第3讲 电磁场的边界条件

tan1 H1t / H1n 1 / B1n 1 tan2 H2t / H2n 2 / B2n 2
第三讲 电磁场的边界条件
【例1】 电介质透镜可以用来使电场平直化。如 图所示电介质透镜左侧表面为圆柱面，右侧表面 为平面。若区域1中点P(r,45°,z）处电场为
E1 e 5 e 3 为了使区域3中的电场 E3 与x轴平行，则透镜电介
• 场矢量的折射关系
tan1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan2 E2t / E2n 2 / D2n 2
en E1 0
en D1 S
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
2、恒定电场的边界条件
场矢量的边界条件
S J dS 0 C E dl 0
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
1、静电场的边界条件
• 一般形式
en (E1 E2 ) 0
en (D1 D2 ) S
• 两种电介质分界面
媒质1
en 1
E1
1
媒质2 E2
2
2
en (E1 E2 ) 0
• 导体与电介质分界面
en (D1 D2 ) 0
质相对介电常数应为多少？
【解】由边界条件，若 E3 平行于x轴，则E2也必平行于x轴。 在左侧圆柱面分界面上，由电场边界条件：
E1t E2t E1 E2 E2 3
D1n D2n 1E1 2 E2 E2
要使合成波E2 平行于x轴，则必有
5
r2
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
3、恒定磁场的边界条件
一般形式
en (H1 H2 ) JS en (B1 B2 ) 0
两种磁介质分界面
媒质1
en 1
H1
1
媒质2
H2 2
2
en (H1 H2 ) 0
en (B1 B2 ) 0
场矢量的折射关系
同理得 en (E1 E2 ) 0 或 E1t E2t
第三讲 电磁场的边界条件
一、边界条件的一般表达式
3、麦克斯韦方程组与边界条件的对比
H J D t
E B t
B 0
D
en (H1 H2 ) J S en (E1 E2 ) 0
E1(0,t) ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)]
ex80 cos(15108t) V/m
E2 (0,t) ex A cos(15108t) V/m
A 80 V/m
由边界条件
E1(0, t) E2 (0, t)
第三讲 电磁场的边界条件
5z)

2 3
107
cos(15 108 t

5z)]
A/m
同样，由

E2

2
H 2 t
，得
H 2 ( z, t)

ey
4
30
107
cos(15 108 t

5z)
A/m
第三讲 电磁场的边界条件
（3）z = 0 时
H1 (0, t )

ey
1
0
[2 107
cos(15 108 t )
【例 3】如图所示，1区的媒质参数为 1 50、1 0、1 0,
2场区强的度媒为质E参2 数e为x 2y2ey 50、z e2z
0、 2
(3 z) V/m
0。若已知自由空间的电

试问关于1区中的 E1和D1能求得出吗？
2区
O
x
【解】根据边界 条件，只能求得边界面
第三讲 电磁场的边界条件
一、边界条件的一般表达式
2、边界条件的推证
• 电磁场量的切向边界条件
媒质1
en Δl
H1
en (H1 H2 ) JS

N
Δh
推证出发点： H dl (J D ) dS
C
S
t
媒质2
H2
在介质分界面两侧，选取如图所示
的小环路，令Δh →0，则

er
q 4πr 2
(0

r

)
E(r)

er er
q (0 r a)
4π r2
q
4π 0 r 2
(a

r

)
实际电磁场问题都是在一定的 物理空间内发生的，该空间中可能 是由多种不同媒质组成的。边界条 件就是不同媒质的分界面上的电磁 场矢量满足的关系，是在不同媒质 分界面上电磁场的基本属性。
第三讲 电磁场的边界条件 为什么要研究边界条件 ?
物理：由于在分界面两侧介质的特性参 数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分 形式在分界面上失去意义，必 须采用边界条件。
en
媒质1
媒质2
数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的，边界条件起定解的 作用。
第三讲 电磁场的边界条件
媒质2中的电场强度为
E2
(
z,
t
)

ex
A
cos(15

108
t

50

z
)
V/m
（1）试确定 常数A的值;（2）求磁场强度 H1(z, t) 和 H 2 (z, t) ；
（3）验证 H1(z, t) 和 H 2 (z, t) 满足边界条件。
【解】（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0 处，有
ΔS
en
D1
S P Δh
D2
令Δh →0，由 D S S
即 en (D1 D2 ) S 或 D1n D2n S
同理 ，由 B dS 0 S
en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
en (B1 B2 ) 0
en (D1 D2 ) S
第三讲 电磁场的边界条件
二、两种特殊媒质的边界条件
1、两种理想介质分界面上的边界条件
两种理想介质分界面上，无电荷和电流分布，即JS =0、ρS =0，故
n (H1 H2 ) 0 H1t H2t H的切向分量连续


