等比数列——教学设计

《等比数列》教学设计

一、教材分析：

1、内容简析：

本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研

究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数

列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在

高考中占有重要地位。

2、教学目标确定：

从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”

的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学

习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定

如下教学目标

理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及其推导；能运用等比数列通项公式解决相

关问题；掌握等比中项的定义并能进行相关运算。

3、教学重、难点

【重点】等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用

【难点】等比数列“等比”特征的理解、把握和应用

4.教学手段：多媒体辅助教学

5.教学方法：启发式和讨论式相结合,类比教学.

二、教学过程设计

1、温故知新

（1）等差数列定义：)(1为常数d d a a n n =--

（2）等差数列的通项公式

那么，还有像等差数列这样前项与后项的关系特殊的数列吗？

师生互动：多媒体展示问题，学生回答，教师补充

（设计意图：复习就知识，为新知识的学习做准备。）

2、 引入概念

举出几个关于等比数列的实际例子，让学生归纳总结出其特点，从而引入等比数列的定义

情境一：折纸

如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对折，再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相信

这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？

情境二：《庄子·天下篇》中写到：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。现代语言“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取

不完。”我们把“一尺之锤”看做单位“1”，那么可以得到： 121 41 8

1… 情境三： 研究下面三个数列并思考其特点

①2, 4, 8, 16, …从第2项起，每一项与前一项的比都等于

②1,21,41,8

1…；从第2项起，每一项与前一项的比都等于 ③5,25,125,625…从第2项起，每一项与前一项的比都等于

④ -2, 2, -2, 2, ….从第2项起，每一项与前一项的比都等于

师：观察以上几个数列的前4想，从第2项起，每一项与前一项的比有什么规律？

生：从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数．（师板书）

师：回答正确，好，上述三个数列都具有很好的特点，它和等差数列一样，是一类重要

的数列，谁能为这样的数列起个名字吗？

生：叫“等比数列”。

师：可以，请完整地叙述一下。

生：如果一个数列（ ）从第2项起（ ），每一项（ ）与它前一项

（ ）的比等于同一个常数（ ），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数

（ ）叫做公比．

定义：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么

这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q ≠0）

师生互动：学生完成引例，教师引导学生依照等差数列的定义，尝试总结出等比数列的定义

（设计意图：为了增加学生对等比数列定义的理解和记忆，同时培养学生的总结能力和习惯）

师：等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻划？ 生：1()n n n

a q a +=常数（=1,2,3，） 得出等比数列数学语言：)N*n 0q q (1∈；≠为常数，且q a a n

n =+ 或)N*n 2n 0q q (1

∈；≠为常数，且≥=-q a a n n

师生互动：教师引导，学生解答，深刻等比数列的概念、性质

（设计意图：为了让学生深刻记忆等比数列的概念、性质，并应用于解题）

3、 深化概念

（1）讨论：说出数列①－－④ 的公比q 的值

①2, 4, 8, 16, … ②1,21,41,8

1…； ③5,25,125,625… ④ -2, 2, -2, 2, ….

（设计意图：为了加深学生对等比数列定义的理解，运用情景三的例子）

（2）引入例题深化定义

【例1】判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项1a 和公比q, 如

果不是，说明理由。

(1) 1,3,9,27，…； （2）21,41,81

…； (3)5,5,5,5,…；

(4)-1, 1, -1, 1, …. (5) 1,0,1,0…； (6)0,0,0,0…；

(7) ,,,321a a a ,n a ； (8) ,,,,3

210x x x x ； ( 9)1,2,6,18,…； 4、 再次引入概念

教师引导学生依照等差中项，尝试总结出等比中项

（设计意图：为了增加学生对等差中项的理解和记忆，同时培养学生的总结能力和习惯）

等比中项

如果三个数b G a ,,组成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项。

如果G 是a 和b 的等比中项，那么G a =，即=2

G 注意：若a ，b 异号则无等比中项, 若a ，b 同号则有两个等比中项.

5、 深化等比中项的定义

【例2】

（1）求45与80的等比中项

（2）已知b 是a 和c 的等比中项，abc=27 求 b

（设计意图：为了加深学生对等差中项定义的理解，配备了简单的例题）

６、等比数列的通项公式的推导

设等比数列{}n a ，的公比为q

方法1：（归纳法）

,11a a =12a a = ，123a q a a == ，134a q a a == ，……11a q a a n n ==-

方法2：（累乘法） 根据等比数列的定义，可以得到=12a a ，=23a a ，=3

4a a ，…， =-1

n n a a .以上共有 个等式，把以上 个等式左右两边分别相乘得=•••••-1342312n n a a a a a a a a ，即=1

a a n ，即得到等比数列的通项公式。 等比数列的通项公式

=n a

讨论：下面等比数列的通项公式是什么？

①2, 4, 8, 16, … ②1、21、41、8

1…. ③5、25、125、625… ④ -2, 2, -2, 2, ….

（设计意图：为了加深学生对等比数列通项公式的理解，再次用情景三的例子）