复合实物期权分类及其定价_段世霞

（6）
参数说明
I 投资成本
max(S 0 u d
j
n-j
－I,0)
n-j n-j
该或式复合实物期权的价值为 f 0,0－S 0 。 2.4 和式复合实物期权定价 和式复合实物期权价值的计算仍然是从网格图的终 点节点开始向前倒推进行的。假定和式复合实物期权共 包括 n 个实物期权， 如图 4 所示。利用公式 （1） 求得在终
点各节点 (i = n = t Δt ; j = 0,1,……, n) 实物期权 c1 的价 值为 f n1, j = F1m (S 0 u d
(S 0 u d
j n-j j n-j 2 )、 实物期权 c2 的价值为 f n2 ,j = F m j n )、 ……、 实物期权 c n 的价值为 f nn , j = F m (S 0 u [dn - j)]， j n-j
j
n-j
) 、……、实 物 期 权 c n 的 价 值 为 )， 持有实物期权的价值为 S 0 u d
j n-j n , f n1, j, f n2 , j,……, f n, j ; 0)
n-j
，
则或式复合实物期权在 t 时刻各节点的期权价值为
f n, j = max(S 0 u d (n = t Δt ; j = 0,1,⋯, n)
其余各期各节点的期权价值为
=e
- rΔt i + 1, j + 1
] (0 i n 1 - 1; 0 j i)
（4） 该串式复合实物期权价值为 f －S 0 。 2.3 或式复合实物期权定价 假定或式复合实物期权有 n 个实物期权可供选择， 如 图 3 所示。根据其定义可知， 组成或式复合实物期权的单 个实物期权存在着互斥性和相互独立性， 因此不以能通过 计算单个实物期权后相加求得。或式复合实物期权的定 价仍然是从后向前倒推进行， 把 S0 u d
c1 的价值为 f
1 n, j j n-j 1 0,0
代入公式 （1） ，
求得终点各节点 (i = n = t Δt ; j = 0,1,……, n) 实物期权
= F m (S 0 u d
1 j n-j
)、 实物期权 c2 的价值为
j n-j
2 f n2 , j = F m (S 0 u d n f nn , j = F m (S 0 u d j
图 3 或式复合实物期权示意图 图 4 和式复合实物期权示意图 图 1 单个实物期权示意图 图 2 串式复合实物期权示意图
模型中期权的期数， n = t Δt 。实物期权 c1 如图 1 所示， 根据二叉树的定价方法， 标的资产价值运动网格图中各个
0ji） 节点的资产价值为 S 0 u d （ 0 i n ； ， 其中， u=e
)
-C
) + S)
Biblioteka Baidun-j
C 扩张费用 γ 扩张系数， S 节省费用 β 收缩系数， I 放弃残值 S2 转换后的资产价值 X 转换比例成本
j n2 - j
max(S 0 u d
, S2 - XS 0 u d
j
)
值 ，c2 在 t2 时 刻 各 节 点 的 价 值 为 f n2 = F 2m (S 0 u d 2, j 为
财经纵横
复合实物期权分类及其定价
段世霞
（郑州大学 管理工程学院， 郑州 450001）
摘 要： 实物期权的构成和相互价值作用关系极其复杂， 现有的复合实物期权模型不足以描述这种相互关 系。针对这一问题， 文章对复合实物期权进行新的分类， 并对其组成要素之间的关系和定价进行了研究。 关键词： 实物期权； 期权分类； 期权定价 中图分类号： F830.59 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2012） 09-0156-02
f i, j = e-rΔt [ pf i + 1, j + 1 + (1 - p) f i + 1, j] (0 i n - 1,0 j i)
（2） 其中，p =
e rΔt - d u-d
， σ 为资产价值波动率， r 为无风险
j n-j
利率。需要特别指出的是： 利用 F m 进行定价， 各节点实 物期权价值 f i, j 还包括相应节点的资产价值 S 0 u d ， 而 且一般情况下净现值 NPV 和 S 0 相等， 所以 f 0,0 是扩展 净现值 ENPV ， 即实物期权价值为 f 0,0 - S 0 。如果初始 投 资 为 I 0 ，则 f 0,0 - I 0 为 扩 展 净 现 值 ENPV ，
1 复合实物期权分析 1.1 复合实物期权的概念 一般认为复合实物期权是指由多个单个实物期权组 成的， 在时间和空间上相互作用的实物期权集合。本文认 为复合实物期权是由单个实物期权组成的， 共有三种， 即 串式复合实物期权、 或式复合实物期权和和式复合实物期 权。串式复合实物期权是指由两个单个实物期权组成的， 但这两个期权之间存在着相互的因果关系， 后一期权的存 在与否取决于前一期权是否执行， 前一期权是否执行取决 于后一期权的期权价值。或式复合实物期权是指由 n 决策者同时有 n 个实物期权 (n 2) 个单个实物期权组成， 可以选择， 但只能选择其中一个执行的复合实物期权。和 式复合实物期权是指由 n (n 2) 个单个实物期权组成的， 决策者同时拥有 n 个实物期权， 而且这 n 个实物期权要么 同时持有要么同时执行的复合实物期权。 1.2 复合实物期权关系分析 复合实物期权示意图是对其进行分析的基础。在示 意图上， 单个实物期权的画法见图 1， 在时间坐标轴上用 一条带有长度的箭线表示， 箭尾在坐标轴上的对应时刻表 示实物期权的开始时间， 箭头在坐标轴上的时刻表示实物 期权的结束时间。简单复合实物期权的画法： 用首尾相接 的两条箭线表示串式复合实物期权 （见图 2） ； 用从一点出 发几条箭线表示或式复合实物期权 （见图 3） ； 用首尾并列 的几条箭线表示和式复合实物期权 （见图 4） 。 2 复合实物期权的定价 2.1 单个实物期权定价 假设 S 0 表示标的资产初始价值； (i, j) 表示 iΔt 时第 j 个节点， 其中 0 i n ， 0ji ， Δt 表示二叉树模型每期 的时间间隔， 也称步长， 一个 Δt 就是一期， n 表示二叉树