D dS
S
ρdV
V
en
媒质1
H1、B1、E1、D1
媒质2
H2、B2、E2、D2
分界面上的传导面电流密度
en (H1 H2 ) JS en (E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0
en (D1 D2 ) S
分界面上的自由电荷面密度
由
C H dl
S (J

D ) dS t
(H1 H2 ) l JS Nl
(H1 H2 ) l (H1 H2 ) (N en )l [en (H1 H2 )] Nl en (H1 H2 ) JS 或 H1t H2t JS
E1x 2 y, E1y 5x
D1x 1E1x 10 0 y, D1y 1E1y 25 0 x
第三讲 电磁场的边界条件
又由 en (D1 D2 ) 0，有






ez [ex D1x ey D1y ez D1z (ex D2x ey D2 y ez D2z ]z0 0
（2）由

E1

1
H1 t
，有
H1 t


1
1
E1

ey
1
1
E1x z

ey
1
0
[300 sin(15108t
5z) 100 sin(15 108t
5z)]
将上式对时间 t 积分，得
H1 ( z, t )

ey
1 0
[2 107
cos(15 108 t
则得
D1z z0 D2z z0 0 (3 z) z0 30
E1z
z0

D1z
1
z0

3 0 5 0

3 5
最后得到


E1(x, y,0) ex 2 y
D1
(
x,
y,0)

ex10
ey5x
0 y ey
ez
3 5
25
0
x

ez
en (J1 J2 ) 0 en (E1 E2 ) 0
媒质1
en 1
E1
1
媒质2 E2
2
2
导电媒质分界面上的电荷面密度
S en (D1
场矢量的折射关系

D2 )

en
( 1 1
J1

2 2
J2)

( 1 1

2 2
)Jn
tan 1 E1t / E1n 1 / J1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / J 2n 2
问题：什和么S情？况下分界面上有JS
第三讲 电磁场的边界条件
一、边界条件的一般表达式
2、边界条件的推证
• 电磁场量的法向边界条件
en (D1 D2 ) S
推证出发点： D dS ρdV
S
V
在两种媒质的交界面上任取一点P，
作一个包围点P 的扁平圆柱曲面S。
媒质1 媒质2
3
0
第三讲 电磁场的边界条件
【例4】在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知
电试场求强:（度1）E磁场e强y E度0 sHin；( dπ（z2)）co导s体(表t 面k的x x电) 流V密/m度
第三讲 电磁场的边界条件
第三讲
电磁场的边界条件
第三讲 电磁场的边界条件
三个问题 问题一：什么是电磁场的边界条件? 问题二：为什么要研究边界条件 ? 问题三：如何讨论边界条件 ?
第三讲 电磁场的边界条件 什么是电磁场的边界条件?
q ε ε0
介质球
电介质
导体球 E=0
q
E≠0
导体球表面：E=？
D(r)
第三讲 电磁场的边界条件
二、两种特殊媒质的边界条件
2、理想导体表上的边界条件 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 特点：电磁场不可能进入理想导体内 边界条件:
E
B
JS
理想导体
en D S
en B 0 en E 0 en H JS
理想导体表面上的电荷密度等于 D的法向分量 磁感应强度平行于导体表面 电场强度垂直于理想导体表面 理想导体表面上的电流密度等于 H的切向分量
如何研究边界条件 ?
麦克斯韦方程组的积分形式在

D dS ρdV
S
V
不同媒质的分界面上仍然适用，由 此可导出电磁场矢量在不同媒质分
ΔS
en
D1
界面上的边界条件。
媒质1
en Δl
H1
媒质1 S P Δh
媒质2 D2
媒质2
N
H2
Δh
H dl

2 3
107
cos(15 108 t )]

ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
H2
(0,
t)

ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界
面上（z = 0）不存在面电流 。
第三讲 电磁场的边界条件
n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
E的切向分量连续
B1 n B2 n 0 B2n B1n
B的法向分量连续
(D1 D2 ) n 0 D1n D2n
D的法向分量连续
媒质1 媒质2
en
DB
媒质1 媒质2
en
EH
D、B的法向分量连续
E、H的切向分量连续
(
J

D
)

dS
C
S
t
第三讲 电磁场的边界条件
一、边界条件的一般表达式
1、边界条件一般形式
H dl
C

(J

D
)

dS
S
B
t



E dl
C
B dS 0
S
S
t
dS

z
=
0 处的
由
en
E1 (
和
E1
D1 。 E2 )

0
，有
1区 y z
电介质与自由空间的 分界面
ez {ex E1x ey E1y ez E1z [ex 2 y ey 5x ez (3 z)]} z0
ey (E1x 2 y) ex (E1y 5x) 0
E2
E2
3
5
r2
r2

5 3
第三讲 电磁场的边界条件
【例2】 z < 0的区域的媒质参数为 1 0、1 0、1 0 , z > 0
区域的媒质参数为 2 50、2 200、 2 0 。若媒质1中的电
场强度为 E1(z,t) ex[60cos(15108t 5z) 20cos(15108t 5z)] V/m