专题02 方程、不等式中的含参问题-玩转压轴题,争取满分之备战中考数学选填题高端精品(解析版)

专题二方程、不等式中的含参问题

【考法综述】

1.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.

2.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.

3．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

4.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围.已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.学+科网

【典例剖析】

考点一、一次方程组的含参问题

例1方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）

A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞

【答案】﹣．

【解析】

试题分析：解此题时可以运用代入消元法，解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后根据x＞y解出m的取值范围．

试题解析：

由①得x=，代入②得，8×﹣3y=m，y=．

∵x＞y，即＞，解得m＞．

故选D．

【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，先解出x，y关于m的式子，再根据x＞y，求出m 的范围即可．

&变式训练&

变式1.1

已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．

【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．

变式1.2已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．【解析】

试题分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．

试题解析：由题意可得，

解得a=﹣3，b=7﹣，c=，

由于a，b，c是三个非负实数，

∴a≥0，b≥0，c≥0，

∴﹣≥m≥﹣．

﹣．

所以m

最小值=

故本题答案为：﹣．

变式1.3已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．

【答案】，﹣．

【解析】

【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网

考点二、一元二次方程的含参问题

例2关于x的方程x2+mx﹣9=0和x2﹣3x+m2+6m=0有公共根，则m的值为．

【答案】﹣3，0，﹣4.5．

【解析】

试题分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．

试题解析：设这个公共根为α．

则方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α，

由根与系数的关系有：α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，

整理得，α2+mα=9①，α2﹣3α+m2+6m=0②，

②﹣①得，m2+6m﹣3α﹣mα=﹣9，

即（m+3）2﹣α（m+3）=0，

（m+3）（m+3﹣α）=0，

所以m+3=0或m+3﹣α=0，

解得m=﹣3或α=m+3，

把α=m+3代入①得，

（m+3）2+m（m+3）=9，

m2+6m+9+m2+3m=9，

m（2m+9）=0，

所以m=0或2m+9=0，

解得m=0或m=﹣4.5，

综上所述，m的值为﹣3，0，﹣4.5．

故答案为：﹣3，0，﹣4.5．

【点评】本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．

&变式训练&

变式2.1

已知a是一元二次方程x2﹣2008x+1=0的一个根，则代数式的值是．

【答案】2007

【解析】试题分析：将一个根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，

故有a2﹣2007a=a﹣1，和a2+1=2008a；代入要求的代数式，整理化简即可．

试题解析：由题意，把根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，

∴a2﹣2007a﹣a+1=0，a2+1=2008a；

∴a2﹣2007a=a﹣1，

∴=a﹣1+=a+﹣1

=﹣1=﹣1

=2008﹣1，

=2007．

【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；