专题五 立体几何专题复习

专题五、立体几何

1、线面平行的证法：面∥线面线面线线∥线⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

⊄⊂

①关键是在平面内找（用直尺平移到平面内）一条直线与已知直线平行

②在证线线平行时，常用到三角形中位线定理或平行四边形对边平行

2、线面垂直的证法：αα面线面线线线线线线线⊥⇒⎪⎪⎭

⎪

⎪

⎬⎫⊂⊥⊥l b a b a b l a

l ,

关键是在平面内找两条相交直线与已知直线垂直 3、面面垂直的证法

βαβα面面面线面线⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥l l

4、面面垂直的作用（证明线面垂直）αββαβ

α面线线线面线线面面面面⊥⇒⎪⎪

⎭

⎪

⎪

⎬⎫⊥⊂=⊥l m l l m

注：在条件中寻找线线垂直时，常用结论有

①勾股定理逆定理 ②等腰三角形三线合一 ③直径所对圆周角是直角

一、考点分析：（理科）

考点一：三视图与表面积、体积的结合

三视图的识别，多以考查组合体为主，大部分是已知部分（或全部）三视图，进而考查立体图形直观图的还原及计算问题。几何体的表面积和体积的综合，往往以球为载体，结合棱柱、棱锥。 近三年高考题

2011年（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为

（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。 2012年

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18

（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 （A ）

26 （B ）36 （C ）23 （D ）22

2013年

（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为

考点二：空间线面关系的判断

该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质．在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法． 考点三：求空间角

考查空间角的计算为主，解决这类问题往往有两种方法：传统几何法和向量法，这两种方法各有所长，传统几何法的主要思想是把立体问题转化为平面问

题，难点在逻辑推理、空间想象能力；向量法在建立空间坐标系后把问题转化成坐标运算，其难点在代数运算。 近三年高考题 2011年

(18)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；

(A) (B) (C) (D)

E

D C1

B1

A1

A

B

C

(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

2012年

（19）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11

2

AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥。

（Ⅰ）证明：1DC BC ⊥

（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小。

2013年

4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）

（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l

（18）如图，直棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ， BB 1的中点，AA 1=AC=CB=

2

2

AB 。 （Ⅰ）证明：BC 1//平面A 1CD 1

（Ⅱ）求二面角D-A 1C-E 的正弦值

小题强化训练

1、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积等于（ ）

A.4

B.6

C.8

D.12

2、若某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）

A.12π+16

B.12π

C. 16328+π

D.

3

28π

3、一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图2所示，则该多面体的体积为

A.24cm 3

B.28cm 3

C.32 cm 3

D.48 cm 3

D

A 1

B 1

C 1

C

B

A

4、一个空间几何体的俯视图是边长为3的正三角形，正

视图、侧视图如右图所示，且这个空间几何体的所有顶点 都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A.9π B.21π C.33π D.45π

5、一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 .（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

6、已知某个几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）

A. 334000cm

B. 3

3

8000cm C.2000cm 3

D.4000cm 3

7、一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.48

B.32+178

C.48+178

D.80

8、一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体表面积为（ ）

A.12+π

B.16+π

C.20π

D.24+π

9、已知某个几何体的三视图如上图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（ ）

A.288+36π

B.60π

C.288+72π

D.288+18π 10、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：cm 2）为

A.48+212

B.48+224

C.36+212

D.36+224 11、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）

A.32

B.16+216

C.48

D.16+232

12、一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积为