专题五 立体几何专题复习

专题五、立体几何
1、线面平行的证法：面∥线面线面线线∥线⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊄⊂
①关键是在平面内找（用直尺平移到平面内）一条直线与已知直线平行
②在证线线平行时，常用到三角形中位线定理或平行四边形对边平行
2、线面垂直的证法：αα面线面线线线线线线线⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫⊂⊥⊥l b a b a b l a
l ,
关键是在平面内找两条相交直线与已知直线垂直 3、面面垂直的证法
βαβα面面面线面线⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
4、面面垂直的作用（证明线面垂直）αββαβ
α面线线线面线线面面面面⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫⊥⊂=⊥l m l l m
注：在条件中寻找线线垂直时，常用结论有
①勾股定理逆定理 ②等腰三角形三线合一 ③直径所对圆周角是直角
一、考点分析：（理科）
考点一：三视图与表面积、体积的结合
三视图的识别，多以考查组合体为主，大部分是已知部分（或全部）三视图，进而考查立体图形直观图的还原及计算问题。

几何体的表面积和体积的综合，往往以球为载体，结合棱柱、棱锥。

近三年高考题
2011年（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为
（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

2012年
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18
（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 （A ）
26 （B ）36 （C ）23 （D ）22
2013年
（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为
考点二：空间线面关系的判断
该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质．在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法． 考点三：求空间角
考查空间角的计算为主，解决这类问题往往有两种方法：传统几何法和向量法，这两种方法各有所长，传统几何法的主要思想是把立体问题转化为平面问
题，难点在逻辑推理、空间想象能力；向量法在建立空间坐标系后把问题转化成坐标运算，其难点在代数运算。

近三年高考题 2011年
(18)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(A) (B) (C) (D)
E
D C1
B1
A1
A
B
C
(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

2012年
（19）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥。

（Ⅰ）证明：1DC BC ⊥
（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小。

2013年
4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）
（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l
（18）如图，直棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ， BB 1的中点，AA 1=AC=CB=
2
2
AB 。

（Ⅰ）证明：BC 1//平面A 1CD 1
（Ⅱ）求二面角D-A 1C-E 的正弦值
小题强化训练
1、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A.4
B.6
C.8
D.12
2、若某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.12π+16
B.12π
C. 16328+π
D.
3
28π
3、一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图2所示，则该多面体的体积为
A.24cm 3
B.28cm 3
C.32 cm 3
D.48 cm 3
D
A 1
B 1
C 1
C
B
A
4、一个空间几何体的俯视图是边长为3的正三角形，正
视图、侧视图如右图所示，且这个空间几何体的所有顶点 都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A.9π B.21π C.33π D.45π
5、一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 .（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
6、已知某个几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
A. 334000cm
B. 3
3
8000cm C.2000cm 3
D.4000cm 3
7、一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.48
B.32+178
C.48+178
D.80
8、一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体表面积为（ ）
A.12+π
B.16+π
C.20π
D.24+π
9、已知某个几何体的三视图如上图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（ ）
A.288+36π
B.60π
C.288+72π
D.288+18π 10、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：cm 2）为
A.48+212
B.48+224
C.36+212
D.36+224 11、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）
A.32
B.16+216
C.48
D.16+232
12、一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积为
（ ）
A. 337m
B. 329m
C. 327m
D. 349m
13、已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为（ ）
A.
6π B. 3
π
C.π 66
D.π 33 14、平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面a 的距离为2，则此球的体积为（ ）
A.
π6 B.π34 C. π64 D. π36
15、设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截
球O 得到圆C ，若圆C 的面积等于 4
7π
，则球O 的表面积等于（ ）
A.4π
B.8π
C.16π
D.32π 16、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各个顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于（ ）
A.20π
B.16π
C.12π
D.10π
17、设长方体的长、宽、高分别为2a ，a,a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.3πa 2
B.6πa 2
C.12πa 2
D.24πa 2 大题强化训练
1、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0
60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面
PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底
面ABCD ．
（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；
（3）求二面角A BC P --的大小．
2、 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上
的射影恰为AC 的中点D ，又知
11BA AC ⊥。

（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求二面角1A A B C --的大小。

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，
2,60AB BAD =∠=.
(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC
（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.
4、如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，︒=∠45CDA ． （I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；
A
B
C
D
1
A
1
C
1
B
O
F
（II）设AB=AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为︒
30，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。

5 、如图5，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径2
AB=,C是AB的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC;
（Ⅱ）求二面角B PA C
--的余弦值。

6、如图，已知三棱柱ABC－A
1B
1
C
1
的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B
沿棱柱侧面经过棱C C
1到点A
1
的最短路线长为25,
设这条最短路线与CC
1
的交点为D．
（Ⅰ）求三棱柱ABC－A
1B
1
C
1
的体积；
（Ⅱ）在平面A
1
BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；
（Ⅲ）证明：平面A
1BD⊥平面A
1
ABB
1
7.如图，正三棱柱ABC－A
1B
1
C
1
的所有棱长都为2，D
为CC
1
中点。

（Ⅰ）求证：AB
1⊥面A
1
BD；
（Ⅱ）求二面角A－A
1
D－B的大小；
8．已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+3，过A作AE⊥CD，垂足为E，点G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC。

（1）求证：BC⊥面CDE。

（2）求证：FG∥面BCD。

（3）在线段AE上找一点R，
使得面BDR⊥面DCB，并说明理
由。

9.如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD 上的点，且DE＝λa(0<λ≦1).
(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求λ的值。

10.如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥
AD,AD=2AB=2BC=2，
O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦
值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.。