第二章系统可靠性模型05

6 ② 最小割集：
割集是系统中单元状态变量的另一种子集，在该子集以 外所有单元均工作的情况下，当子集中所有单元失效时系统 必然失效，该子集称为割集。
最小割集(MCS)： 最小割集（MCS）是指其中任何一个单元工作时系统工 作的割集称为最小割集。易见，最小割集是割集中的一种， 即最小割集中的每一个单元单独都会引起系统工作。
图2-30 例2-6的图
最小割集：
x1x3, x2x（4 二阶）; x1x4x5, x2x3x（5 三阶）共4个。
2. 用最小路集和最小割集表示结构函数
14
（1）系统可靠的结构函数用全部最小路集表示为
p
(X )
j(X)
,
(X) j
xj
j 1
j j
(2- 40)
式中 (X ) — 最小路集； j p — 所研究系统所含最小路集总数;
j 1
由式(2-41) 得
( X ) x j x1 x2 x1 x2 x1x2
jk j
由式(2-40) 和式（2-41）求出的结果一样。
21 (3) 对偶函数：由式(2-42)得
D (X ) 1(1 X ) 1 (1 x1) (1 x2)
3 2
图 例1图
【 路集是指系统中所有以外单元均失效的情况下,子集中
所有单元工作时系统工作。最小路集（MPS）是指其中任何
一个单元失效时,都会引起系统失效。最小路集的阶数是指最
小路集中含单元状态变量的个数。】
1,3 得路集为：2,3 最小路集为二阶
1,2,3
（2）路集和割集共有23=8个。根据割集、
x i = 0 表示第 i 个部件失效。
则系统状态可用下述结构函数表示：
( X ) (x1, x2 ,, xn )
X 是 n 维向量
若(X ) 1，表示系统成功
(X ) 0，表示系统失效
故称(X )为系统可靠的结构函数 。
② 系统失效的结构函数
4
若 （X ) (x1, x2 ,, xn )
1 (1 x1) (1 x1)(1 x2)
x1x2
(4) 补函数：由式(2-43)得
图2-31 例2-7的图
本节只介绍前四。主要讲全概率分解法和不交最小路法。 前者主要用于手算，后者用计算机解一般网络系统。
一、结构函数 从可靠性角度研究部件或系统，它们都是两态的。因此象 布尔代数一样，我们希望用一函数式来表示部件的两态对系统 两态的影响，这个函数式称做结构函数。
3 1. 结构函数有关的基本概念
（1）结构函数的含义 ① 系统可靠的结构函数 若一个系统S由 n个部件组成，x i表示第 i 个部件的状态： x i = 1 表示第 i 个部件成功；
由此可见，与用最小路集表示其结果一样。
18
3. 结构函数（X）的对偶函数 D (X )及 补函数(X )的关系
(1) 对偶函数
设系统S的结构函数 （X）,则系统S D的结构函数为
D ( X ) 1(1 X )
(2 - 42)
其中（1- X） (1- x1,1- x2,,1- xn )。
习题二 答
案--------------------------------------(49)
2
第八节 一般网络的可靠性模型
一般网络系统比前面讲的串联、并联、表决和储备系统 都要复杂，例如航天、航空、通信和计算机系统等。
解一般网络的方法：有状态枚举法（真值表法）、概率 图法、全概率分解法、不交最小路法、网络拓扑法和MonteGareo模拟法。
二、状态枚举法（布尔真值表法）--------------------（24）
例 2-8 --------------------------------------（25） 三、概率图法 -------------------------------------------------(31)
例 2-9 --------------------------------------（32）
j — 最小路集的第j个子集；
x j — 最小路集的第j个单元两态变量。
15 （2）系统可靠的结构函数用全部最小割集表示为
k
(X ) k j (X ) , k j (X ) x j
j 1
jk j
(2- 41)
式中k j ( X ) — 最小割集； k — 所研究系统所含最小割集总数；
路集是指系统中单元状态变量的一种子集，在该子集 以外所有单元均失效的情况下， 子集中所有单元工作时系 统工作，该子集称为路集。
最小路集（MPS）： 最小路集（MPS）是指其中任何一个单元失效时,都会 引起系统失效的路集为最小路集。可知它是路集中的一种最 小路集MPS。 最小路集的阶数: 最小路集的阶数是指最小路集中含单元状态变量的个 数称为最小路集的阶数。
j — 最小割集的第j个子集；
x j —最小割集的第j个单元两态变量。
16 例3 用最小路集和最小割集分别写出例1图系统的结构
函数 Φ(X ) 。
解：（1）用最小路集表示，
1 3
由式(2-40) 得
2
p
图 例1图
(X ) j (X ) , j (X ) x j
j 1
j j
8
最小割集及其阶的定义和逻辑框图：
【割集是在该子集以外所有单元均工作的情 况下，当子集中所有单元失效时系统必然失效。 最小割集（MCS）是指其中任何一个单元工作 时系统工作的割集。最小割集的阶数是指最小 割集中含单元状态变量的个数】
1 3
2
图 例1图
1,3 得割集为12,,23
1
第 二 章 系 统 可 靠 性 模 型(5)
第八节 一般网络的可靠性模型
一、结构函数------------------------------------------------（2） 例 2-6 ---------------------------------------（11）
例 2-7 ---------------------------------------（20）
1
2
3
图 例2串联图
其中 ： 路集 ｛1，2，3｝ 共1个。
