理论力学教案

理论力学
教案
《理论力学》课程基本信息
（一）课程名称：理论力学
（二）学时学分：每周4学时，学分4
（三）予修课程：力学、高等数学
（四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。

（五）教学参考书：
1.周衍柏《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。

2.郭士望《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。

3.梁昆森《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。

（六）教学方法：课堂讲授，启发式教学
（七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合
（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%
（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。

并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。

（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。

绪论
一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。

是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。

二：《理论力学》与《力学》的区别和联系
1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。

2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。

《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。

三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。

第一章牛顿动力学方程
教学目的和基本要求：要求学生了解牛顿运动定律的历史地位，掌握牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式和使用方法；熟练掌握运用运动微分方程求解并讨论力学问题的方法；理解质点系、质心、动量、角动量和能量的概念；熟练掌握三个基本定理、三个守恒定律的内容和它们的适用条件，以及应用它们求解问题的方法步骤；了解研究变质量物体运动的指导思想和处理方法。

教学重点：熟练掌握牛顿运动定律，动量、角动量、能量定理以及运用这些定理解决力学问题的方法。

教学难点：如何讲清牛顿第二定律、三个守恒定律在具体力学问题中的应用方法。

§1.1 牛顿的《原理》奠定了经典力学的理论基础
一：经典力学的理论基础——牛顿于1687年发表的《自然哲学的数学原理》，简称《原理》，是牛顿在总结伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。

在原理中牛顿提出了著名的力学三定律和万有引力定律，并阐述了关于时间、空间的基本概念和区别相对运动和绝对运动的思想。

在物理学中将以《原理》为依据的力学称为经典力学或牛顿力学。

二：经典力学的物质观、时空观及运动观。

1. 物质观、时空观及运动观在力学中的重要性。

力学研究的是物体的空间位形随时间的变化规律，因此要建立力学的理论体系首先就要对什么是物质、时间、空间和运动有科学的认识和明确的规定。

2. 物质观、时空观及运动观的发展历史：亚里士多德，笛卡尔等。

3. 牛顿力学的物质观、时空观及运动观。

（1）物质观：以古希腊原子论为基础，认为世界是由原子构成，原子间的作用力构成万物的运动。

（2）时空观：“绝对的、真正的、数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地，与其他任何事物无关地流逝着”，即时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质无关。

牛顿还认为在宇宙中存在着绝对的、三维的、均匀的和各向同性的绝对空间。

在绝对空间中可取这样的坐标系：原点静止于绝对空间中，坐标轴的方向一经选定就不再改变，那么这个坐标系就代表了绝对空间。

物体相对于该坐标系的运动即为绝对运动。

一切相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系惯性参考系。

（3）运动观：牛顿第三定律和力学相对性原理，它们可以看成是力学的最高原理。

另外还包括万有引力定律。

此外在《原理》一书中牛顿还明确定义了动力学理论所必需的一系列完整的辅助概念，发明了微积分，将力学原理与数学结合起来，使力学成为了严密的科学理论。

三：牛顿运动三定律
1：运动三定律：
第一定律：一个物体，若没有外力影响使其改变状态，则该物体仍保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。

第二定律：运动的变化，与所加的力成正比，其方向为力作用的方向。

第三定律：作用恒与其反作用相等，方向则相反。

其中最重要的是第二定律，其原始的数学表达式为F dt v m d =)( （1.1） 如果将物体质量m 看成常量，上式可改写为F dt
v d m = 或F dt r d m =22 （1.2）
2：力学相对性原理：在一个系统内部的任何力学实验，都不能决定这一系统是静止的还是在作匀速直线运动。

