量子笔记1 —— 一维薛定谔方程

量子笔记1 —— 一维薛定谔方程
给出某种一维势，求解一维薛定谔方程的束缚定态解及其能级的题目是常见的量子力学的题型之一，这种题型的求解虽有其固有模式，但具体处理过程中也牵涉到很多技巧和要注意之处。

下面我通过两个例子来试图对其解题模式和某些解题过程中的常见技巧和经验作出一个概括性的总结，作为量子力学复习的第一阶段的一个阶段性小结。

例一. 质量为μ的粒子在一维势场
()()⎩⎨⎧><=''+-=0,V 00V V V 0
x x x x ，，αδ 中运动，其中α与0V 均为实数。

（1）试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数。

（2）给出粒子处于0>x 区域中的概率，它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？
解：在此势场中的束缚定态能量E<0，
令202E V 2,E 2
）（）（-=-=μγμβ （1）
不包括x=0点的定态方程为
0),()(0),()(222222>=<=x x x d x x dx x d ψγψψβψ （2） )(x ψ满足条件
0)(),0()0(=±∞=-+ψψψ （3）
)0(2)0()0(2
ψμαψψ -
='-'-+ （4）
方程（2）满足条件（3）的解为
⎨⎧><=-0
,0,)(x Ae x Ae x x x γβψ
（5）
将式（5）代入式（4）中得
22 μαβγ=+ 或者 2
220)(22)(2 E E V --=-μμαμ （6） 式（6）两边平方，得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-022
2221)(2V E μααμ （7） 显然，E 有解的条件是02
2
2V > μα，这正是存在束缚态的条件。

由式（7）得 2
022
2228⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=V E μαμα （8） 相应的波函数如式（5）所得，其中β与γ是由式（1）与式（8）决定的已知量。

常数A 由归一化条件确定为 γ
ββγ+=2A
21A 02<+=⎰∞-γββ
γdx e x 这是因为β>0，γ>0，γβ<.
例二. 一个质量为μ的粒子在一维势场
⎩
⎨⎧<<-><∞=a x a x a x x x 0),2/(,0,)(V αδ 其中，α和a 是正的常数，求第一激发态能量，并讨论0→α时的定态能量。

解：在x<0，x>a 区，波函数为零。

在0<x<a 区，波函数满足下面方程 )()(2)(2222x E x a x dx x d ψψαδψμ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+- （1） 及条件
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-+22,0)(,0)0(a a a ψψψψ （2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+22222a a a ψμαψψ （3） 方程（1）的一般解为
a
x a kx B x a x kx A x <<+=<<+=2/),sin()(2/0),sin()(2211ϕψϕψ （4） 其中22
E k μ=。

如果0=α，则)(V x 变为宽为a 的无限深方势阱。

这时条件（3）变为 022=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+a a ψψ （5） 对比条件（3）和条件（5），可以看到，若02=⎪⎭
⎫ ⎝⎛a ψ，则二者等价。

也就是说，条件（5）和条件（2）确定的薛定谔方程的解，如果满足02=⎪⎭⎫
⎝⎛a ψ，则它也是由条件（3）和条件（2）确定的薛定谔方程的解。

易知无限深方势阱的解为定态波函数 ,3,2,1,sin 2)(==n a
x n a x n πψ 而这其中满足02=⎪⎭
⎫ ⎝⎛a ψ的只有当n 为偶数时的波函数。

故本题的一部分解是
方程的解并不是都满足02=⎪⎭⎫ ⎝⎛a ψ，当02≠⎪⎭
⎫ ⎝⎛a ψ时，其解自然不能再由无限深势阱的解来得到了。

所有上面的解只是所有解的一部分。

这种情况下，其另一部分的解要由将方程（1）的一般解式（4）代入条件（2），条件（3）而得到。

代入，得A B ka -=-==,,021ϕϕ.于是
a
x a a x k A x a x kx A x <<--=<<=2/),(sin )(2/0,sin )(21ψψ （6） 再将式（6）代入条件（3）得
22cot
μα=-ka k （7） 令22,2 a Q ka μαξ==（正的常数），式（7）变为 Q =-ξξcot
定态能量E '由曲线ξξcot 1-=y 和直线Q y =2的交点),2,1( =i i ξ决定（如下图）
2
222a E a k i i i '==μξ 故2
2
22a E i i μξ =' 最低能量为222112a E μξ ='，由图可知，πξπ<<12
，故222122222a E a μπμπ <'<. 前一组解中的最低能量为2
2
222E a μπ =，对照上面的不等式，可以知道，后一组解中的最低能量态才是全体解中的基态。

故体系的基态能量是1
E '，第一激发态能量是2E . 当0→α时（此时)(V x 为宽为a 的无限深方势阱），0Q →.由上图看出，曲线ξξcot 1-=y 和直线Q y =2的交点为 ,25,23,2πππξ=
i 处，相应的能量为
,5,3,1,2E 2222=='i i i n a n μπ 这正是无限深方势阱中n 为奇数时的定态能量，和第一组解的定态能量相互补充。

由于最后要由图像法求解，故在此之前要将超越方程的左右两边都写成易于作图且易于发现两图交点的函数形式。

比如此题，在将式（6）代入条件（3）得到超越方程时，如果写成μα22tan 1 -=ka k 的样子，则不好作图；若写成μα2
2tan k ka -=的样子，虽然左右两边都可以作图，但不好确定交点。