九上硬币滚动中的数学
初中数学论文：浅析中考几何图形滚动问题的求解.doc
线长为 （结果保留准确值）.浅析中考几何图形滚动问题的求解摘要：图形的旋转是新课标的重要内容，当几何图形旋转中心沿着一定轨迹进行运 动就产生了滚动问题，它既有利于考查学生的动手操作能力和空间思维能力，又培养了 学生的创新意识和综合运用知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点。
几何图形可 以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一 个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还 可以是扇形。
本文着重探讨近几年中考数学题目中几何图形上点在无滑动翻滚过程中经 过路线长的解法规律，及滚动过程图形位置变化规律。
关健词：无滑动翻滚路线长规律浅析中考几何图形滚动问题的求解纵观近几年中考数学试题，我们发现关于几何图形滚动的问题还真不少，几何图形 可以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另 一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆， 还可以是扇形。
如何求解中考几何图形滚动的这些问题？下面通过举例加以分析解决。
一、滚动过程中图形上点经过的路线长（一）沿着一条直线无滑动翻滚 口 』 c例1. （1） （2008四川达州市）.如图所 ，// \ /、\ / \示，边长为2的等边三角形木块，沿水平 [/ '、、/ '、、AC B A 线J 滚动，则上点从开始至结束所走过的路（2）（2009 黄冈市）矩形 ABC 。
的边 AB=8, AD=6,现/ V 将矩形A8CD 放在直线/上且沿着/向右作无滑动地 D rAT\ fT " I翻滚，半它翻滚至类似开始的位置时（如 4__一"匚一"卜/（3）如图，将边长为2cm 的正六边形ABCDEF60 180 ttx2图所示），则顶点人所经过的路线长是 的6条边沿直线m 向右滚动（不滑动），当正六边形滚动一•周时，顶点A 所经过的路线 长是 o［分析］这是同一系列题目，如右图可知：三角形每次翻滚的角度为120度，矩形每 次翻滚的角度为90度，正六边形每次翻滚60度，三个几何图形每次都是翻滚它的一个 外角度数；三角形滚动一周，A 点走了 2个弧长，圆心角都是120度，但半径分别是AC 和AB 。
关于滚圆问题的若干思考
１３滚 动 和纯 滚 动 ．
圆沿着另外一个 圆的内表面滚动， 比较典型 的例子是 １９ 年 山西省的一道竞赛试题 ： ９０ 例 ２ 如 图２ 圆 的半径为 ｒ 圆（ 的半径 ， ， 二 ）
为４ ， 从图中所示位置 出发绕 圆（作无滑动 ｒ圆 ） 滚动． 要使 圆 的圆心返 回到原来位 圆 滚 置，
（） ； Ａ ３
（） ； Ｂ４
（） ； Ｃ５
（） ． Ｄ ６
点评： 这两道题 目在用词上各有特点： ｉ 例 用
不能算作是尘埃落定， 其原 因主要有两个方面： （） １一些概念在表述的时候仍显得相 当模糊；
（） 圆问题的本质还没被大家所知晓． ２滚 鉴于这种状况 ， 笔者结合物理学知识谈谈 自 己对滚 圆问题的一些认识， 供读者参考． Ｉ 有关概念的界定 ．
２ １ 年第 １ 期 ０１ ０
数 学数 学
１ ｌ ｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５ ０ 浙江省慈溪市育才中学初 中部 童浩军 １０ ３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动， 它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （ ）
问题在初中数学 中已被讨论了二十余年 （ 以下简 称“ 圆问题”． 于这 场讨论笔者认为 至今 尚 滚 ）关
现在来具体讨论滚 圆（ 以下没特别说 明， 滚
动均指纯滚动） 自转转数问题． 的 ２ 沿折线型表面滚动 ． ２１沿 直 线型 表 面滚 动 ． 如图 ３ 圆沿直线 ｆ ， 由ｏ《 位置滚动到 ｏ（ 二 ） ＝ ） 位置 （ 半径 ＯＡ相应地移到 《 的位置） 由于滚 二 ） ， 动时没有打滑， 所以（０ ：Ａ 二 Ｂ＝ Ｊ 『 ） Ｅ 的长， ｝ Ｃ 显然
综合与实践硬币滚动中的数学
圆心。
变式 问题2：如图3，线段AB=4πr ，则这枚半径为r的硬
币从点A滚动到点B需滚动几圈？ 2圈
通过问题1和问题2, 当硬币在直线段上滚动时，
①圆心经过的路径的长度与圆滚动过的长度有什么关系？
②滚动的圈数、滚动的路径与圆的周长三者之间有什么规律?
圆经过的路径长 圆心经过的路径长
硬币滚动的圈数=
圆周长
圆周长
问题3：若将图3的线段AB从中点C处折成一个直角形状，
如图4（1）.这时两折线段的总长仍为4πr，这枚半径为r的
硬币从点A滚动到点B是否还是滚动2圈？
折线
4r
120 度
4r 2r 120 (4r 2r 120) 2r
360
360
③ α度
折线
4r
180-α
度
44rr22rr1(80 ) [4r
360
2r
180 ] 2r 360
④ α度
折线
a
180-α
度
a 2r21r8(0
小李说对了吗？
r
先猜一猜，再动手做一做。动手实验时，请
N
在硬币⊙M上作好记号.
实验的结果是，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，要
图1
滚动二圈.
为什么⊙M沿着⊙N的边缘滚动，会滚动二圈，而不是一
圈呢？这里面隐含着怎样的数学知识呢？这节课我们一起来
学习“硬币滚动中的数学”.
