABCD叫做圆内接四边形推论2……⊙O叫做四边形ABCD的外接圆推论3……∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°