大学物理答案 4.第四章

第四章 刚体的运动规律 思考题

4-16 若将缸体视为由N 个质点组成的，各质点之间举例固定点的质点系统，求N=2，3，4时刚体的自由度，并用递推法证明刚体（N>2）的自由度为6。

分析：要分析一个系统的自由度，首先把自由度分为平动自由度、转动自由度和振动自

由度，然后分别去加以讨论。

答：对于刚体，由于各质点之间距离固定不变，因此没有相对运动，也就是没有振动，

那么刚体中没有振动自由度。无论刚体由几个质点组成，它都有x 、y 、z 三个平动自由度。对于N=2的系统，有2个转动自由度，当N>2时，转动自由度为3。所以，N=2的系统，自由度为5；对于N>2的系统，自由度为6。

4-17 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一点在转轴与边缘之间的一半处，试问：在Δt 时间内，哪个点运动的路程比较长？哪个点转过的角度比较大？哪个点具有较大的线速率、角速率、线加速度和角加速度？

分析：本题考查匀速圆周运动中角速度、线速度、角加速度、线加速度以及路程等等的

概念。

答：假设飞轮边缘上的点为A 点，转轴与边缘之间一半处的点为B 点。那么，在飞轮

旋转过程中，Δt 时间内，A 点运动的路程较长；A 点和B 点转过的角度一样大；A 点的线速率较大；两点的角速率相同；角加速度相同，均为0；线加速度：切向加速度均为0；法向加速度A>B 。

4-18 计算物体的转动惯量时，能否将物体的直来那个看作集中在质心处？

分析：应该从转动惯量的定义来分析。

答：计算物体的转动惯量时，由于dm r dI 2=,通常不能将物体的质量看作集中的质心处。

如果我们知道所求物体的回转半径k ，那么我们可以认为物体质量集中在质心处，此时我们不需用转动惯量的定义式，只要用公式2mk I =即可求出转动惯量。 4-19 在工程技术中，人们常给出质量为m ，对指定轴的转动惯量为I 刚体的回转半径k ，其定义为k=(I/m)1/2。试说明;

(1) k 2是什么物理量关于质量分布的平均值；

(2) k 是什么物理量的平方的平均值的平方根（简称方均根值）。

分析：首先根据转动惯量的定义，求一个质量为M 的系统的转动惯量。将所求结果与题

目中的k=(I/M)1/2相比较。

答：根据转动惯量定义：dm r dI 2= 得：⎰=dm r I 2 已知：2/1)/(M I k =， 得：2Mk I =。比较上述两式，得

(1) k 2是转动惯量关于质量分布的平均值。 （2）所有质量微元与转动轴的距离的方均根值。

4-20 在某一瞬间，物体在力矩作用下，其角速度可以为零吗？其角加速度可以为零吗？

分析：根据角动量定理，物体所受的合外力矩等于它的角动量随时间的变化率。所以外

力矩的作用是产生角加速度而不是角速度。

答：在某一瞬间，物体在力矩作用下，其角速度可以为零。但其角加速度不为零。

4-21 陀螺转速愈快，它站得愈稳，即愈能够保持转轴的方向不变。这一性质称为陀螺的稳定性。试由此说明枪筒或炮膛内来福线的作用。（提示：枪筒内刻上的一道道螺旋形的小槽能使子弹射出时具有一定的转速。）

分析：枪筒中的来福线的作用是使出射的子弹具有一定的转速度。

答：枪膛内的来福线使子弹射出时具有一定的转动速度，如果没有来福线，子弹出射时只有平动，没有转动。根据陀螺的稳定性原理：陀螺转速越快，越能保持转轴的方向不变。实际上是由于对于没有转动只有平动的物体，只要受到一个与运动方向不同的力，其运动方向就会发生改变。而对于有转动的物体，只有它受到力矩的作用时，其运动方向才会发生改变。所以，由于来福线的作用，子弹出射时具有一定的转速，这样可以保证子弹沿预定轨迹发射，提高命中率

4-22质点系统的动能的改变与外力和内力都有关，为什么刚体绕定轴转动时动能改变只和外力有关，而与内力无关吗？

分析：动能的改变是与作功相联系的，而不是单纯与力有关的。

答：在质点系统中，内力和外力都做功，所以，内力和外力都会引起系统动能的改变。

但是在刚体定轴转动问题中，内力不做功，所以，内力不改变刚体系统的动能。 对刚体定轴转动问题，也可以从力矩做功的角度来考虑，由于内力部队系统提供力矩，所以内力不对刚体做功。

4-23 从能量角度讨论具有相同半径。相同质量的匀质圆环，圆柱和空心球，沿同一斜面从同一高度由静止开始下滚时，哪个将首先到达底部？顺序如何？一个塑料球和一个同样半径的铁球，沿同一斜面由静止下滚，哪一个先达到底部？

分析：本题考查不同物体势能与动能之间的转化过程。

答：对于具有相同半径、相同质量的匀质圆环、圆柱和空心球绕个自过质心的轴转动时，

转动惯量分别为：2mR =环I 、2mR 21=柱I 、2mR 3

2

=球I

在这几个物体由斜面向下滚动的过程中，只有重力做功，因而机械能守恒。高度相

同，均由静止开始滚动，所以初始时刻机械能相同。终了时刻，重力势能全部转化

为动能（包括质心的平动动能和转动动能）：22

2

121ωI mv E c k +=

习题 4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理:一个平面刚体薄板, 对于垂直板面的某轴

的转动惯量, 等于绕平面内与该垂直轴相交的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和, 即 Iz=Ix+Iy

解：依题意作右图所示,由定义求得:

y I x I dm 2y dm 2x dm

)2y 2x (dm 2r z I +=+=+==⎰⎰⎰

⎰

4-2 计算由三根质量均为lm 长为的均匀细杆组成的正三角形绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量.

解：OA 相对于O 点的转动惯量: 2

ml 311I =

OB 相对于O 点的转动惯量: 2

ml 312I =

AB 相对于O 点的转动惯量:

2ml 6

52)l 23(m 2ml 1213I =+=

或 ⎰

-=+=

2

/l 2/l 2ml 6

5

dL l m )2l 432L (3I

总的转动惯量为:

2ml 2

33I 2I 1I I =++=

4-3一半圆形均匀细杆，其半径为R ，质量为m ，如图所示，试求细杆对过圆形圆心和

端点的轴AA ’的转动惯量.

l

l 2

3O

A

B

l