要研究⊙M沿着⊙N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简 单的情形，即⊙O在线段AB上滚动的情形图2。
专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)
《中考压轴题》专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题一、选择题1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为A ．22-B ．32C ．31-D ．12.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，453）D ．（163，43）3.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为A．30°B．60°C．90°D．150°6.如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．122π+B．12π+C．1π+D．3-7.如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3二、填空题1.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于.2.如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．6.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）7.如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．8.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是．=上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。
“滚动的硬币”实验方案
“滚动的硬币”实验方案作者：王磊来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期【实验课题】滚动的硬币.【实验背景】通过本次实验活动，帮助大家系统地理解《圆》这章的知识，感受生活问题数学化的过程.学会用系统思维思考动态几何的特点.经历对硬币滚动的轨迹和硬币移动的距离规律的研究，发展动手操作能力，提高数学思维水平与解决问题的能力.【实验目的】探究硬币滚动过程中的规律.【实验难点】探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同轨道上运动的轨迹.【实验准备】一元硬币（半径为r，以下相同）若干，实验活动单，常用数学作图工具.【实验过程】活动一：熟悉硬币的滚动规律1. 将一枚硬币沿着直线l滚动一周，观察它滚动时圆心的运动的轨迹和移动的距离.思考：（1）硬币滚动时圆心的运动的轨迹是什么？硬币移动了多长路程？如果将这条直线变为线段，那么这条线段至少需要多长？_______________________________（2）研究硬币移动的路程时，有怎样的观测技巧？_______________________________【活动说明】从最简单的规律开始研究，为之后的实验活动打下基础.要弄清硬币滚动时圆心运动的轨迹和自身的移动路程之间的关系.活动二：探究简单的硬币滚动规律1. 围绕一条折线滚动如图1，一枚硬币（设为☉O）在折线AB-BC上滚动，观察它滚动时圆心运动的轨迹和圆心经过的路径的长度.【思考】（1）圆与AB、BC是什么关系？_______________________________（2）☉O的圆心移动的路程等于线段AB与线段BC的长度之和吗？_______________________________（3）若∠O1BO2=n°，则该角度会对硬币圆心移动的路程有什么影响？_______________________________【活动说明】把直线改为折线，逐步增加探究的深度，通过观察、思考、探究、交流和总结的过程，锻炼自主学习和语言表达能力，为下一环节的学习做铺垫.2. 围绕一个三角形滚动如图2，若硬币围绕一个三角形滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________3. 围绕一个多边形滚动如图3，若硬币围绕一个多边形（设周长为C）滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________【活动说明】由折线改为多边形，从而使情况由简单到复杂，由特殊到一般，遵循了人的认知规律.4. 将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它滚动时圆心运动的轨迹和路径长度，你有何发现？_______________________________【活动说明】轨道改变为圆形时，也可以看成是当多边形的边数n趋近于无穷大时的图形，如下图5所示.活动三：拓展延伸，开阔视野问题：☉O围绕的轨道改为下列情形，你能发现其中的数学奥秘吗？（1）若半径为r的☉O沿着半径为2r的☉A滚动一周（如图6所示），这时圆心运动的路径长度是多少？_______________________________（2）若半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆连贯而成图形的边缘滚动一周，这时圆心沿着怎样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________（3）若半径为r的☉O沿着由6 个半径均为r的圆拼成图形的边缘滚动一周，这时，圆心沿着什么样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________【活动说明】“活动三”主要探索硬币在不同轨道中滚动的情况，是对“活动一”和“活动二”的总结和提高.运用前面的探究结论，结合等边三角形的知识，“活动三”的问题可迎刃而解.通过三个难度逐步加大的实验，进一步锻炼了同学们的动手能力和思维能力，加强了小组成员间的合作意识.（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）。
硬币滚动中的数学
10 πr 8 πr 18 πr + = = 6 π． 3 3 3 硬币运动的路程均为几段弧的长度之
和． 解决问题的关键在于确定弧所在圆的圆心角的度数 及哪几段弧 ． 点评 学生通过做实验， 画图， 观察发现硬币滚动
的过程中始终要与轨道相切， 所以当硬币要由一个圆形 到另一个圆形时， 会与这两个圆形轨道同时外切 ． 因此 就能自己发现这三个圆形圆心的连线是等边三角形， 而 得到 ∠BCD = 60 ° ， 所以 ∠ OAB = 120 ° ， 即硬币在两侧的 弧所对的圆心角是 120 ° ， 在中间所经过弧所对的圆心角 都是 60 °． （ 3 ） 由 6 个半径均为 r 的圆形相拼而成的图形
（ 180 ° － ∠ BCD） πR + CD 180 ° + （ 180 ° － ∠CDE） πR +… 180 ° α1 π R α2 π R α3 π R + BC + + CD + +… 180 ° 180 ° 180 ° 360 ° πR 180 °
)
生4 ： 多了 DE， 还要加DE 的长度 ． 生5 ： 运动距离为两部分的和， 即线段的长度加弧长DE． 老师请画图的学生说明原因 ． 生6 ： ⊙ O 在线段 AC 和 BC 上滚动时， 都和直线 AC OA 始终和直线垂直， 和 BC 相切， 在运动过程中， 所以当 圆心 O 从 D 到 E 时， 多走了一段 DE， 圆心 O 在线段 AC 上移动的距离等于 AC 的长度， 在线段 BC 运动的距离等 点评
硬币运动的轨迹就是一条与运动轨道平行的线段 ． 滚动 的距离实际是圆心 O 移动的距离 、 线段的长度 ． （ 2 ） 由两条直线段组成， 其夹角为 α． 师： 当圆沿着直线 AC 和 BC 滚动时， 圆与直线是什 么位置关系？ 生： 仍然相切， 此时过切点的半径与切线垂直 ． 师： （ 1 ） 这时⊙O 滚动的距离还是等于折线段 AB 的 长度吗？ （ 2 ） 角度对滚动的距离有什么影响？ 老师示意小组合作， 动手实验 ．
专题03 与圆有关的运动路径及面积问题-2022-2023学年九年级数学上册教学课件(人教版)
∴S 阴影=S 大半圆－S 小半圆=12π·OB2－12π·OC2=12π·AC2=72π
针对训练
求不规则图形面积问题
知识点三
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90º,AB=5cm,AC=2cm,将△ABC绕顶点C按顺时针
方向旋转45º至△A1B1C的位置,求线段AB扫过区域(图中阴影部分)的面积.
