用分形方法研究水力压裂裂缝扩展机理
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展 。 目前 ，人们已经广泛地应 用分形 几何 来描述和研究裂纹 的不规 则性和断裂 表面 的粗糙性 。
１ 水 力 压 裂 裂 缝 形 态
） ’ 式， ｌ 分 度 裂 度 。 缝开 中 Ｉ 为 尺 的 长， 当 张 度 形 下缝 裂 长 ｌ
大 『］ 于三ｒ 时 裂缝尖端的应力强度因子为 ，裂缝开始扩展。 ＬＪ
式 （ ２ 即为考 虑沿分形裂纹扩 展的缝宽方 程。式 中的 １） 可 以 通过 目的层取 心室内测定 ，也可以通过现场试验确定 。 可 以通过取 Ｄ 心室 内测定 ，也可 由现场 试验数 据经式 计算得 到。 因此 ，根 据式（ １ 式（２用分形裂纹 模型来描 述岩石 断裂 的非 １） 和 １） 规则扩展 ，揭示了分形裂纹的不规则程度和裂缝弯折角对缝 内压 力 、 裂缝 宽度 的影响 ，这对于水力压裂过程的岩石断裂 、 扩展机理研 究有 定 的现 实意义 。给定注入压裂液体积即可计算裂缝尺寸 ；当以恒定 排量注入时 ，可 以确定缝 宽 、缝 壁压 力以及裂缝扩展速度 。
２ 分 形 裂 缝 假 设 下 的岩 石 断裂 韧 性
：ｒｏ ：二 ａｃ ：： ｃｓ
（（ １） １
将式 （ ０） １ 代入到式 （ 和 （ ） ，可得到 ： ６） ７ 中
Ｋ】 √ ５ ４ｏ ） ， ＝ 厄（ ｃ Ｏ ￣ ＋ ｓｏ
ｗ （）
４ Ｄ Ｋｔ ５ ｃ ｓ ） ｃ ＋４ ｏ ０ （
—
（１ １）
（ ２） １
／－ １
—
经典断裂力学 的一个根本假 设是将 岩石 断裂轨 迹视为直线型平面
模型 ，实际地下岩石水力压裂裂缝 的断裂表 面是凹凸不平的 ，裂纹扩 展路径是 不规则 、弯弯 曲曲的 。Ｍａ ｄｌｒ１ 形曲线长度 的估计式为 ｎ ｅ ｏ分 ｂ 上 ＝Ｌ ６ 。。式 中， 为裂纹 路径 的直线长度 ， ； 为码尺 ； （ ｏ ｍ Ｄ为 不规则扩展路径的分形维数 。可近似地 选择 ８一 ｒ， ｒ 自相似 比。 是 这样分形曲线长度可近似表示为 ：
一
Ｌ ＝ｏ ） （ Ｌ Ｄ ｏ （一 Ｏ
关系 ：
． ，
（ ４ ）
根据文 献 知裂纹不规则扩 展下 ，由张 开性 裂缝延伸 准则的应 可
力强度因子 ， 与断裂能 Ｇ存在的关系 Ｋ ＝ 可推导出如下 式 ， √
。， — ｌ ｎ ｇ
根据积分 中值定理 ， （ １）式可表示为 ：
ｌ ｇ３
＝ 尸 一『 ｗ ｃ√ ＾
Ｆ￣ ｈ Ｊ Ｋ， 知 Ａ＝＿ ｘｒ ＋Ｋ ｃ Ｎ ＝Ｋ ｃ ／ ｒ ￣ ｈ ａ １
。
（） ２
则 由断裂 力学理论和
ｌ（ ） １（ ＋４ ｏ ） ｇｔ ｇ５ ｃ ｓ
＿
（ ８）
， ４翮 ＝
－
三
） 、 ｄ 一 Ｖａ— ｒ ］ ／
（ １ ）
பைடு நூலகம்
式 中ｐ 为 孔 底 压 力 ，， 为 压 力 分 布特 征 函数 。 （）
为了形 象地 描述裂纹形态和方便断裂韧性 的计 算 ， 裂纹 的弯折 把 段看作是裂纹扩 展的生成元 ，由此可 以计算 出分形 裂纹扩 展的分形维 数 Ｄ， ：
