第二章系统可靠性模型05

最小割集为二阶
3 1,2,3
最小割集为一阶
简明判断：可见含有任何子集全部单元的的路集和割集
均不是最小路集和最小割集，即可用排除法判之。
例2 判断三个单元组成串联及并联系统的路集、割集， 9 最小路集，最小割集及其阶数。
解：（1）根据路集、最 小路集、割集、最小割集定 义得 ，路集+割集= 23 = 8 个。 串联时
习题二 答
案--------------------------------------(49)
2
第八节 一般网络的可靠性模型
一般网络系统比前面讲的串联、并联、表决和储备系统 都要复杂，例如航天、航空、通信和计算机系统等。
解一般网络的方法：有状态枚举法（真值表法）、概率 图法、全概率分解法、不交最小路法、网络拓扑法和MonteGareo模拟法。
j — 最小割集的第j个子集；
x j —最小割集的第j个单元两态变量。
16 例3 用最小路集和最小割集分别写出例1图系统的结构
函数 Φ(X ) 。
解：（1）用最小路集表示，
1 3
由式(2-40) 得
2
p
图 例1图
(X ) j (X ) , j (X ) x j
j 1
j j
二、状态枚举法（布尔真值表法）--------------------（24）
例 2-8 --------------------------------------（25） 三、概率图法 -------------------------------------------------(31)
例 2-9 --------------------------------------（32）
最小割集的阶数：
最小割集的阶数是指最小割集中含单元状态变量的个数 称为最小割集的阶数。
下面举例巩固以上最小路集和最小割集的概念。
7
例1 某一系统可靠性逻辑框图如下图所示，求其路集、
割集，最小路集、最小割集及其阶数 。
解：（1） 路集和割集共有
1
23=8个。根据路集、最小路集及其 阶的定义和和逻辑框图：
j 1
由式(2-41) 得
( X ) x j x1 x2 x1 x2 x1x2
jk j
由式(2-40) 和式（2-41）求出的结果一样。
21 (3) 对偶函数：由式(2-42)得
D (X ) 1(1 X ) 1 (1 x1) (1 x2)
图2-30 例2-6系统可靠性逻辑框图
解：（1）根据路集、最小路集和最小路集阶数的概 12 念可得图2-30系统的所有路集，最小路集及最小路集的
阶数为。 (路集 割集 25 32)
路集：
x1x2 , x3 x4 ; x1x5 x4 , x3 x4 x5 , x1x2 x3 , x1x2 x5 , x1x2 x4 , x1x3 x4 , x2 x3 x5 , x2 x3 x4 ; x1x3 x4 x5 , x1x2 x3 x4 , x1x2 x3 x5 , x1x2 x4 x5 , x2 x3 x4 x5; x1x2 x3 x4 x5 , 共16个。
j — 最小路集的第j个子集；
x j — 最小路集的第j个单元两态变量。
15 （2）系统可靠的结构函数用全部最小割集表示为
k
(X ) k j (X ) , k j (X ) x j
j 1
jk j
(2- 41)
式中k j ( X ) — 最小割集； k — 所研究系统所含最小割集总数；
1 (1 x1) (1 x1)(1 x2)
x1x2
(4) 补函数：由式(2-43)得
图2-31 例2-7的图
本节只介绍前四。主要讲全概率分解法和不交最小路法。 前者主要用于手算，后者用计算机解一般网络系统。
一、结构函数 从可靠性角度研究部件或系统，它们都是两态的。因此象 布尔代数一样，我们希望用一函数式来表示部件的两态对系统 两态的影响，这个函数式称做结构函数。
3 1. 结构函数有关的基本概念
（1）结构函数的含义 ① 系统可靠的结构函数 若一个系统S由 n个部件组成，x i表示第 i 个部件的状态： x i = 1 表示第 i 个部件成功；
6 ② 最小割集：
割集是系统中单元状态变量的另一种子集，在该子集以 外所有单元均工作的情况下，当子集中所有单元失效时系统 必然失效，该子集称为割集。
最小割集(MCS)： 最小割集（MCS）是指其中任何一个单元工作时系统工 作的割集称为最小割集。易见，最小割集是割集中的一种， 即最小割集中的每一个单元单独都会引起系统工作。
2
联（见图）时 3
图 例2并联图
路集：｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1,2｝、
｛2,3｝、｛1,3｝、｛1,2,3｝ 共7个。
割集 ：｛1,2,3｝
共1个。
其中： ｛1｝ 、 ｛2｝ 、 ｛3｝ 最小路集均为一阶。
｛1 , 2 , 3｝ 最小割集为三阶。
例 2-6 为一般网络系统的例子，其系统逻辑框图如图 11 2—30所示。试求该系统所有的路集、割集、最小路集和最 小割集，并指出各最小路集和最小割集的阶数。
8
最小割集及其阶的定义和逻辑框图：
【割集是在该子集以外所有单元均工作的情 况下，当子集中所有单元失效时系统必然失效。 最小割集（MCS）是指其中任何一个单元工作 时系统工作的割集。最小割集的阶数是指最小 割集中含单元状态变量的个数】
1 3
2
图 例1图
1,3 得割集为12,,23
xi xi
1, 表示第i个部件失效； 0, 表示第i个部件成功。
而
（X） 0, 表示系统失效； （X） 1,表示系统成功。
则称（X )为系统失效（故障）的 结构函数。
显然 （X ) 1-（X）
这里本书只研究 Φ (X) 。
5 （2）最小路集和最小割集
① 最小路集：
最小路集：
图2-30 例2-6的图
x1x2, x3x4 (二阶)；x1x4 x5, x2 x3x5 (三阶)共4个。