意义：根据这一原理，相对于绝对空间做匀速直线运动或静止的参考系力学规律完全相同，这样将牛顿定律的适用范围从绝对空间推广到惯性系。

因牛顿设想的绝对空间实际上是不存在的，这样就为牛顿力学的使用找到了一个理论依据。

3：伽利略变换。

设参考系S 和S ’均为惯性系且S ’相对于S 以匀速u 运动，那么这两个参
考系之间的时空坐标的变换关系为： ⎩
⎨⎧'=+'=t t t u r r （1.3） 将上式代入（1.2）式可见牛顿第二定律在伽利略变换下保持不变，因此力学相对性原理又可表述为：力学定律对于伽利略变换保持不变。

四：牛顿运动三定律的局限性：适用于低速宏观物体。

五：牛顿的认识论、方法论简介：简单性，因果性，同一性和真理性。

简单性：科学上正确的东西都是简单的，如果同一个问题可用简繁不同的方法得到相同的结论，应该选用简单的方法。

因果性（决定论）：就是由一定的前因按照自然规律必然可确定唯一的结果，反之由一定结果必然可确定唯一的原因。

这在量子力学出现之前一直是物理学最牢固的一个信条。

统一性：指《原理》中所阐述的定律和物质观等在没有证明它的局限性和错误性之前应该认为它对整个自然界都是普遍适用的。

真理性：就是承认的相对性和绝对性。

六：本节重点：了解力学的发展历史，掌握牛顿运动三定律。

§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
牛顿运动定律的核心是第二定律，本节将就其数学表达式做深入探讨。

一：牛顿第二定律：F dt v m d =)( （2.1） 在经典力学中物体的m 为常数，牛顿定律变为：F dt
r d m F dt v d m ==22,或。

一般情况下F 为坐标、速度和时间的函数，即),,(t r r F F = （2.2），所以牛顿第二定律可进一步表示为：),,(),,(t r r F dt
v d m t r r F r m
==或 （2.3）
此式为二阶微分方程，在具体求解力学问题时，需要将其转化为标量方程。

根据坐标系的不同，牛顿第二定律有以下表达式。

二：牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式：
1.直角坐标系：空间任一点P 位置可用x 、y 、z 三个参数来表示，用i 、j 、k 分别表示沿x
轴、y 轴、z 轴的单位矢量，则空间任一点P 的位置矢量可表示为：k z j y i x r ++= （2.4）
进一步可得k z j y i x r v ++==及k z j y i x r a ++== （2.5）
牛顿第二定律的可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧===)t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F z
m )t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F y m )t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F x m z y x
（2.6） 2.平面极坐标系：平面上任一点P 的位置可用参数r 、θ来表示。

e r 和e θ分别表示矢径r
增加方向和极角θ增加方向的单位矢量(如图1.1），它们的方向随着P 点的运动而改变，则
位矢r e r r = （2.9）。

由图1.1可将e r 和e θ化为
的函数：j i e r θθsin cos +=，i e θθθcos sin +-=进一步得θθθθe dt
d d
e d e r r == （2.7）， r e dt
d d
e d e θθθθθ-== （2.8） 接着可求出θθe r e r r v r +== （2.10），θθθθe r r e r r r a r )2()(2++-== （2.11）
， 牛顿第二定律的可表示为：⎩⎨⎧=+=-θ
θθθF )r r (m F )r r (m r 22 （2.12） 3. 球坐标：空间任一点P 的位置可用参数r 、θ、
示， e r 、e θ、 e φ分别表示r 、θ、φ 向的单位矢量 (如图1.2），它们的方向随着P 而改变。