(割补法) F
E
D
C
A
B
针对训练
求不规则图形面积问题
知识点三
1.如图是两个半圆,点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦,AB∥CD,且与小半
圆相切,AB=24.求图中阴影部分的面积．
(平移法)
A
H
B
C
O
D
解：将小圆向右平移,使两圆变成同心圆,连接 OB.过 O 作 OC⊥AB 于 C 点,
则 AC=BC=12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，
,⊙O的半径为1cm,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做
无滑动滚动,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了_4__圈,点O经过的路
径为_8_π__.
A OO
B
C
针对训练
折线上的滚动
知识点二
1.如图,一个正方形的边长和与它的一边相切的圆的周长相等,如果⊙P从
点A的处出发,沿正方形的边无滑动地滚动,⊙P至少转_5__周后再次回到点A
A
CB
l
针对训练
求动态中弧长
知识点一
2.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑
动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为_6_π___c_m__．
初中数学《硬币滚动中的数学》教案
《硬币滚动中的数学》教案一、学情分析学生在本节课之前已经学习了一元一次方程、一元一次不等式（组）、一次函数等一次模型，具有一定的知识储备。
他们善于发现生活中的数学问题，也具备一定的数据的收集、处理与分析能力，并能提出并解决较为简单的问题。
但这些知识真正在生活中实践操作的机会却少之又少，而且生活中的数学问题远远不像在理想课堂中那么简单。
针对本节课的特殊性，课前教师与学生针对即将面临的困难展开了讨论，通过假设、模拟，在学生实践之前从理论上对学生进行了培训，比如：如何收集、处理有效数据，如何分清问题的主次、如何排除人为因素，小组内的四名同学怎样合理分工等等。
二、教学目标1.知识与技能：探索硬币在长度相同的不同轨道上滚动的轨迹，滚动的距离和硬币滚动的圈数2.过程与方法：：经历实践、探索活动的过程，培养学生解决问题的能力，提升学生的数学思维水平。
3.情感态度与价值观：发展学生主动探索，追求科学的精神，培养学生的合作意识。
教学重点：硬币在不同轨道上运动时圆心移动的路径长的算法教学难点：硬币滚动时移动路径的确定三、教学方法合作探究法四、教学过程【感知1】将一枚硬币沿直线滚动一圈，它所滚过的距离是多长？总结提升:一个圆滚动前进，圆心所经过的路径长度等于这个圆滚动过的路径长度.在此过程中学生观察滚动现象设计意图：通过创设情景，，激发学生的求知欲。
【感知1】将一枚硬币沿直线滚动一圈，它所滚过的距离是多长？总结提升:一个圆滚动前进，圆心所经过的路径长度等于这个圆滚动过的路径长度.学生观察滚动现象，思考滚动圈数与轨道长度的关系设计意图：深入理解滚动圈数的决定因素。
教学设计课题: 《硬币滚动中的数学》授课人：曹香云学校：长春汽车经济技术开发区第四中学一、教学目标：1.知识目标：①硬币在不同轨道上滚动时圆心移动的路径长算法.②硬币在不同轨道上滚动的圈数.2.能力目标：①经历实践、探索活动的过程，提升学生的数学思维水平.②提升学生解决问题的能力.3.情感目标：①发展学生主动探索，追求科学的精神.②引导学生建立合作共进的人际环境. 二、重点与难点：重点：硬币在不同轨道上滚动时圆心移动的路径长算法. 难点：硬币滚动时移动的路径确定.三、教学方法：引出问题——系列探究活动——总结提升四、教学过程设计：教师活动学生活动设计意图【感知1】将一枚硬币沿直线滚动一圈，它所滚过的距离是多长？总结提升:一个圆滚动前进，圆心所经过的路径长度等于这个圆滚动过的路径长度. 观察滚动现象创设情境，激发求知欲。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：圆的有关性质(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习中考真题演练：圆的有关性质（附答案）1．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8D．﹣72．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D（mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000D．4×1023．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2B．C．3D．4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm5．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（）A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定6．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°7．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．108°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°10．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是．11．如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积为．12．AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM ＝2，则弦AB的长为．13．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．14．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）15．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm．16．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝度．17．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．19．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．20．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：△OAC≌△OBD．21．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．22．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．23．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．24．如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．（1）求证：N为BE的中点．（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．25．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．26．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27．如图，在▱ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A、E、C、F四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．参考答案1．解：连接AC，由题意得，BC＝OB+OC＝9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC＝9，在Rt△AOC中，AO＝＝2，∵a＜0，∴a＝﹣2，故选：A．2．解：根据图形可知，两圆相切，过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200 PO＝R﹣50根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2解得：R＝200∴D＝2R＝400＝4×102．故选：D．3．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．4．解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．5．解：如图；以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE；∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB；∵∠DAC＝∠CBE，∴∠DAC＝∠CEB；∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；∴AD＝DE；∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，∴AC+BC＞BD+AD；故选：C．6．解：连接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦AC的中点，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，∴∠OED＜20°+x，∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，∵∠CED＜∠ABC＝40°，∴20°＜∠CED＜40°故选：C．7．解：∵∠ACB＝54°，∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，故选：C．8．解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．9．解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选：B．10．解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A'重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A'对应的实数是π．故答案为：π．11．解：S阴＝πab．故答案为：πab．12．解：∵OM⊥AB，∴AM＝BM，若∠OAM＝30°，则tan∠OAM＝，∴AM＝6，∴AB＝2AM＝12；若∠AOM＝30°，则tan∠AOM＝，∴AM＝2，∴AB＝2AM＝4．故答案为：12或4．13．解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．14．解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，∴AB＝2AC＝20≈69（步）；而的长＝≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了15步．故答案为15．15．解：如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD＝AB，由图知，AB＝16﹣4＝12cm，CD＝2cm，∴BD＝6，设圆的半径为r，则OD＝r﹣2，OB＝r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2＝AD2+OD2，∴r2＝36+（r﹣2）2，∴r＝10cm，故答案为10．16．解：连接OA、OB、OC、OD，∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．17．解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．18．解：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝∠ADE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．19．解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为：20．20．证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵在△OAC和△OBD中：，∴△OAC≌△OBD（SAS）．21．（1）证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE，∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，在△BED和△CEF中，，∴△BED≌△CEF（ASA），∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，∴△AEC∽△CED，∴＝，设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴42＝x（10﹣x），解得：x＝2或x＝8（舍去）在Rt△CED中，CD＝＝＝2．22．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小桥所在圆的半径为5m．23．证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∵AO＝BO，∴AD＝BE．24．（1）证明：∵AD⊥PC，∴∠EMC＝90°，∵点P为的中点，∴，∴∠ADP＝∠BCP，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，∵，∴∠BDP＝∠ADP，∴∠DEN＝∠DBN，∴DE＝DB，∴EN＝BN，∴N为BE的中点；（2）解：连接OA，OB，AB，AC，∵的度数为90°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝8，∴AB＝8，由（1）同理得：AM＝EM，∵EN＝BN，∴MN是△AEB的中位线，∴MN＝AB＝4．25．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．26．解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′•OA＝42，而r＝4，OA＝8，∴OA′＝2，∵OB′•OB＝42，∴OB′＝4，即点B和B′重合，∵∠BOA＝60°，OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，∴A′B′＝4sin60°＝2．27．证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．∴∠AEC+∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四点共圆；（2）由（1）可知，∠AEC＝90°，则AC是直径，设AC、BD相交于点O；∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心，OB＝OD，∴OM＝ON，∴OB﹣OM＝OD﹣ON，∴BM＝DN．。
硬币的滚动问题
C
a 180
B
2 r 360
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图， 连接AB，这时这枚半径为r旳硬币沿
⊿ABC旳外侧滚动一周需转 4 圈；
rO
O1
120°
A
2 r 60C°
2 r
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形旳
外侧滚动一周需转 5 圈.
