2021人教A版高考数学总复习《抛物线》

考点二 与抛物线有关的最值问题
多维探究
角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题 【例2－1】 点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物
线焦点，则： (1)|PA|＋|PF|的最小值为________； (2)(多填题)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________. 解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从 而最小值为A到准线的距离为3.
直线x＝－1的距离之和的最小值为________. 解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x＝－1， 由抛物线的定义知点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，显然， 连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值 为 [1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5. 答案 5
y＝－p2
F0，－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒] 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称
设抛物线方程为 y2＝±2px(p>0)，则p2＝ 2， 所以 p＝2 2， 所以抛物线方程为 y2＝±4 2x.故选 D.
(2)如图所示，当点 A 在第一象限时，过 A，B 分别向抛物线的准线 作垂线，垂足分别为 D，E，过 A 作 x 轴的垂线，与 EB 交于点 C， 则四边形 ADEC 为矩形.由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|， 设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，|AB|＝4m，在 Rt△ABC 中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线 l 的斜率为 3；当点 B 在第一象限时，同理可知直线 l 的斜率为－ 3. (3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离 相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案 (1)D (2)BD (3)y2＝4x
规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点 的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题. 2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.
角度2 到点与准线的距离之和最值问题 【例2－2】 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到
为抛物线的焦半径.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物 线.( ) (2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是
a4，0，准线方程是 x＝－a4.(
)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
【训练 1】 (1)设抛物线 y2＝2px 的焦点在直线 2x＋3y－8＝0 上，则该抛物线的
准线方程为( )
A.x＝－4
B.x＝－3
C.x＝－2
D.x＝－1
(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，
y0)在抛物线上，K 为 l 与 y 轴的交点，且|PK|＝ 2|PF|，则 y0＝________.
B.2 C.1
D.2
解析 由题意知，抛物线的准线 l：y＝－1，过点 A 作 AA1⊥l 交 l 于点 A1，过 点 B 作 BB1⊥l 交 l 于点 B1，设弦 AB 的中点为 M，过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1，则|MM1|＝|AA1|＋2 |BB1|.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|＋ |BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d≥2， 故选 D.
解析 设抛物线的标准方程是 y2＝kx 或 x2＝my，代入点 P(－2，3)，解得 k＝－92， m＝43，所以 y2＝－92x 或 x2＝43y. 答案 y2＝－92x 或 x2＝43y
3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为 ________. 解析 设 P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得 x1＝3，y1＝±2 6.故满足条件的点的 个数为 2. 答案 2
轴的距离为|MM1|－p2＝12(|AA1|＋|BB1|)－p2＝12×3－14＝54，故选 C.
答案 C
6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有 公共点，则直线l的斜率的取值范围是________. 解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线 方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当 k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因 此k的取值范围是[－1，1]. 答案 [－1，1]
规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线 焦点到准线的距离为p. 2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口 方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需 一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的 特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
且|AF|＋|BF|＝3，则线段 AFra Baidu bibliotek 的中点到 y 轴的距离为( )
3
5
7
A.4
B.1 C.4
D.4
解析 如图所示，设抛物线的准线为 l，AB 的中点为 M，作 AA1⊥l 于点 A1，BB1⊥l 于点 B1，MM1⊥l 于点 M1，由抛物线的方程知 p
＝12，由抛物线定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，所以点 M 到 y
规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通 径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则 可以用通径最短求最值.
角度5 到定直线的距离最小问题 【例2－5】 (一题多解)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是
________. 解析 法一 如图，设与直线 4x＋3y－8＝0 平行且与抛物线 y＝－x2 相 切 的 直 线 为 4x ＋ 3y ＋ b ＝ 0 ， 切 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 得 y4＝x＋－3xy2＋，b＝0消去 y 整理得 3x2－4x－b＝0，则 Δ＝16＋12b＝0，解得 b＝－43，故切线方程为 4x＋3y－43＝0，抛物线 y＝－x2 上的点到直线 4x＋3y－8＝0 距离的最小值是这两条平行线间的距离 d＝8－5 43＝43.
第7节 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际 问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离_相__等___的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_准__线___. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质
【例 1】 (1)已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶点在原点，
则抛物线 C 的方程是( )
A.y2＝±2 2x
B.y2＝±2x
C.y2＝±4x
D.y2＝±4 2x
(2)(多选题)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，且|AF|＝
规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的 距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.
角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题
【例 2－3】 已知抛物线 x2＝4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x
轴的最短距离为( )
3
3
A.4
解析 (1)直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为 (4，0)，∴准线方程为x＝－4. (2)作 PM⊥l，垂足为 M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝ 2|PF|，∴在 直角三角形 PKM 中，sin∠PKM＝||PPMK||＝||PPKF||＝ 22，∴∠PKM＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点 P 在抛物线 x2＝2py(p＞0)上， ∴py0y＋0＝p28＝，4，解得py0＝＝42，. 答案 (1)A (2)2
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线 的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( ) 解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而 非抛物线. (2)方程 y＝ax2(a≠0)可化为 x2＝1ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是
(2)如图 2，当 P，A，F 三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|PA|－|PF|有最小值 为－|AF|＝－ 2.当 P，A，F 三点共线，且 P 在 AF 延长线上时，|PA|－|PF|有最 大值为|AF|＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－ 2，最大值为 2. 答案 (1)3 (2)－ 2 2
3|BF|，则直线 AB 的斜率为( )
A. 2 B. 3 C.－ 2
D.－ 3
(3) 动 圆 过 点 (1 ， 0) ， 且 与 直 线 x ＝ － 1 相 切 ， 则 动 圆 的 圆 心 的 轨 迹 方 程 为 __________. 解析 (1)由已知可知双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0).
0，41a，准线方程是 y＝－41a. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. (4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是 ________________.
4.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆3xp2 ＋yp2＝1 的一个焦点，
则 p＝( )
A.2
B.3 C.4
D.8
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为p2，0， 椭圆的焦点坐标为± 2p，0，
所以p2＝ 2p，解得 p＝0(舍去)或 p＝8. 答案 D
5.(2020·山东名校联考)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B 是抛物线上的两点，
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点 性
离心率 质
准线方程
Fp2，0 x＝－p2
F－p2，0
F0，p2
e＝1
x＝p2
答案 D
规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根 据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解.
角度4 焦点弦中距离之和最小问题 【例2－4】 已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分
别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________. 解析 由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最 小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时 为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2. 答案 2