将e r 、e θ和e φ化为i 、j 、k k j i e r θφθφθcos sin sin cos sin ++=，
j i e e e r cos sin +-=⨯=φθφ，进一步可求出
θ
φφθφθφθφθφθθφθθe e e e e e e e e r r r cos sin cos sin --=+-=+=，结合 φθθφθe sin r e r e r r v ,e r r r r ++=== 可得 牛顿第二定律的可表示为：⎪⎩
⎪⎨⎧=++=-+=--φθθθφθφθφθθφθθθφθF )cos r sin r sin r (m F )cos sin r r r (m F )sin r r r (m r 2222222 （2.21） 4.柱坐标：空间任一点P 的位置可用参数R 、 φ 、z 来表示， e R 、e φ、 k 分别表示相
应的单位矢量(如图1.3） 。

e R 、e φ
的运动而改变，而k 坐标可得：k z r R +=e R （k z e r e r
r v R ++==φφ （牛顿第二定律的表达式为：
⎪⎩⎪⎨⎧==+=-z R F z
m F )R R (m F )R R (m φφφφ22 （2.25） 5. 自然坐标和内禀方程：以上坐标系中其单位矢量或者与运动无关，或者仅与质点的位置有关，而与质点的速度（方向）均无关。

还有一种自然坐标，其单位矢量的方向由任一时刻速度的方向决定，相应的牛顿动力学方程被称为本性方程或内禀方程。

（1）平面自然坐标：用e t 、e n 分别表示质点运动轨道的切线和法线方向的单位矢量(如图
1.4）， 即e t 与任一时刻速度V 同向，显然e t 、e n
为变矢量，有t e v v = （2.26）
另由ρ
φφv dt ds ds d dt d dt e d t === 及n t e dt e d 可得 n t e v e dt dv a ρ
2+= （2.27） 进一步可得牛顿第二定律的表达式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==n t F v m F dt dv m ρ
2 （2.28）
（2）空间自然坐标：
①基本概念：密切面：PP 1与PP 2
e t ：在密切面内沿轨道曲线切线方向的单位矢量，沿质点运动方向。

e n ：在密切面内与e t 的凹侧。

主法线：与e n 同向的法线。

e b ：由e t ×e n
位矢量。

次法线：与e b 同向的法线。

法平面：由e n e b 构成的平面。

直切平面：由e t 、e n 构成的平面。

②用e t 、e n 、 e b 分别表示质点运动轨道的切线、线和次法线方向的单位矢量，e t 与任一时刻速度V 向，显然e t 、e n 、 e b 三者均为变矢量。

类似于平面自然坐标，利用n t n t t e v e dt dv a e v dt e d e v v ρ
ρ2,,+===得牛顿第二定律的表达式为：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===0
2b n t
F F v m F dt dv m ρ
（2.29） （3）适用范围：适用于运动轨道已知的质点运动，或用于介质阻力不能忽略的运动。

三：本节重点：掌握直角坐标系、平面极坐标系、柱坐标系、平面曲线自然坐标系中牛顿第二定律的分量表达式。

§1.3 质点系
牛顿运动定律是针对质点提出的，对于不能看成质点的力学体系，则必须重新分析讨论。

一：质点系：（1）定义：由两个或两个以上相互联系的质点所组成的力学体系为质点系，质点间的联系体现在质点间的相互作用对发生作用的每个质点的运动均有影响。

（2）实例：A ：太阳——九大行星
B ：m 、m ’通过轻绳联系在一起，如图1.5。

前者是九个单质点的力学问题，后者是两质点构成的质点系。

（3）结论：A ：不能以质点个数的多少来推断是否为质点系，而应该看质点之间的作用力是否对发生作用的质点的运动均有影响。

B ：内力和外力的区分。

二：质点系的运动方程
1.一般方法：设有n 个质点构成一质点系，由牛顿第二定律可得：
),,(t r r F r m i
i i i =，i=1，2...n （3.1），共3n 个标量方程。

若质点系受内部或外界的约束共k 个，则F i 中会含由k 个未知的约束力F n i ，则可得k 个
约束方程：0),,(=t r r f i i j ，j=1，2...k （3.2）
联立以上共3n+k 个方程可求出3n+k 个未知数。

2. 一般方法的困难性和解决方法：以上方法需求解的方程个数太多，可借助于动量、角动量、能量定理简化求解过程。

三：本节重点：正确理解质点系的概念和力学问题的处理方法。

§1.4 动量定理
一：动量及动量定理
1.质点：定义动量为P =m v ，由牛顿第二定律可得动量定理为F dt
p d =，若F =0，则质点的动量P =C ，即动量守恒。