rO
O1
A
2 r
C O2
2 r
B O3
拓展延伸
问题：如图，将总长为 4 r旳线段AB在中点C处折成60°，
这时这枚半径为r旳硬币从点A到点B需转 圈；
O
r
O1120°
A
2 r 60C°
2 r
B
拓展延伸
思索：若AB长为a，点C为AB上任一点，如图所示，
这时这枚半径为r旳硬币从点A到点B需转 圈；
O r
O1
A
圆周长
硬币转动旳圈数= 2 2r 2 2 r
多边形的周长为2 r
O
O
O
r
r
r
O
O
O
r
r …… r
r
边数n趋向于无穷大时
学以致用
将一枚半径为r旳硬币沿着另一枚半 径为2r旳硬币旳边沿滚动一周，这时滚动
旳硬币滚动了 3 圈
Or
2r O1
2r Or O1
学以致用
将4枚半径为1cm旳硬币放在桌上，固定其中三枚，
2 r
B
O2
2 r
2 r
D
2 r C
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三
2023年江苏省九年级中考数学模拟试卷(五)含答案
江苏省九年级中考数学模拟试卷（五）（考试时间：120分钟总分：130分）一、选择题（本题共10小题；第1～8题每小题3分，第9～10题每小题4分，共32分）下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的．1．下列计算正确的是( )A．2－2＝－4 B．2－2＝4 C．2－2＝14D．2－2＝－142．把多项式x2－4x＋4分解因式的结果是（）A．(x＋2)2 B．(x－2)2 C．x（x－4）＋4 D．(x＋2)（x－2）3．观察统计图（见图1），下列结论正确的是（）A．甲校女生比乙校女生少B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生多D．甲、乙两校女生人数无法比较4．函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝kx（k≠0）在同一坐标系中的图像可能是( )5．某城市计划经过两年的时间，将城市绿地面积从现在的144万m2提高到225万m2，则每年平均增长( )A．15% B．20% C．25% D．30%6．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是( )7．100名学生进行20s跳绳测试，测试成绩统计如下表：则这次测试成绩的中位数m满足( )A．40<m≤50 B．50<m≤60 C．60<m≤70 D．m>708．不等式组213351xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是( )9．如图2所示，△ABC ≌△ADE 且∠ABC ＝∠ADE ，∠ACB ＝∠AED ，BC 、DE 交于点O ．则下列四个结论中，①∠1＝∠2；②BC ＝DE ；③△ABD ∽△ACE ；④A 、O 、C 、E 四点在同一个圆上，一定成立的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图3所示，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D(5，4)，AD ＝2．若动点E 、F 同时从点O 出发，E 点沿折线OA →AD →DC 运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点时停止，它们运动的速度都是1个单位长度/s ．设E运动x s 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图像大致为 ( )二、填空题（本题共8小题；每小题3分，共24分）请把最后结果填在题中横线上．11．用四舍五入法，精确到0.1，对5.649取近似值的结果是_______．12．当x ＝－2时，代数式2531x x --的值是_______．13．如图4所示，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，且∠A ＋∠B ＝120°，则∠ANM ＝_______．14．如图5所示，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点(A 与原点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A'重合，则点A'对应的实数是_______．15．如图6所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是_______．16．直线y ＝ax （a>0）与双曲线y ＝3x交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则4x 1y 2－3x 2y 1＝_______． 17．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 且交CD 于E ，E 为CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，EG ∥AB交BC 于G ，当AD ＝2，BC ＝12时，四边形BGEF 的周长为_______．18．对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，有下列说法：①它的图像与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m ＝1；③如果将它的图像向左平移3个单位后过原点，则m ＝－1；④如果当x ＝4时的函数值与当x ＝时的函数值相等，则当x ＝时的函数值为－3． 其中正确的说法是_______．（把你认为正确说法的序号都填上）三、解答题（本题共11小题；共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题5分）计算：()03tan603π-︒--． 20．（本小题5分）解不等式组()213215x x +⎧<⎪⎨⎪-≤⎩，并把解集在数轴上表示出来．21．（本小题5分）已知a ＝2－1，b ＝2＋1，求代数式a 3b ＋ab 3的值．22．（本小题6分）在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？23．（本小题6分）如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8．用尺规法作出BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD 的长．24．（本小题8分）如图所示，曲线C 是函数y ＝6x在第一象限内的图像，抛物线是函数y ＝－x 2－2x ＋4的图像．点P n (x ，y)（n ＝1，2，…）在曲线C 上，且x 、y 都是整数．(1)求出所有的点P n (x ，y)．(2)在P n 中任取两点作直线，求所有不同直线的条数．(3)从(2)的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率． （24题）（25题）25．（本小题6分）如图所示，一架飞机由A 向B 沿水平直线方向飞行，在航线AB 的正下方有两个山头C 、D ．飞机在A 处时，测得山头C 、D 在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6 km 到B 处时，往后测得山头C 的俯角为30°，而山头D 恰好在飞机的正下方．求山头C 、D 之间的距离．26．（本小题8分）如图所示，一次函数y ＝kx ＋b 的图像与x 、y轴分别交于点A(2，0)、B(0，4)．(1)求该函数的解析式．(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．27．（本小题8分）如图所示，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点D作DF_l AC，垂足为点F．(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．(2)过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求FH的长．（结果保留根号）28．（本小题9分）某市政府为落实保障性住房政策，已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到202X年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．(1)求到202X年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）．(2)设(1)中方程的两根分别为x1、x2，且mx21－4m2x1x2＋mx22的值为12，求m的值．29．（本小题10分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB＝5，sinB＝45．(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式．(2)记直线AB的解析式为y1＝mx＋n，(1)中抛物线的解析式为y2＝ax2＋bx＋c，求当y1<y2时，自变量x的取值范围．(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．C 二、填空题11．5.6 12．5 13．60°14．π15．15416．－3 17．28 18．①④三、解答题19．－120．－32≤x<1解集在数轴上的表示如答图所示：21．622．甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天．23．22124．(1)P1(1，6)、P2(2，3)、P3(3，2)、P4(6，1)．(2)6条．(3)1 325．山头C、D21．26．(1)．y＝－2x＋4．(2)P的坐标为(0，1) 27．(1)相切(2)FH33 28．(1)10.5．(2)m＝－6或m＝129．(1)y＝－23x2＋23x＋4(2)当y1 <y2时，－2<x<5.(3)34312教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。