水力压裂过程起始 于高压流体 诱发的孔 壁破 裂… ，但压裂 的最终 效果 更主要地取决 于此 后裂缝 的扩展过程 。这一过程 的物理 背景是极 其复杂 的 ，它是关于岩石 力学和 流体 力学的一个复 杂的耦合问题 。 由Ｍａｄ ｌ ｏ ｎ ｅ ｒｔ 的分 形理论 已在众 多领域 中得到应 用。分形 ｂ 发展 几何 早在２ 世纪８ 年代便开始应用于石油地质学之 中 ， 断裂体 系描 ０ ０ 在 述 、流体 矿产预测 、断面结构力学 、裂缝预测 等方面 取得 了一系列进
摘 要 根据岩石 断裂力学理论证 明 了水力压裂裂缝具 有与缝 内压 力分布 无关的 自相似 扩展特征 ，在 此基 础上 ，建立 了裂纹扩展 的分形 弯折模 型来描 述裂纹的动态扩展 ，根据这 个模 型 ，推导 了考虑裂 纹分形扩展的裂缝 宽度 方程 ，从 而可 以在给定条件 下计 算出裂 缝维数 ，缝 内压力分布 ，裂缝延伸速度 ，裂缝尺寸等 。 关键词 水力压裂 裂缝 扩展 裂缝形 态 分形裂纹 分形弯折模型
在式 （ ） ５ 的基 础上 ，满足 本文 中假 设而不改变 文献假设 的情 况
下 ，将式 中裂缝 宽度重 新推导 为 ：
吣 ￣ ４ Ｋ １ Ｌ ／ ｒ ｌ ㈩
对于水力压裂 ，当缝 内净压力沿裂缝全长 光滑连续分布即可用一 连续 函数 （） ａ （） ＝ ｐ ｆ ｘ 来表示时 ，裂尖处的应力强度因子 ， ： 为
卡氏定理导出的平面应变水力压裂裂缝的宽度方程 可推导为 ：
ｗ）｛ １ （： Ｙ ／ ＝ １ Ｅ Ｍ ＝
（） （ ３ ）
其中
式 中 ，为 目的层岩石 的断 裂韧 度。该 式表明 ，不管缝内净压力 ｃ 分布如何 ，裂缝的横断面形态均为 由裂缝长度和岩石材料特性常数 Ｅ 和 确定的细长椭圆 ，而与其 中存在 的压 力分布形式无关 。裂缝形 态方程的唯一 『 生说明水力压裂裂缝具有形态相似扩展特征 。
式 （ 中 为分形裂纹扩展的弯折 角，由Ｐｐ ａ 的结 果可知 ０的 ８） ｉ ｎ ｐ 取值 范围为 Ｏ ０， 为生成元的折线段数 ， 为相 似比。将式 （ ） ４ ９ 。 ｎ ｒ ８ 代入到式 （ 得到 ： ５）
Ｋ ：Ｋｌ５ 。 ｓ （ ＋４ 。 一 （ ９）
Ｐ ４ａ
学 术 研 讨
缸 科 技 ２ １年第６ ０２ 期
用分形 方法研 究水 力压裂裂 缝扩展机 理
高 攀 ① 谢 杨 ② 刘 建 生③ 马 淑 芬①
① 西 南 石 油 大 学 国 家 重 点 实 验 室 ；② 中国 石 油 西 南 油 气 田分 公 司 ；③ 四 川 仁 智 油 田 技 术 服 务 股 份 有 限 责 任 公 司 Ｉ
１ 水 力 压 裂 裂 缝 形 态
） ’ 式， ｌ 分 度 裂 度 。 缝开 中 Ｉ 为 尺 的 长， 当 张 度 形 下缝 裂 长 ｌ
大 『］ 于三ｒ 时 裂缝尖端的应力强度因子为 ，裂缝开始扩展。 ＬＪ
式 （ ２ 即为考 虑沿分形裂纹扩 展的缝宽方 程。式 中的 １） 可 以 通过 目的层取 心室内测定 ，也可以通过现场试验确定 。 可 以通过取 Ｄ 心室 内测定 ，也可 由现场 试验数 据经式 计算得 到。 因此 ，根 据式（ １ 式（２用分形裂纹 模型来描 述岩石 断裂 的非 １） 和 １） 规则扩展 ，揭示了分形裂纹的不规则程度和裂缝弯折角对缝 内压 力 、 裂缝 宽度 的影响 ，这对于水力压裂过程的岩石断裂 、 扩展机理研 究有 定 的现 实意义 。给定注入压裂液体积即可计算裂缝尺寸 ；当以恒定 排量注入时 ，可 以确定缝 宽 、缝 壁压 力以及裂缝扩展速度 。