注：虽然这里由牛顿第二定律推出动量定理，但后者的适用范围超过前者，所以有些场合将牛顿第二定律看成动量定理的推论。

2.质点系：
（1）动量：定义质点系的动量为∑∑==i i S v m p P
（2）动量定理：对每一个质点应用动量定理可得：
)()(i i e i i F F dt
p d +=， i=1，2…n. （4.3） 其中)(e i F 表示质点所受的合外力，)(i i F 表示质点所受的内力的合力，且∑≠=n i
j ji i i F F )(，将（4.3）
式共n 个方程相加在一起，可得：
∑∑∑+=)()(i i e i i F F dt p d （4.4）
考虑到ij ji F F =，所以上式中0)(==∑∑∑≠n i n i
j ji i i F F ，这样（4.4）可简化为
∑==)()(e e i s F F dt
p d （4.6） 上式即为质点系的动量定理，它表示质点系动量的变化率等于体系所受的的合外力，与内力无关。

二：质点系的动量守恒：
在动量定理（4.6）式中如果0)(=e F ，则可得C P s =，即质点系的总动量守恒。

当0)(=e x F 得C P sx =，即动量在某一方向上（如x 方向）的分量守恒，如发射炮弹的问题。

当0)(≈e F 时，则可得C P s ≈，如碰撞问题。

三：质心运动定理：
1.质心：定义质心的位矢r c 为s i i i i i c m r m m r
m r ∑∑∑== （4.9） 则有C s i i i i s v m dt )r m (d v m P ===∑∑ （4.10）
即质点系的动量可看成将质量集中在质心上并以质心的速度运动的质点所具有的动量。

2. 质心运动定理： 将C s s v m P =代入动量定理)(e s F dt
p d =可得)()(e c s e c s F a m F dt v d m ==或 （4.11） 上式即为质心运动定理，它说明质心的运动就象一个质点的运动一样，此质点的质量等于质点系的总质量，作用在此质点上的力等于质点系所受的合外力。

四：本节重点：掌握质点系的动量定理、动量守恒定律和质心运动定理。

§1.5 角动量定理
一：.质点的角动量和角动量定理
1.角动量
定义质点的角动量（动量矩）L 为位矢r 与动量v m p =的矢量积，即v m r L ⨯= （5.1）
2.角动量定理：M F r dt
L d =⨯=，即质点角动量对时间的变化率等于质点所受的力矩。

推导：由角动量的定义式L =r ×p ，两边对时间求导可得：
F r v m r dt p d r p dt r d dt L d ⨯+⨯=⨯+⨯=，因0=⨯v m r ，又定义力矩F r M ⨯=，最终可得角动量定理M F r dt
L d =⨯= （5.2） 3.角动量守恒：如果质点所受的力矩M =0，则可得L =C ，即如果质点所受的力矩为零，则其角动量守恒。

注：M 、L 必须是针对坐标原点或惯性系的同一点而言。

4.应用：当质点受有心力的作用时，易得r e F F =，0=⨯=F r M ，则有
二：.质点系的角动量和角动量定理
1.角动量：定义质点系的角动量L 为各质点角动量L i 的矢量和，即∑∑⨯==i i i i v m r L L 。

2. 角动量定理： )()()(e e i e i i M M F r dt
L d ==⨯=∑∑，即质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受的外力矩之和，与内力矩无关。

推导：由动量的定义式∑∑⨯==i i i i v m r L L ，两边对时间求导可得：
∑∑∑∑∑⨯+⨯=⨯=⨯+⨯=)()()(i i i e i i i i i i i F r F r a m r dt v m d r v m dt r d dt L d ， 考虑到上式中∑∑∑∑∑=≠≠=⨯=⨯=⨯1)()()(0i i
j i ji i i j i ji i i i i F r F r F r ， 最终可得角动量定理∑∑=⨯=)()(e i e i i M F r dt L d （5.5） 3. 角动量守恒：同质点的角动量守恒一致，当0)(=∑e i M 时，有C L =，即角动量守恒。