硬币滚动中的数学
硬币滚动中的数学
硬币滚动是一种简单的游戏，它可以让人们在室内娱乐。
它要求玩家将一枚硬币滚动到一个封闭的目的地，通常是桌子的另一边。
游戏的目的是让硬币朝着一个指定的方向滚动，尽可能收集50分以上的得分。
尽管这看起来很简单，但是游戏的数学原理却是相当复杂的。
硬币有不同的形状和重量，根据不同的参数会产生不同的滚动行为。
角度，表面粗糙度和重力都会影响硬币的滚动方式，而这些参数又会随着时间而改变，所以不可能静态预测结果。
此外，硬币滚动还可以利用动力学原理。
如果硬币滚动的速度和力量足够强烈，那么它就可以穿过凸起的空间和完美地移动到目的地，而这正是硬币滚动的挑战所在。
此外，根据桌面的形状，这两个参数可能会变化，因此玩家必须根据实际情况做出改变。
总而言之，硬币滚动是一个相当有趣的游戏，在数学上仍然有很多未知的空间，因此作为一个解谜的游戏，硬币滚动仍然具有很大的吸引力。
苏教版(SJ)2022-2023学年九年级数学上册期中期末重难点突破专题06 圆【含答案】
苏教版(SJ)2022-2023学年九年级数学上册期中期末重难点突破专题06 圆【热考题型】【重难点突破】考查题型一 圆的基本概念1．下列说法中，正确的是（ ）A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．过圆心的线段是直径D ．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆2．有下列四个①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．下列说法错误的是（ ）A ．直径是圆中最长的弦B ．长度相等的两条弧是等弧C ．面积相等的两个圆是等圆D ．半径相等的两个半圆是等弧4．已知的半径是6cm ，则中最长的弦长是（ ）O OA．6cm B．12cm C．16cm D．20cm5．下列叙述中不正确的是（ ）A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴C．连接圆上两点的线段叫弦D．圆上两点间的部分叫弧考查题型二求圆中弦的条数6．如图，图中的弦共有（ ）A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦.A．2B．3C．4D．58．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．5考查题型三圆的周长面积问题9．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是( )A．三个小圆周长之和B．大圆周长C．一样长D．不能确定10．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍11．如图，一枚半径为rA．4πr B．2πr C．πr D．2r12．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（）π2π3π4πA．B．C．D．13．如图，一块直径为a ＋b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，则剩余阴影部分面积为( )A ．B ．C ．D ．2ab()24a b π-2ab π4ab π14．一个圆的周长是，它的面积是（ ）10πA ．B ．C ．D ．25π5π100π10π15．如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．16．如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：(1)把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长；21122l a l π==(2)把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝ ；(3)把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝ ；(4)把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长ln ＝ ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．考查题型四确定圆的条件17．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（）①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3，BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．A．①②B．①②③C．②③D．①③18．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )A．0B．1C．2D．0或119．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能20．A ，B ，C 为平面上的三点，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，则( )A ．可以画一个圆，使A ，B ，C 都在圆周上B ．可以画一个圆，使A ，B 在圆周上，C 在圆内C ．可以画一个圆，使A ，C 在圆周上，B 在圆外D ．可以画一个圆，使A ，C 在圆周上，B 在圆内21．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．平行四边形D ．梯形考查题型五 找圆心的位置22．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（0，﹣1）23．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）ABCA．(5，2)B．(2，3)C．(1，4)D．(0，0)24．坐标网格中一段圆弧经过格点A、B、C．其中点B的坐标为(4，3)，点C坐标为(6，1)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1）D．（2，1）专题06 圆【热考题型】【重难点突破】考查题型一圆的基本概念1．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆【详解】过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.2．有下列四个①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A．4个B．3个C．2个D．1个【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B ．3．下列说法错误的是（ ）A ．直径是圆中最长的弦B ．长度相等的两条弧是等弧C ．面积相等的两个圆是等圆D ．半径相等的两个半圆是等弧【详解】解：A 、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；B 、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；C D 、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确，不符合题意．D 故选：B ．4．已知的半径是6cm ，则中最长的弦长是（ ）O O A ．6cmB ．12cmC ．16cmD ．20cm 【详解】解：∵在圆中，最长的弦是直径，且的半径是6cm ，O ∴中最长的弦长=6×2=12cm ，O 故选：B ．5．下列叙述中不正确的是（ ）A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴C．连接圆上两点的线段叫弦D．圆上两点间的部分叫弧【详解】解：A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；B.圆是轴对称图形，直径所在的直线为圆的对称轴，错误；C.连接圆上两点的线段叫弦，正确；D.圆上两点间的部分叫弧，正确；故选B．考查题型二求圆中弦的条数6．如图，图中的弦共有（ ）A．1条B．2条C．3条D．4条【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，故选B．7．如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦.A．2B．3C．4D．5【详解】根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦.故选B.8．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．5【详解】解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．故选B．