割集 ：｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1，2｝、 ｛1，3｝、｛2，3｝、｛1，2，3｝ 共7个。
其中 ｛1, 2 , 3｝为最小路集，三阶。
｛1｝、2｝、｛3｝为最小割集，一阶。
（2）根据路集、最小路集、 割集、最小割集定义得 ，
10 1
路集数+割集数=23 = 8个。并
解：（1）图2-31中并联系统的 最 小路集MPS和最小割集MCS分别为：
MPS : x1 , x2 ; MCS : x1x2
图2-31 例2-7的图
(2) 结构函数：由式(2-40) 得
2
( X ) x j x1 x2 x1 x1x2 x1 (1 x1)x2 x1 x2 x1x2
最小割集的阶数：
最小割集的阶数是指最小割集中含单元状态变量的个数 称为最小割集的阶数。
下面举例巩固以上最小路集和最小割集的概念。
7
例1 某一系统可靠性逻辑框图如下图所示，求其路集、
割集，最小路集、最小割集及其阶数 。
解：（1） 路集和割集共有
1
23=8个。根据路集、最小路集及其 阶的定义和和逻辑框图：
最小割集为二阶
3 Leabharlann Baidu1,2,3
最小割集为一阶
简明判断：可见含有任何子集全部单元的的路集和割集
均不是最小路集和最小割集，即可用排除法判之。
例2 判断三个单元组成串联及并联系统的路集、割集， 9 最小路集，最小割集及其阶数。
解：（1）根据路集、最 小路集、割集、最小割集定 义得 ，路集+割集= 23 = 8 个。 串联时
2
联（见图）时 3
图 例2并联图
路集：｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1,2｝、
｛2,3｝、｛1,3｝、｛1,2,3｝ 共7个。
割集 ：｛1,2,3｝
共1个。
其中： ｛1｝ 、 ｛2｝ 、 ｛3｝ 最小路集均为一阶。
｛1 , 2 , 3｝ 最小割集为三阶。
例 2-6 为一般网络系统的例子，其系统逻辑框图如图 11 2—30所示。试求该系统所有的路集、割集、最小路集和最 小割集，并指出各最小路集和最小割集的阶数。
则S D为S的对偶系统， D ( X )为（X）的对偶结构函数。
可以证明：
结构函数( X )的一个最小路集是 D ( X )的一个最小割集。 结构函数( X )的一个最小割集是 D ( X )的一个最小路集。
(2) 结构函数Φ（X）的补函数
19
结构函数Φ（X）的补函数为
( X ) 1( X ) ( X ) (2 - 43)
k
( X ) k j ( X ),k j ( X ) x j
j 1
jk j
2
xj j1 jk j ( X )
(x1 x2 )x3 (x1x1x2 )x3
1 3
2
图 例1图
x1x3 x1x2 x3
x1x3 x2 x3 x1x2 x3
x1x3 x2 x3 x1x3 (x1x2 )x2 x3
x1x3 x1x2 x3
x1x3 (1 x1)1 x2 x3
x1x3 x2 x3 x1x2 x3
17 解：（2）用最小割集表示例1（图例1图）系统的结构 函数 Φ(X ) ，由式(2-41) 得
最小路集：
图2-30 例2-6的图
x1x2, x3x4 (二阶)；x1x4 x5, x2 x3x5 (三阶)共4个。
解：（2）根据割集、最小割集和最小割集阶数的概念可13 得图2-30系统的所有割集，最小割集及最小割集的阶数为。
(路集 割集 25 32)
割集：
x1x3 , x2 x4 ; x1x4 x5 , x2 x3 x5 , x1x3 x5 , x1x2 x3 , x1x3 x4 , x1x2 x4 , x2 x3 x4 , x2 x4 x5; x1x3 x4 x5 , x1x2 x3 x4 , x1x2 x3 x5 , x1x2 x4 x5 , x2 x3x4 x5; x1x2 x3x4 x5 , 共16个。
图2-30 例2-6系统可靠性逻辑框图
解：（1）根据路集、最小路集和最小路集阶数的概 12 念可得图2-30系统的所有路集，最小路集及最小路集的
阶数为。 (路集 割集 25 32)
路集：
x1x2 , x3 x4 ; x1x5 x4 , x3 x4 x5 , x1x2 x3 , x1x2 x5 , x1x2 x4 , x1x3 x4 , x2 x3 x5 , x2 x3 x4 ; x1x3 x4 x5 , x1x2 x3 x4 , x1x2 x3 x5 , x1x2 x4 x5 , x2 x3 x4 x5; x1x2 x3 x4 x5 , 共16个。
四、全概率分解法------------------------------------------（36） 例 2-10 -------------------------------------（37）
五、不交最小路法------------------------------------------（42） 例 2-11 -------------------------------------（42） 例 2-12 -------------------------------------（45）
xi xi
1, 表示第i个部件失效； 0, 表示第i个部件成功。
而
（X） 0, 表示系统失效； （X） 1,表示系统成功。
则称（X )为系统失效（故障）的 结构函数。
显然 （X ) 1-（X）
这里本书只研究 Φ (X) 。
5 （2）最小路集和最小割集
① 最小路集：
由式（2 - 42） D ( X ) 1(1 X ) 和式（2 - 43)可见： 对偶和互补的概念是不同的，( X )和（X）是描述同一系 统的工作和失效，而（X )和 D ( X )则描述两个互相对偶的
不同系统的工作。
20 例 2-7 设有两个单元并联系统，见图2—31。 求该系 统可靠的结构函数、对偶函数和补函数，并讨论它们间的 关系。