以上讨论的均是相对于惯性系的坐标原点而言，但在处理实际的力学问题时，往往选取相对于某一点P 的L 、M 比选取相对于坐标原点的更方便，下面我们就专门讨论这种情况。

4.相对于惯性系中任一点P 的角动量定理
定义∑⨯'=i i i P v m r L ，∑⨯'=)(e i i P F r M ，
参考图1.6利用p i i r r r +'=，∑∑⇒⨯+'=⨯=i i p i i i i v m r r v m r L )(
同理可得)()(e P P e F r M M ⨯+=，将代入角动量定理)(e M dt
L d = 可得： P S p p M P v dt L d +⨯-=或P c s p p M v m v dt
L d +⨯-= （5.6）
讨论：A ：当V p=0时，P 为惯性系中的定点，角动量的形式不变，
P p M dt L d =。

B ：V p ≠0，但V p 与V c 同向，角动量的形式不变，
P p
M dt L d =。

C ：c p r r =1.质心系：动的参考系为质心系，2.实验室系：实验工作者使用。

3.首先定义M L v r '''' ,,,（严格来说应为dt
r d v '=' ~，详见第五章），i i i v m r L '⨯'='，c e i i M F r M =⨯'='∑)(。

注：L ' 与c L 是不同的两概念，i i i C v m r L ⨯'=，i v 与'i v 是不同的速度，前者是质点在惯性系
中的速度，而后者是质点在质心系中的速度。

但是可以证明L ’、 L C 二者相等。

证明：因dt
r d dt r d dt r d c i i +'=，所以有c i i v v v +'= （5.10） C i i c i i i i i i i i C v r m L v m r v m r v m r L ⨯'+'=⨯'+'⨯'=⨯'=∴∑∑∑∑ （5.11）
0='∑i i r m ，所以L L C '=∴ ，接着将c c M dt
L d =中的c L 、c M 用L ' ，M ' 替换掉， 最终可得 M dt
L d '=' 。

四 本节重点：重点掌握惯性系中的角动量定理。

§1.6 能量定理
一：质点的动能定理
1.质点的动能：221mv T =或22
1v m T = （6.1） 2.质点的动能定理：
r d F dW dT ⋅== （6.2），即作用在质点上的力F 所做的元功等于质点动能的增量。

证明：由22
1v m T =等式两边求微分可得 r d a m r d dt v d m v d dt r d m v d v m dT ==== 一段过程：⎰⎰⋅===21
2
1r d F W dT T 二：质点系的动能定理
1.质点系的动能： 质点系的动能为所有质点的动能之和，即∑∑∑===222
121i i i v m mv T T ， （6.3） 2.质点系的动能定理：∑∑⋅+⋅=i i i i e i r d F r d F dT )()(
将动能表达式∑=221i v m T 两边取微分∑∑∑====i i i i i i i r d a m r d dt
v d m v d dt r d m dT dT ∑∑⋅+⋅=⇒i i i i e i r d F r d F dT )()( （6.4）
即质点系动能的增量等于外力和内力所做的元功之和，
注：动能的增量与体系的内力有关，这一点与质点系的动量、角动量定理有明显的区别。

以上我们只证明了动能定理对惯性系成立，对于质心系是否成立需证明。

3.寇尼希定理
质点系的动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心的速度运动的动能，再加上各质
点相对于质心系运动的动能，即T v m T c s '+=
221 （6.5），其中∑∑'='='222
121i i i i v m v m T （6.6） 证明：由∑=22
1i v m T 及c i i v v v +'=可得⇒'+'+=∑∑∑c i i i i c i v v m v m v m T 222121 T v m T c s '+=221 ，其中用到0='='∑∑i i c c i i v m v v v m 。