考查题型三圆的周长面积问题9．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是( )A．三个小圆周长之和B．大圆周长C．一样长D．不能确定【详解】如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,则大圆周长为πd;三个小圆周长之和为πd'+πd″+πd‴=π(d'+d″+d‴).因为d=d'+d″+d‴,所以三个小圆周长之和与大圆周长一样长.10．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，∴圆的面积=π(3x )2=9πx 2，正方形的面积==2x 2，()2122x ∴9πx 2÷2x 2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，9142π≈故选B ．11．如图，一枚半径为r 的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（ ）A ．4πrB ．2πrC ．πrD ．2r【详解】圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr .故选B.12．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．π2π3π4π【详解】解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：π×22＝2π，12故选：B ．13．如图，一块直径为a ＋b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，则剩余阴影部分面积为( )A ．B ．C ．D ．2ab()24a b π-2ab π4ab π【详解】阴影部分面积为=222()()()222a b a b πππ+--2ab π故选C.14．一个圆的周长是，它的面积是（ ）10πA ．B ．C ．D ．25π5π100π10π【详解】解：设圆的半径为r ，∵圆的周长为10π，∴2πr=10π，即r=5，则圆的面积S=πr 2=25π．故选：A ．15．如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．【详解】解：设长方形的长DC 为3xcm ，宽AD 为2xcm ．由题意，得 3x•2x=300，∵x ＞0，∴x =∴AB=，BC=cm ．∵圆的面积为147cm 2，设圆的半径为rcm ，∴πr 2=147，解得：r=7cm ．∴两个圆的直径总长为28cm ．∵，382428<=⨯=<∴不能并排裁出两个面积均为147cm 2的圆．16．如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：(1)把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长；21122l a l π==(2)把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝ ；(3)把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝ ；(4)把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长ln ＝ ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【详解】(2)l ；13(3)l ；14(4)l ；；1n 1n每个小圆面积＝π＝，而大圆的面积＝π(•a )2＝πa 22112a n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2214a n π1214即每个小圆的面积是大圆的面积的．21n 考查题型四 确定圆的条件17．过A ，B ，C 三点能确定一个圆的条件是（ ）①AB =2，BC =3，AC =5；②AB =3， BC =3，AC =2；③AB =3，BC =4，AC = 5．A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①③【详解】经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C 选项中的三点能构成三角形，故选C.18．在同一平面内，过已知A ，B ，C 三个点可以作的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1【详解】解答：解：当A 、B 、C 三个点共线，过A 、B 、C 三个点不能作圆；当A 、B 、C 不在同一条直线上，过A 、B 、C 三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；故选D ．19．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）A．①B．②C．③D．均不可能【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．20．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内【详解】∵A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5，∴AB+BC=AC，∴可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．故选D．21．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（）A．正方形B．菱形C．平行四边形D．梯形【详解】解：∵正方形对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴正方形四个顶点定可在同一个圆上.故选A.考查题型五找圆心的位置22．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）A．（0，0）B．（﹣2，1C．（﹣2，﹣1）D．（0，﹣1）【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C ．23．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）ABCA ．(5，2)B ．(2，3)C ．(1，4)D ．(0，0)【详解】如图，作AB ，BC 的中垂线，交于点D ，点D 即为外接圆的圆心，坐标为ABC （5，2）．故选A ．24．坐标网格中一段圆弧经过格点A 、B 、C ．其中点B 的坐标为(4，3)，点C 坐标为(6，1)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为A ．（0，0）B ．（2，-1）C ．（0，1）D ．（2，1）【详解】如图，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，连接BC ，线段AB 的垂直平分线EF 交BC 的垂直平分线于Q ，则Q 为圆弧的圆心，∴圆心的坐标是()21-，故选B ．。
硬币的滚动问题
A
2πr
2πr
B
O3
拓展延伸
问题：如图， 的线段AB在中点C处折成60 AB在中点 60° 问题：如图，将总长为 4 r π 的线段AB在中点C处折成60°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈；
O O1 120° 120° 60° ° 60C
4 r ，则这枚半径为r的硬 π 则这枚半径为r
O1
币从点A无滑动地滚动到点B 币从点A无滑动地滚动到点B需转 2 圈；
r O
A
4 aπr
B
结论：当硬币在直线上滚动时， 结论：当硬币在直线上滚动时， 圆 过 路 长 经 的 径 硬币滚动的圈数= 硬币滚动的圈数= 圆 长 周 圆 经 的 径 心 过 路 长 = 圆 长 周
小硬币 大学问 硬币的滚动问题
提出问题
2009年广东省佛山市中考数学题 2009年广东省佛山市中考数学题 将两枚同样大小的硬币放在桌上， 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固 定其中一枚， 定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动 一周，这时滚动的硬币滚动了( 一周，这时滚动的硬币滚动了( ) 1.5圈 A ．1 圈 B．1.5圈 2.5圈 C ．2 圈 D．2.5圈
多 形 周 为 πr 边 的 长 2
O
r
O
r
O
r
O
r
O
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O
……
r r
边数n 边数n趋向于无穷大时
学以致用
将一枚半径为r 将一枚半径为r的硬币沿着另一枚半 径为2r的硬币的边缘滚动一周， 2r的硬币的边缘滚动一周 径为2r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动 3 圈 的硬币滚动了
小学奥数-求硬币旋转圈数问题
“求硬币旋转圈数问题”的另一种方法2004年《小学数学教师》第5期77页上有这样一个著名的经典问题： 甲乙两枚大小相等的硬币。
现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？这题的答案是2圈，对于文中的答案书上给出了两种解释。
对于这两种方法，虽然都说明了为什么会转2圈的道理，但都显得比较抽象、难懂。
