专题强化训练(三) 函数的概念与性质

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题 1．函数f (x )＝

x ＋1

＋4－2x 的定义域为( ) A ．[－1,2] B ．(－1,2] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞) B [由???

x ＋1>0，4－2x ≥0，得－1

2．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7

B [∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.]

3．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)的是( )

A ．f (x )＝x 2

B ．f (x )＝1

x C ．f (x )＝|x |

D ．f (x )＝2x ＋1

B [由题意可知f (x )是(0，＋∞)上的单调递减函数，故选B.] 4．函数y ＝x 3

5在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数

D ．减函数且是偶函数

A [由幂函数的性质知，当α＞0时，y ＝x α在第一象限内是增函数，所以y ＝x 3

5在(0,1]上是增函数．令y ＝f (x )＝x 3

5，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )3

5＝－x 3

5＝－f (x )，所以f (x )＝x 3

5是奇函数．

因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x ∈[－1,0)时，y ＝x 3

5也是增函数．当x ＝0时，y ＝0，又当x ＜0时，y ＝x 3

5＜0，当x ＞0时，y ＝x 35＞0，所以y ＝x 3

5在[－1,1]上是增函数．

故y ＝x 3

5在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]

5．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：

①f(0)＝0；

②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；

③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；

④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是()

A．1B．2 C．3D．4

C[f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即④正确．]

二、填空题

6．函数y＝

x＋1

的单调区间是________．

(－∞，－1)和(－1，＋∞)[因为y＝

x＋1

可由y＝

x向

左平移1个单位得到，

画出函数的图象，如图，

结合图象可知该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．]

7．函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间[－1,2]上的最小值是f(2)，则a的取值范围是________．

[2，＋∞)[由题意可知f(x)在[－1,2]上单调递减，故a≥2.]

8．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.

3[由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，

从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.]

三、解答题

9．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.

(1)若函数f(x)在区间[－5,5]上为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)求a的值，使f(x )在区间[－5,5]上的最小值为－1.

[解]令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at ＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.

(1)因为f(x)图象的对称轴为x＝－a，

由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.

故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

(2)当a>5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，解得a＝

5(舍去)；

当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±3；

当a<－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，解得a＝－

5(舍去)．综上，a＝±3.

10．定义在R上的偶函数f(x)在y轴左方(含原点)的图

象如图所示，且解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x≤0)．

(1)补全函数f(x)的图象；

(2)求出函数f(x)的解析式；

(3)讨论方程f(x)＝d的根的个数；

(4)作出y＝|f(x)|的图象．

[解](1)f(x)的图象如图1所示．

图1

(2)由图象得

??f(0)＝0，

－

2a＝－

2，

－

2＝

4，

，

即?????

c ＝0，a ＝b ，14a －12b ＋c ＝14.

解之得a ＝－1，b ＝－1，c ＝0.

所以当x ≤0时，f (x )＝－x 2－x .当x >0时，－x <0. 所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )＝－x 2＋x . 又f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝－x 2＋x .

所以f (x )的解析式为f (x )＝???

－x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.

也可以写成f (x )＝－x 2＋|x |.

(3)由y ＝d 的图象(图略)，y ＝f (x )的图象知(如图1)，当d >1

4时，方程f (x )＝d 无实根；

当d ＝1

4或d <0时，方程f (x )＝d 有两个实根；当d ＝0时，方程f (x )＝d 有三个实根；当0

4时，方程f (x )＝d 有四个实根． (4)y ＝|f (x )|的图象如图2所示．

图2 [等级过关练]

1．已知f (x )＝x ＋1

x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．－1 D ．－3

A [∵f (x )＝x ＋1x －1，∴f (a )＝a ＋1a －1＝2，∴a ＋1a ＝3，∴f (－a )＝－a －1

a －

1＝－? ?

??a ＋1a －1＝－3－1＝－4.]

2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，2)

B ．(－2,2)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

B [由题意知f (－2)＝f (2)＝0，当x ∈(－2,0)时，f (x )

3．设函数y ＝f (x )是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为________．

f (x )＝x ＋2 [由题意知f (x )在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f (x )＝kx ＋b ，代入解得k ＝1，b ＝2.

所以f (x )＝x ＋2.]

4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________．

或－5 [f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，对称轴x ＝－1，当a >0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为 f (3)＝9a ＋6a ＋1＝6，所以a ＝1

3；

当a <0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为 f (－1)＝a －2a ＋1＝6，所以a ＝－5. 综上，a 的值为1

3或－5.]

5．已知奇函数f (x )＝px ＋q x ＋r (p ，q ，r 为常数)，且满足f (1)＝52，f (2)＝17

4. (1)求函数f (x )的解析式；

(2)试判断函数f (x )在区间? ?

???0，12上的单调性，并用函数单调性的定义进行证

明；

(3)当x ∈? ?

??0，12时，f (x )≥2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．

[解] (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴r ＝0.又?????

f (1)＝52，

f (2)＝17

4，即?????

p ＋q ＝5

2，2p ＋q 2＝17

4，

解得????

p ＝2，q ＝1

，

∴f (x )＝2x ＋1

2x .

(2)f (x )＝2x ＋12x 在区间? ?

???0，12上单调递减．

证明如下：

设任意的两个实数x 1，x 2，且满足0

2，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)＋12x 1－1

2x 2

＝2(x 1－x 2)＋x 2－x 1

2x 1x 2

＝(x 2－x 1)(1－4x 1x 2)2x 1x 2.

∵0

2，

∴x 2－x 1>0,0

4，1－4x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，

∴f (x )＝2x ＋12x 在区间? ?

??0，12上单调递减．

(3)由(2)知f (x )＝2x ＋12x 在区间? ????0，12上的最小值是f ? ????

12＝2.

要使当x ∈? ?

???0，12时，f (x )≥2－m 恒成立，

只需当x ∈? ?

???0，12时，f (x )min ≥2－m ，

即2≥2－m ，解得m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．