4.质心系中的动能定理：质点系相对于质心系的动能的增量等于作用于质点系的外力和内
力在质心系中所做的元功之和，即∑∑'⋅+'⋅='i i i i e i r d F r d F T d )()( （6.7） 由T v m T c s '+=22
1 两边取微分可得T d r d a m T d v d v m dT c c s c c s '+='+= ① 另由)()()()()()(∑∑∑∑'+⋅+'+⋅=⋅+⋅=i c i i i c e i i i i i e i r d r d F r d r d F r d F r d F dT
∑∑'⋅++⋅=⇒i e i i i c e i r d F F r d F dT )()()()( ②
联立①②且由质心运动定理∑=)e (i c s F a m ，可得∑∑'⋅+'⋅='i i i i e i r d F r d F T d )()(
三：保守力和势能
在动能定理中有⎰⋅=2
1r d F W ，因),,(t r
r F F =，因此W 一般很难直接求出，但可以证明当F 为某一类特殊的力时，W 可方便的求出。

1.保守力：当F 为某一位置函数)(r V 的梯度即)()(r V r F -∇=时，该)(r F 被称为保守力，
此时)(r F 做功与质点运动的路径无关。

证明：由)()()(k z
V j y V i x V r V r F ∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=，将上式代入r d F dW ⋅= 可得 )()()()(r dV dz z
V dy y V dx x V k dz j dy i dx k z V j y V i x V dW -=∂∂+∂∂+∂∂-=++⋅∂∂+∂∂+∂∂-=， 即)(r dV dW -=，两边积分可得 )()(00
r V r V r d F W r r -=⋅=⎰ （6.11） 说明：①可见保守力做功只与始末位置0r 、r 有关，与运动的具体路径无关。

②可证明保守力F 满足0)(=⨯∇r F 。

③常见的保守力：重力、弹力、万有引力、库仑力等。

2.势能：当某位置函数)(r V 满足)()(r V r F -∇=（6.9），该函数)(r V 被称为势能。

它由发生
相互作用的物体共有，且势能为相对量，当给出它的具体数值时必须指出势能的参考零点。

由)(r dV r d F dW -==，可得)r (V r d F )r (V 021
+⋅-=⎰， 3.机械能守恒：定义动能T 与势能V 之和为机械能E ，当体系仅受保守力作用时，可证明此时机械能守恒。

证明：由C E V T V T d dV r d F dT ==+⇒=+⇒-=⋅=0)( （6.13），即机械能守恒。

4.质点系势能：因势能为标量，所以质点系的势能为所有质点的势能之和，即)(i i r V V ∑=，
当质点系所受内、外力均为保守力时，02
1
)()()(V r d F F V e i i i +⋅+-=⎰∑ （6.14） 5.例：计算受中心力的两质点的势能（从略）
四：本节重点：重点掌握惯性系中质点系动能定理和寇尼希定理以及保守力、势能的概念。

§1.7 变质量运动方程
一：变质量力学问题分类
1.质量随t 增加而增加：
0>dt
dm ，例：雨滴 2.质量随t 增加而减小：0<dt dm ，例：火箭 以上两类问题均可用动量定理推导出的变质量运动方程求解。

二：变质量运动方程
1.运动方程：F )u v (dt
dm dt v d m =-+ 2.推导：t 时刻： m ， v ， v m p =1
t+Δt ： m-Δm 、v v ∆+；Δm 、u ； u m )m )(-m (2 ∆+∆+∆=v v p
)u v (dt dm dt v d m )u v (t m lim dt v d m t p lim dt p d 0t 0t -+=-∆∆-+=∆∆=→∆→∆,由牛顿第二定律F dt p d =， 最终可得F )u v (dt dm dt v d m =-+ （7.1） 即变质量运动方程。