而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉。
我认为还有更直观易懂的方法去解释它。
一、预备定理：“一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。
”二、证明：“如右图，圆和这条直线相切于A 点，这个圆从A 点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A 点，这时圆心所经过路径长度为线段OO 的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA 的长度，这两个长度是一样的。
事实上因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。
因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。
利用以上的结论，对于开头的问题，我是这样去理解的：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动，当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆，如右图，设这个大圆的半径为R ，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR 。
利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。
所以当硬币乙沿硬币乙 甲甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙一共滚动过的距离也等2πR，而硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr（本圆的周长）。
这儿R=2r，所以2πR是2πr的2倍，2πR÷2πr=2，即硬币乙一共旋转了2圈。
用这个方法去考虑这类问题的优点在于：只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，答案即为自己所旋转的圈数。
初中数学《硬币滚动中的数学》教案
初中数学《硬币滚动中的数学》教案一、教学目标：1.知识与能力目标（1）了解硬币滚动的基本知识，包括硬币的直径、厚度、重量等。
（2）掌握硬币滚动的基本公式，能够运用公式解决硬币滚动过程中的数学问题。
2.过程与方法目标（1）通过多种形式的示例、练习和实践活动，引导学生深入理解硬币滚动中的数学原理。
（2）培养学生合作与交流的精神，激发学生对数学的兴趣和学习积极性。
二、教学内容：1.硬币滚动的概念和基本知识（1）介绍硬币滚动的定义和特点，引导学生观察并描述硬币滚动的现象。
（2）了解硬币的基本参数，如直径、厚度、重量等。
2.硬币滚动的基本公式（1）引导学生思考硬币滚动的数学原理，通过实例引导学生推导出硬币滚动的基本公式。
（2）讲解硬币滚动的基本公式，并通过实例演示公式的应用。
3.硬币滚动中的数学问题解决（1）引导学生通过练习，掌握运用硬币滚动的基本公式解决数学问题的方法和步骤。
（2）以实际问题为背景，设计相关的数学问题，引导学生独立思考并解决问题。
4.实践活动（1）组织学生进行实践活动，通过实际操作模拟硬币滚动的过程，加深对数学原理的理解。
（2）引导学生根据实际操作获得的数据，应用硬币滚动的公式进行计算和分析。
三、教学过程：1.导入新知识教师向学生展示一枚硬币，并引导学生观察硬币滚动的现象，提问：“硬币滚动的时候，你们觉得有什么特点？”学生回答后教师指出滚动时硬币的形状不变，并引导学生进一步思考和讨论。
2.探究硬币滚动的数学原理教师给出一枚硬币的直径、厚度和重量等参数，通过实例引导学生思考硬币滚动的数学原理和公式，并帮助学生推导出硬币滚动的基本公式。
3.讲解硬币滚动的基本公式教师讲解硬币滚动的基本公式，并通过实例演示公式的应用和计算步骤。
4.练习与巩固教师组织学生进行练习，使用硬币滚动的基本公式解决相关的数学问题，加深学生对公式的理解和掌握程度。
5.引导学生独立思考和解决问题教师以实际问题为背景，设计相关的数学问题，引导学生独立思考和解决问题，并鼓励学生在小组内讨论和交流。
课题图形的滚动
课题:图形的滚动执教：射阳二中 胡仁界教学目标:经历对图形滚动类问题的探究过程，寻求解决滚动类数学问题的途径，培养学生用动态思维去分析问题和解决问题的能力，感受数学知识的趣味，体验到数学的魅力。
教学过程：一. 导入二. 探究活动一:圆的滚动1. 课前小实验:两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动。
滚动时两枚硬币总保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币作无滑动滚动一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转了几周?2. 探讨:车轮的滚动在平地上,自行车车轮(设半径为R)滚动一周,前进了多少路程?由此你发现了什么规律？[即学即用]小明从家到学校的路程为1km,他骑的自行车的半径为30cm,那么,小明从家里骑车到学校,车轮大约转了多少圈?(π取3.14,精确到1圈.)3.你能说出硬币转动周数的计算方法吗?4.拓展:(1)有两个大小不等的圆,定圆⊙O 的半径为6cm,动圆⊙P 的半径为2cm,若⊙P 紧贴⊙O 外侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?(2)若(1)中的⊙P 紧贴⊙O 内侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?方法小结:如何计算滚动的圆自转的圈数?5.中考链接:[例1]将半径为2cm 的圆形纸板,沿着边长分别为16cm 和12cm 的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?.O .P ..变化:如果圆开纸板贴着矩形内侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?[例2]一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中，AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你画出圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。
三.探究活动二：多边形的滚动[例3]如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，AC，则顶点A 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？[例4] 如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段OA 围绕着点O 旋转了多少度?四.课堂小结五.作业.A604040BA C DO A A B B C CA A .O O.《滚动的图形》探究练习班级_____学号______姓名________1. 如图一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）圈.2.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束走过的路径长度是____________。
旋转硬币悖论
旋转硬币悖论
旋转硬币悖论是一个有趣的数学现象，也被称为“硬币悖论”或“滚动硬币悖论”。
具体来说，这个悖论涉及到两个大小相同的硬币，一个硬币固定不动，另一个硬币沿着固定不动的硬币边缘滚动一周。
按照常规的思维，我们可能会认为滚动的硬币只转动了一周，但实际上，滚动的硬币却转动了两周才回到起始位置。
这个悖论的本质在于硬币在滚动时，其圆心的运动轨迹并非圆形，而是一个腰子形状的路径，也称为肾形线。
因此，在硬币滚动的过程中，圆心所经过的路程实际上是硬币周长的两倍，这导致硬币需要转动两周才能回到起始位置。
这个现象在数学上被称为“旋转悖论”或“滚动悖论”，它挑战了我们对旋转和滚动的直观理解。
类似的现象也可以在其他形状的物体上观察到，例如一个圆绕着与其周长相等的正五边形滚动时，也会出现类似的悖论现象。
1。
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《硬币滚动中的数学》教案
开发区实验中学张文敏
一、学情分析
学生在本节课之前已经学习了一元一次方程、一元一次不等式（组）、一次函数等一次模型，具有一定的知识储备。
他们善于发现生活中的数学问题，也具备一定的数据的收集、处理与分析能力，并能提出并解决较为简单的问题。
但这些知识真正在生活中实践操作的机会却少之又少，而且生活中的数学问题远远不像在理想课堂中那么简单。
针对本节课的特殊性，课前教师与学生针对即将面临的困难展开了讨论，通过假设、模拟，在学生实践之前从理论上对学生进行了培训，比如：如何收集、处理有效数据，如何分清问题的主次、如何排除人为因素，小组内的四名同学怎样合理分工等等。
二、教学目标
1.知识与技能：探索硬币在长度相同的不同轨道上滚动的轨迹，滚动的距离和硬币滚动的圈数
2.过程与方法：：经历实践、探索活动的过程，培养学生解决问题的能力，提升学生的数学思维水平。
3.情感态度与价值观：发展学生主动探索，追求科学的精神，培养学生的合作意识。
教学重点：硬币在不同轨道上运动时圆心移动的路径长的算法
教学难点：硬币滚动时移动路径的确定
三、教学方法
合作探究法
四、教学过程
【感知1】
将一枚硬币沿直线滚动一圈，它所滚过的距离是多长？
总结提升:一个圆滚动前进，圆心所经过的路径长度等于这个圆滚动过的路径长度.