（责任编辑/易永生）
统计与决策２０1 2 年第 9 期·总第 357 期
157
f 0,0 - I 0 - S 0 为实际期权价值。
2.2
串式复合实物期权定价 如图 2 所示， 在串式复合实物期权中， 第一个期权
第二个期权 c2 的开始时间是 t1 ， c1 的有效期是 [0, t1] ， 结束时间是 t2 。先用公式 （1） 、 （2） 求第二个实物期权的价
作者简介： 段世霞 （1963-） ， 女， 河南杞县人， 博士， 副教授， 研究方向： 项目投资决策与管理。 156
（5）
其余各期各节点的期权价值为
f i, j = e
- rΔt
Investments with Multiple Real[J].Journal of Financial and Quantita⁃
[ pf i + 1, j + 1 + (1 - p) f i + 1, j] (0 i n - 1; 0 j i)
2 n1, j
其余各期各节点的期权价值为
f i, j = e-rΔt [ pf i + 1, j + 1 + (1 - p) f i + 1, j] (0 i n - 1; 0 j i)
就是说 c1 的标的资产价值相当于 c2 在 t1 时刻的各节点 （ i = n1 = t1 Δt, j = 0,1,……, n１） 的价值 f ，j = 0,1,… 两者并无本质区别， 仅在于标的资 …, n１ 。从这一角度看， 产价值的相差。把 f n2 代入 F m 得出 c1 在 t1 时刻各节点 1, j 的价值为
σ Δt j i-j
， d=e
- r Δt
。考虑到实物期权 c1 终点节点的价
n-j
值为
f n, j = F m (S 0 u d
j
) ( j = 0,1,……, n)
（1）
其中 F m 为单个实物期权执行时的价值函数， 推迟、 扩张、 收缩、 放弃和转换等单个期权执行时的价值函数如表 1 所示。则从终点节点 （ n = t Δt ） 开始向前倒推计算， 根据 风险中性定价原理， 求得其余各期各节点的期权价值为
j n-j
持有实物期权的价值为 S 0 u d 在 t 时刻各节点的期权价值为
f n, j = max(S 0 u d
j n-j
， 则和式复合实物期权
n , f n1, j + f n2 , j + …… + f n, j,0)
(n = t Δt ; j = 0,1,……, n)
（7）
， 还应包括实物期权 c2 的价值， 也
参考文献： [1]Mason S P, Merton R C. The Role of Contingent Claim Analysis in [2]McDonald, R. D. Siegel. The Value of Waiting to Invest[J].Quarterly [3]Cox J, S Ross, M Rubinstein. Option Pricing: A Simplified Approach [4]Myers S C, Majad S.Abandonment Value and Project Life[J].Advances [5]Trigeorgis L, Manson S P. Valuing Managerial Flexibility[J].Mildland [6]Trigeorgis L. The Nature of Option Interactions and the Valuation of tive Analysis, 1993, 28(1). Corporate Finance Journal, 1987, 5(1). in Futures and Options Research, 1990,( 4). [J].Journal of Financial Economics, 1979, (7). Journal of Economics, 1986, (101). Corporate Finance[C].NBER Working Paper,1995.
（ n2 = t2 Δt ，j = 0,1,……, n2 ） ， 其余各节点的期权价值
- rΔt 2 f i, [ pf i + 1, j + 1 + (1 - p) f i + 1, j] （ 0 i n2 - 1 ， j =e
。 0 j i） 现在分析串式复合实物期权 c1 的定价。 c1 和单个实 物期权的的最大区别在于其标的资产是一个实物期权， 不 只是实物资产， 表现在定价方面就是价值函数 F m 中的标 的资产不只是 S 0 u d
f f
1 i, j 1 n1, j
（8） 该和式复合实物期权的价值为 f 0,0－S 0 。 3 结束语
= F m( f [ pf
1
1
2
n1, j
) (n1 = t1 Δt ; j = 0,1,……, n1) + (1 - p) f
1 i + 1, j
（3） 实物期权是一个系统， 现有的复合实物期权模型不足 以描述这个系统， 针对这一缺陷， 本文对复合实物期权进 行了新的分类， 用递推法对其定价， 并对整个复合实物期 权体系进行分析， 旨在寻求一种贴近现实的通用模型， 对 实物期权正确估价。这一方法的提出， 为复杂形态的实物 期权问题提供了一个基础分析框架.。
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表1 期权名称 推迟期权 扩张期权 收缩期权 放弃期权 转换期权
max S 0 u d
0 j j
单个实物期权执行时的价值函数
Fm , γS u d ( max ( S u d , βS u d max ( S u d , I )
n-j 0 j n-j 0 j 0 j n-j j n-j