注：u ,v 均是相对于惯性系的速度，即绝对速度。

3.密斯尔斯基方程：R F F dt
v d m += （7.3） 在上述方程的基础上，令v u v r -=为废气相对于火箭的速度，它与v 反向。

设r e 为火箭
前进方向上的单位矢量，即r e 与v 同向，则有：r r e v v u v -=-=，将上式代入变质量运动方程可得：F v dt dm dt v d m r =+或R F F dt v d m +=，其中r r R e dt
dm v F -=，为推进力。

结论：要提高火箭的v ，需设法提高R F ，即提高r v 和dt
dm 。

三：实例：设0F = ，火箭做直线运动且r v =C ，则有m
dm v dv v dt dm dt dv m r r -=⇒-=， 设1)0(f )t (f m m 0==且，则有C f ln v v f
df v dv r r +-=⇒-=，令t=0时，0v v =，可得： 00r 0r v m
m ln v v v f ln v v +=⇒+-=。

如令0v 0=，o m '为空火箭的质量，m '为燃料的质量，则有)m m 1ln(v 3.2m m m ln v v 0
r 00r ''+=''+'=。

结论：（1）v 与r v 成正比（2）v 与0m m ''成正变关系，且增大r v 比增大0
m m ''的效果好。

四：本节重点：了解变质量运动方程，掌握r v 、0
m m ''对提高火箭v 的影响。

§1.8 综合例题（从略）
掌握例1、例2、例4，了解例3。

本章习题：1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24、1.29、1.35、1.37。

第二章 拉格朗日方程
教学目的和基本要求：正确理解各种约束的物理意义，掌握判断力学体系自由度的方法和选择广义坐标的基本原则；能应用虚功原理求解处于静平衡的力学体系的各类问题；掌握运用广义坐标、广义速度和时间来表示拉格朗日函数的方法；能熟练地用理想、完整体系拉格朗日方程建立力学体系的运动微分方程。

教学重点：在理解各种约束、自由度的物理意义的基础上，熟练掌握应用拉格朗日方程求解力学问题的方法。

教学难点：约束、自由度的物理意义及拉格朗日方程在力学问题中的应用。

§2.1 理想约束、达朗贝尔方程
一：牛顿动力学方程的一般解法
1. 一般解法：设有n 个质点，受到k 个约束的质点系，则有3n 个未知的坐标（i i i z ,y ,x ）和k 个未知约束力，为求解这3n 个未知的坐标，解方程的一般步骤如下：
牛顿第二定律−→−3n 个运动微分方程+k 个约束方程−−−−→−n F k 个未知消去3n 个微分方
程
−−−−−−−−−−→−个不独立的坐标个约束方程消去利用k k （3n-k ）个微分方程−→−解出个未知的（3n-k ）独立坐标−−−−−→−个约束方程
利用k 解出全部3n 个未知坐标和k 个未知约束力。

