二次函数一般式图像与性质与abc符号

∆与图象的关系
当∆>0 时图象与x轴有两个交点
∆决定图象 与x轴的交 点情况
当∆ ＝0时图象与x轴只有一个交点 当∆ <0时图象与x轴无交点
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
对于二次函数y=ax2+bx+c中字母的几何意义
a： 确定抛物线的开口方向、形状 c： 确定y轴的交点（0，c）
b
-
确定对称轴的位置
2
b 2a
3 2 1
3
2
4ac b2 4a
4 1 5 32 2 2 4 1
2
2
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
1.函数 y1x2 x3的图象开口向 下 ， 2
顶点坐标为 (1，－2.5)，对称轴为直线x=1 ， 当 x<1 时y随x的增大而增大；当x>1时y随x的 增大而减少,当x= 1 时y有最 大值 －2.5 .
⑩当__1_﹤x﹤5___时 y﹤0 ； 当x﹥_5__或x二﹤次函1数_一_般_式时图像与y性质﹥与a0bc
符号
二.探究系数与图象间的关系
a与图象的关系
a决定 图象的 形状
开口方向 开口大小
当a > 0 时 开口向上
当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
➢顶点坐标是为（ b
，4ac
Байду номын сангаас
b
2
）
2a
4a
➢当a>0时，抛物线的开口向上，顶点
是抛物线上的最低点。
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶点 是抛物线上的最高点。
请说明其增减性 二次函数一般式图像与性质与abc 符号
例题学习:
例4
求抛物线
y1x23x5
2
2
的对称轴和顶点坐标。
解：
a1,b3,c5,
2
成的三角形是__等__腰___三角形.
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
y = x2 - 6x + 5
⑧ 图象与x轴的交点 :（_1_，__0_）__（_5，0） 与y轴交点:（__0_，__5_）__
⑨ ⊿=16＞0,抛物线与x轴有两____个交点, 且交点的横坐标是对应二次方程x_2_-_6_x_+_5_=_0 的两根
对于二次函数y=ax²+bx+c （ a≠0 ）的图
象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
通过变形能否将 y=ax²+bx+c转化为 y = a(x+m)2 +k的形式 ？
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
y=ax²+bx+c
=a（x2+
b a
x）+c
=a〔x2+ b
x+
b
2
–
b
2
b影响 对称轴 的位置
b与图象的关系 当b=0时对称轴为y轴 当ab>0时对称轴在y轴左侧 当ab<0时对称轴在y轴右侧
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
c与图象的关系
C 确定图 象与y轴 的交点
当c＝0时图象过原点 当 c > 0时图象与y轴正半轴相交 当c < 0时图象与y轴负半轴相交
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
2、抛物线y=2（x-2）2 - 3是由抛物线y=2(x-2)2
向下___平移_3__单位而得到的， 也可由抛物线y=2x2 先向__右_平移_2__单位，再而 得向__下__平移___3_单位得到的。
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k
2a
b2-4ac: 确定与x轴的交点情况
当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点
当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点
当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
〕+c
a 2a 2a
= a(x+ b )2 + 4ac b 2
2a
4a
y=ax²+bx+c
ya(xb)24acb2 2a 4a
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
➢ 二次函数 yya=(xax2b²a+)2bx4a+4ca cb2( a≠0)
的图象是一条抛物线，
➢对称轴是直线x=
b 2a
在对称轴的__右__侧,y随x的__增__大__而__增__大 ⑤最值: 当x = _3___时, y最小值 =_-_4_____
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
y = x2 - 6x + 5
⑥ 可由抛物线y = x2向_右___平移_3_个单位, 再向_下____平移_4__个单位得到;
⑦抛物线与x轴的两个交点与顶点构
26.1 二次函数的图象与性质（5）
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
知识回顾:
二次函数y=ax² y = a(x-m)2
y = a(x-m)2 +k
时，图象将发生怎样的变化？
1、顶点坐标？
（0，0）
（m，0）
（ m，k ）
2、对称轴？
（ y轴或直线x=0） （直线x= m ）
（直线x= m ）
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
做一做:
2.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：
(1 )y 5 x 2 5 x 3 (2 )y 2 x 2 22 x 3 4 24
(3) y 2(x 1)(x 2)
(4) y 2x(1 x) 3 2
3. 说出上面函数的图象可由怎样的抛物线
y=ax²（a≠0），经过怎样的平移后得到？.
4、P16
练习1 二次函数一般式图像与性质与abc
符号
请研究二次函数y=x2 -6x+5的 图象和性质，并尽可能多地说 出结论。
我们的结论:
① 图象的开口方向：向__上___ ② 对称轴：直线x =__3____ ③ 顶点坐标：（__3_，__-_4_）___ ④增减性: 在对称轴的_左__侧, y随x的__增__大__而__减_,小
3、平移问题？
一般地，函数y=ax²的图象先向右（当m＞0）或向左 （当m＜0） 平移|m|个单位可得y = a(x-m)2的图象；若再向上（当k>0 ）或向 下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x-m)2 +k的图象。
二次函数一般式图像与性质与abc 符号
复习：
1、抛物线y= - 3（x-2）2 +4的开口_向__下_； 对称轴 是 直线x=；2 顶点坐标___(2_，_ 4；）当x ___≥_2时，y 随x的增大而减小，当x __≤_2_ 时， y随x的增大而 增大；当x为___2_时,有最大值是__4__.