解：（2）根据割集、最小割集和最小割集阶数的概念可13 得图2-30系统的所有割集，最小割集及最小割集的阶数为。
(路集 割集 25 32)
割集：
x1x3 , x2 x4 ; x1x4 x5 , x2 x3 x5 , x1x3 x5 , x1x2 x3 , x1x3 x4 , x1x2 x4 , x2 x3 x4 , x2 x4 x5; x1x3 x4 x5 , x1x2 x3 x4 , x1x2 x3 x5 , x1x2 x4 x5 , x2 x3x4 x5; x1x2 x3x4 x5 , 共16个。
k
( X ) k j ( X ),k j ( X ) x j
j 1
jk j
2
xj j1 jk j ( X )
(x1 x2 )x3 (x1x1x2 )x3
1 3
2
图 例1图
x1x3 x1x2 x3
x1x3 x2 x3 x1x2 x3
1
第 二 章 系 统 可 靠 性 模 型(5)
第八节 一般网络的可靠性模型
一、结构函数------------------------------------------------（2） 例 2-6 ---------------------------------------（11）
例 2-7 ---------------------------------------（20）
x1x3 x2 x3 x1x3 (x1x2 )x2 x3
x1x3 x1x2 x3
x1x3 (1 x1)1 x2 x3
x1x3 x2 x3 x1x2 x3
17 解：（2）用最小割集表示例1（图例1图）系统的结构 函数 Φ(X ) ，由式(2-41) 得
图2-30 例2-6的图
最小割集：
x1x3, x2x（4 二阶）; x1x4x5, x2x3x（5 三阶）共4个。
2. 用最小路集和最小割集表示结构函数
14
（1）系统可靠的结构函数用全部最小路集表示为
p
(X )
j(X)
,
(X) j
xj
j 1
j j
(2- 40)
式中 (X ) — 最小路集； j p — 所研究系统所含最小路集总数;
四、全概率分解法------------------------------------------（36） 例 2-10 -------------------------------------（37）
五、不交最小路法------------------------------------------（42） 例 2-11 -------------------------------------（42） 例 2-12 -------------------------------------（45）
3 2
图 例1图
【 路集是指系统中所有以外单元均失效的情况下,子集中
所有单元工作时系统工作。最小路集（MPS）是指其中任何
一个单元失效时,都会引起系统失效。最小路集的阶数是指最
小路集中含单元状态变量的个数。】
1,3 得路集为：2,3 最小路集为二阶
1,2,3
（2）路集和割集共有23=8个。根据割集、
由此可见，与用最小路集表示其结果一样。
18
3. 结构函数（X）的对偶函数 D (X )及 补函数(X )的关系
(1) 对偶函数
设系统S的结构函数 （X）,则系统S D的结构函数为
D ( X ) 1(1 X )
(2 - 42)
其中（1- X） (1- x1,1- x2,,1- xn )。
x i = 0 表示第 i 个部件失效。
则系统状态可用下述结构函数表示：
( X ) (x1, x2 ,, xn )
X 是 n 维向量
若(X ) 1，表示系统成功
(X ) 0，表示系统失效
故称(X )为系统可靠的结构函数 。
② 系统失效的结构函数
4
若 （X ) (x1, x2 ,, xn )
路集是指系统中单元状态变量的一种子集，在该子集 以外所有单元均失效的情况下， 子集中所有单元工作时系 统工作，该子集称为路集。
最小路集（MPS）： 最小路集（MPS）是指其中任何一个单元失效时,都会 引起系统失效的路集为最小路集。可知它是路集中的一种最 小路集MPS。 最小路集的阶数: 最小路集的阶数是指最小路集中含单元状态变量的个 数称为最小路集的阶数。
则S D为S的对偶系统， D ( X )为（X）的对偶结构函数。
可以证明：
结构函数( X )的一个最小路集是 D ( X )的一个最小割集。 结构函数( X )的一个最小割集是 D ( X )的一个最小路集。
(2) 结构函数Φ（X）的补函数
19
结构函数Φ（X）的补函数为
( X ) ( X ) ( X ) (2 - 43)
1
2
3
图 例2串联图
其中 ： 路集 ｛1，2，3｝ 共1个。
割集 ：｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1，2｝、 ｛1，3｝、｛2，3｝、｛1，2，3｝ 共7个。
其中 ｛1, 2 , 3｝为最小路集，三阶。
｛1｝、2｝、｛3｝为最小割集，一阶。
（2）根据路集、最小路集、 割集、最小割集定义得 ，
10 1
路集数+割集数=23 = 8个。并
由式（2 - 42） D ( X ) 1(1 X ) 和式（2 - 43)可见： 对偶和互补的概念是不同的，( X )和（X）是描述同一系 统的工作和失效，而（X )和 D ( X )则描述两个互相对偶的
不同系统的工作。
20 例 2-7 设有两个单元并联系统，见图2—31。 求该系 统可靠的结构函数、对偶函数和补函数，并讨论它们间的 关系。
解：（1）图2-31中并联系统的 最 小路集MPS和最小割集MCS分别为：
MPS : x1 , x2 ; MCS : x1x2
图2-31 例2-7的图
(2) 结构函数：由式(2-40) 得
2
( X ) x j x1 x2 x1 x1x2 x1 (1 x1)x2 x1 x2 x1x2