2. 实例：以图1.7的力学问题为例（从略）
3.局限性：当n 、k 的个数较大时，求解方程将十分困难甚至无法完成。

因此当n 较大时如果我们能直接写出（3n+k ）个不含未知约束力和非独立坐标的方程，求解方程的过程将大大简化，。

这种方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意义还超出了力学的范畴而扩展到物理学别的领域。

二：虚位移、约束和虚功
1.实位移和虚位移
实位移：质点按)t (r r =力学规律运动时，在dt 时间内实际所发生的位移，用r d 表示。

以前我们所讨论的位移均为实位移。

虚位移：想象在某一时刻t ，质点所发生的约束所允许的无限小的位移为虚位移，用r
δ
表示。

它不是质点实际运动所产生的位移，因而不需要时间，只要满足约束条件即可。

δ的运算法则：δ被称为变分符号，它作用在坐标和函数上时与微分符号d 完全相同，如：y x )xy (δδδ+=，x x 2)x (2δδ=。

但作用于时间时为零即0t =δ，这一点与d 不同。

2.约束：力学体系在运动时所满足的某些规律，约束在物理上均可用约束方程的形式确切地表达出来。

例：z=0，限制质点在xy 平面上运动；z=0且x 2+y 2=0，限制质点在xy 平面上做圆周运动。

3.实位移和虚位移地关系
体系受稳定约束（约束条件不随时间而变化，约束方程中不含时间t ）时，实位移是众多虚位移中的一个。

体系受不稳定约束（约束方程中含时间t ）时，实位移与虚位移无直接关系。

三：虚功：（想象的）力F 在质点的虚位移r δ上所做的功为虚功，r F W δδ⋅= （1.1）
四：理想约束：
1.定义：所有约束力（内，外约束力）在体系的任意虚位移上所做的虚功之和为零，则
这种约束为理想约束。

可用下式表达该约束的特点：0r F i Ni =⋅∑ δ （1.2）
Ni F 表示第i 个质点所受的内、外约束力之和。

2.常见的理想约束：
（1）质点沿光滑曲面（曲线）运动时所受的约束。

因N F 沿曲面法线方向而r δ沿曲面切线方向即有r F N δ⊥，所以0=⋅=r F W N δδ。

（2）质量可忽略的刚性杆所连接的两质点。

如图2.3所示，21,N N F F 为作用在P 1、P 2在P 1P 2的连线方向上，由牛顿第三定律可得21N N F F -=，r F r F r F W N N N δδδδ⋅=⋅+⋅=12211，2121P P r r r =-= δδδ。

性杆因r 为常数，所以1N F r r r ⊥⇒⊥δδ，最终可得
01=⋅=r F W N δδ
（3）两个刚体以光滑表面相接触。

用21,N N F F 表示两个刚体相互之间的作用力和反作用力，则021=+N N F F 。

由于两个刚
体之间有相对滑动，因此021≠-r r δδ但可以证明21r r δδ-在接触点的公切面内，而21,N N F F 垂
直于公切面，因此0)(211=-⋅=r r F W N δδδ。

（4）两刚体以完全粗糙的表面相接触。

因刚体在这种约束下只能做纯滚动，即021=-v v ，约束条件为021=-r r δδ，因此有
（5）两个质点以柔软不可伸长的绳子相连接。

可用类似于（2）的方法证明。

实际的力学体系可看成由刚体和质点构成，只要相互之间的联结是刚性的，接触面是光滑或绝对粗糙的，那么该体系所受的约束都可看成理想约束。

如果存在摩擦力F f ，可将其
看成主动力，则力学体系所受的约束仍为理想约束。

五：达朗贝尔方程：0r )r m F (i i i i =⋅-∑ δ （1.4）
证明：设体系由n 个质点构成，i F 为主动力，Ni F 为约束力。

由牛顿第二定律：Ni i i i F F r m += i=1，2，…，n
将n 个方程分别乘以i r δ后相加、移项可得0r )r m F F (i i i Ni i =⋅-+∑ δ
0r F r )r m F (i Ni i i i i =⋅+⋅-⇒∑∑ δδ0r )r m F (i i i i =⋅-⇒∑ δ。

最后一步用到了理想约束的
特点0r F i Ni =⋅∑ δ，在该方程中约束力Ni F 不再出现。

六：例：用达朗贝尔方程写出图1.7所示力学体系的运动方程（从略）
七：本节重点：重点掌握虚位移、虚功、理想约束等物理概念，掌握用达朗贝尔方程求解简单力学体系的运动方程的方法。

§2.2 完整约束 广义坐标
达朗贝尔方程中虽然不含Ni F ，但仍有非独立坐标，对于一种完整约束，可在达朗贝尔
方程的基础上直接写出不含Ni F 、非独立坐标的动力学方程。

一：完整约束
1.定义：约束条件只和体系中各质点的坐标i r 有关，即约束方程中只含i r 和t ，不含i i r r ,，。