二次函数求最值参数分类讨论的方法

二次函数求最值参数分类讨论的方法
分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．
一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。

然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论
题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值
例
1 求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

例2 已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2
-
上最大值为1,求实数a 的值
变式练习：已知3a ≤，若函数()2
21f x x ax =-+在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，求()a g 的表达式。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值
例3 求函数2
()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

变式练习：已知函数()2
22f x x x =++，若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

题型三：恒成立问题
例5 已知函数2
()3f x x =-+，若()26f x kx ≤-+在区间[]2,1-上恒成立，求实数k 的取值范围。

变式练习：1.已知函数()12-+=ax ax x f ，若()0<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

2.已知k 为非零实数，求二次函数,122
++=kx kx y (,2]x ∈-∞的最小值。

含参数的二次函数（练习）
1、已知函数()12-+=ax ax x f ，若()0<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

2、当20≤≤x 时，函数()()3142-++=x a ax x f 在2=x 时，取得最大值，求实数a 的取值范围。

3、已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。

值范围。

5、已知()2223t tx x x f --=，当31≤≤-x 时，有()0≤x f 恒成立，求实数t 的取值范围。

6、已知()t x x x f ++-=232，当11≤≤-x 时，有()0≥x f 恒成立，求实数t 的取值范围。

取值范围。

8、已知()b bx x x f +-=23，当12≤≤-x 时，有()0≥x f 恒成立，求实数b 的取值范围。