在此过程中学生观察滚动现象
设计意图：通过创设情景，，激发学生的求知欲。
【感知1】
将一枚硬币沿直线滚动一圈，它所滚过的距离是多长？
总结提升:一个圆滚动前进，圆心所经过的路径长度等于这个圆滚动过的路径长度.
学生观察滚动现象，思考滚动圈数与轨道长度的关系
设计意图：深入理解滚动圈数的决定因素。
教学设计
课题: 《硬币滚动中的数学》授课人：曹香云
学校：长春汽车经济技术开发区第四中学
一、教学目标：
1.知识目标：①硬币在不同轨道上滚动时圆心移动的路径长算法.
②硬币在不同轨道上滚动的圈数.
2.能力目标：①经历实践、探索活动的过程，提升学生的数学思维水平.
②提升学生解决问题的能力.
3.情感目标：①发展学生主动探索，追求科学的精神.
②引导学生建立合作共进的人际环境. 二、重点与难点：
重点：硬币在不同轨道上滚动时圆心移动的路径长算法. 难点：硬币滚动时移动的路径确定.
三、教学方法：引出问题——系列探究活动——总结提升四、教学过程设计：教师活动
学生活动
设计意图
【感知1】
将一枚硬币沿直线滚动一圈，它所滚过的距离是多长？
总结提升:一个圆滚动前进，圆心所经过的路径长度等于这个圆滚动过的路径长度. 观察滚动现
象
创设情境，激发求知欲。
【感知2】
将一枚半径为r的硬币沿着一条长度为2的线段上滚动，它能滚动圈.
观察滚动现象，思考滚动圈数与轨道长度的关系. 深入理解滚动圈数的决定因素. 【一般情况】
将一枚半径为r的硬币沿着一条长度为l的线段滚动，它能滚动圈.
模型一:圆沿直线滚动圈数为/2
【规律】一个圆滚动的圈数等于圆心运动的路径长度除以这个圆的周长
学生思考直线轨道上的滚动模型。
设计意图：由特殊到一般，注重知识的形成过程，发展学生推理的能力
【小组探究活动】
将一枚硬币固定，另一枚相同硬币沿着固定硬币外缘滚动一周，这时滚动的
硬币滚动了几圈？
总结提升:一个圆滚动前进，其滚动的圈数受轨道形状影响，由圆心运动的路径决定.
学生活动：动手实践，在练习纸上滚动并画图，小组合作探究。
设计意图：发展学生探究问题的能力。
【一般情况】
一个半径为0的圆不动，另一个半径为1的圆沿着固定圆的外缘滚动，当滚动
的圆回到初始位置时，它自转了圈.
学生深入思考，严密解答。
设计意图：由特殊到一般，发展学生归纳总结的能力。
模型二:圆绕圆滚动圈数为(0+1)/1
【规律】
一个圆滚动的圈数等于圆心运动的路径长度除以这个圆的周长.
学生应用前面的结论，形成模型，培养学生的模型思想。
【应用】
如图，将半径为的圆放在数轴上原点处，与数轴相切，将该圆沿数轴向右滚动一周后停止，这时它和数轴接触的点就是表示圆周率的点.
学以致用，发展应用意识。
【实践】
经观察某变速箱中太阳齿轮和行星齿轮的齿数分别为24和12，当行星齿轮绕着太阳齿轮转一周时，它将自转几圈？
设计意图：套用讲过的模型解决问题，锻炼学生从实际问题中
抽象出数学问题的能力
【课堂小结】
请同学们畅谈交流和收获，培养学生及时总结的习惯，使得知识内化。
【作业】
将一枚一元硬币沿着周长为5/2cm的任意五边形外缘滚
动一周，这时滚动的硬币滚动了几圈？
设计意图：让学生继续探索硬币沿着折现滚动的情形，为
下一节课的学习奠定基础。
五、课后反思
教学反思课堂教学是一个不断创新，不断总结，不断完善的过程，课后及时反思，对教师的专业成长起着促进作用。
《硬币滚动中的数学》总体上来说是一节较为成功的课，因为这是一堂实践活动课，所以我放手让学生自己去观察，自己去探究，使学生成为课堂教学的主人公，充分发挥了学生的主体作用，调动了学生参与课堂活动的积极性和主动性。
但这堂课也不乏遗憾以及值得探讨和完善的方面，在这节课的设计过程中多多少少忽略了学生的想法，在备课过程中，没有备好学生，站在学生的角度去设计课堂，另外肢体语言也不够丰富，鼓励学生的话显得很单一。
总之，我会在以后的教学中注意以上存在的问题。