2019届全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2018-2019学年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．）

1．已知向量(AP =，()

3,1PB =-，则AP 和AB 的夹角等于 ．

2．已知集合()(){}

10A x ax a x =-->，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知复数22cos

sin

33

z i =+ππ，其中i 为虚数单位，则32

z z += ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别是双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的

左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为 ．

5．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ．

6．若关于x 的二次方程()2

2120mx m x m +--+=（0m >）的两个互异的根都小于1，

则实数m 的取值范围是 ．

7．若tan 4x =

，则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x

x x x

+= ． 8．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系O xyz -中运动，其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ． 9．设数列12321,,,

,a a a a 满足：11n n a a +-=（1,2,3,,20n =），1a ，7a ，21a 成等比

数列.若11a =，219a =，则满足条件的不同数列的个数为 ．

10．对于某些正整数n ，分数

22

37

n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ．

二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

11．设数列{}n a 满足：

①11a =；②0n a >；③2

1

11

n n n na a na ++=+，*n ∈N .

求证：（1）数列{}n a 是递增数列； （2）对任意正整数n ，1

1

1n

n k a k =<+

∑. 12．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>），直线l ：30x y a +-=.

若椭圆E 的离心率为

3

2

，原点O 到直线l 的距离为32. （1）求椭圆E 与直线l 的方程；

（2）若椭圆E 上三点P ，()0,A b ，(),0B a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，3d . 求证：1d ，2d ，3d 可以是某三角形三条边的边长.

13．如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为P ，Q ，R ，S ，OA 与PS 交于点1A ，OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ，求证：四边形

1111A B C D 是平行四边形.

14．求满足3

7

3

x x y y -=-的所有素数x 和y .

2017年全国高中数学联赛江苏赛区

初赛参考答案与评分细则

一、填空题

1．

4π 2．(]11,2,332⎡⎫⎪⎢⎣⎭

3

．

122

- 4．5 5．3 6

．3,4⎛⎫

++∞ ⎪ ⎪⎝⎭

7

．15099 10．17

二、解答题

11．证明：（1）因为11n n n a a a ++-=-2

1

11111n n n n na a na na ++++=

++，且0n a >， 所以10n n a a +->，所以1n n a a +>，*

n ∈N ，

所以数列{}n a 是递增数列. （2）因为1111n n n n a a a na +++-=<+111

n n a na n

++=，

所以当2n ≥时，

()()112n n n n n a a a a a ---=-+-()211a a a ++-+

1111112

21

n n <

+++++-- 111n

k k

=<+∑

. 又1111a =<+，

所以对任意正整数n ，1

1

1n

n k a k =<+

∑.

12．解：（1

）由题设条件得222,

2,c a b c a =⎪=⎨⎪

⎪+=⎪⎩从而2,1.a b =⎧⎨=⎩ 故所求的椭圆E ：2

214

x y +=，直线l ：60x y +-=. （2）设()2cos ,sin P θθ

，则1d =

=

6+θϕ，其中

tan 2=

ϕ，

所以

122

d +≤≤.

又22d =

=

，3d == 故23d d

>.

因为232d d

+=

+

=122

d >≥，

13d d +≥

+22

d =>=. 所以1d ，2d ，3d 可以是某个三角形的三条边的边长. 13．证明：连接PR ，QS .

因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆， 所以OA 是SAP ∠的平分线，且AP AS =. 在ASP ∆中，由三线合一，点1A 是线段PS 的中点. 同理点1B 是线段PQ 的中点， 所以11A B SQ ∥.