２ 分 形 裂 缝 假 设 下 的岩 石 断裂 韧 性
：ｒｏ ：二 ａｃ ：： ｃｓ
（（ １） １
将式 （ ０） １ 代入到式 （ 和 （ ） ，可得到 ： ６） ７ 中
Ｋ】 √ ５ ４ｏ ） ， ＝ 厄（ ｃ Ｏ ￣ ＋ ｓｏ
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（１ １）
（ ２） １
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经典断裂力学 的一个根本假 设是将 岩石 断裂轨 迹视为直线型平面
模型 ，实际地下岩石水力压裂裂缝 的断裂表 面是凹凸不平的 ，裂纹扩 展路径是 不规则 、弯弯 曲曲的 。Ｍａ ｄｌｒ１ 形曲线长度 的估计式为 ｎ ｅ ｏ分 ｂ 上 ＝Ｌ ６ 。。式 中， 为裂纹 路径 的直线长度 ， ； 为码尺 ； （ ｏ ｍ Ｄ为 不规则扩展路径的分形维数 。可近似地 选择 ８一 ｒ， ｒ 自相似 比。 是 这样分形曲线长度可近似表示为 ：
一
Ｌ ＝ｏ ） （ Ｌ Ｄ ｏ （一 Ｏ
关系 ：
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（ ４ ）
根据文 献 知裂纹不规则扩 展下 ，由张 开性 裂缝延伸 准则的应 可
力强度因子 ， 与断裂能 Ｇ存在的关系 Ｋ ＝ 可推导出如下 式 ， √
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根据积分 中值定理 ， （ １）式可表示为 ：
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（ １ ）
பைடு நூலகம்
式 中ｐ 为 孔 底 压 力 ，， 为 压 力 分 布特 征 函数 。 （）
为了形 象地 描述裂纹形态和方便断裂韧性 的计 算 ， 裂纹 的弯折 把 段看作是裂纹扩 展的生成元 ，由此可 以计算 出分形 裂纹扩 展的分形维 数 Ｄ， ：
水力压裂过程起始 于高压流体 诱发的孔 壁破 裂… ，但压裂 的最终 效果 更主要地取决 于此 后裂缝 的扩展过程 。这一过程 的物理 背景是极 其复杂 的 ，它是关于岩石 力学和 流体 力学的一个复 杂的耦合问题 。 由Ｍａｄ ｌ ｏ ｎ ｅ ｒｔ 的分 形理论 已在众 多领域 中得到应 用。分形 ｂ 发展 几何 早在２ 世纪８ 年代便开始应用于石油地质学之 中 ， 断裂体 系描 ０ ０ 在 述 、流体 矿产预测 、断面结构力学 、裂缝预测 等方面 取得 了一系列进
摘 要 根据岩石 断裂力学理论证 明 了水力压裂裂缝具 有与缝 内压 力分布 无关的 自相似 扩展特征 ，在 此基 础上 ，建立 了裂纹扩展 的分形 弯折模 型来描 述裂纹的动态扩展 ，根据这 个模 型 ，推导 了考虑裂 纹分形扩展的裂缝 宽度 方程 ，从 而可 以在给定条件 下计 算出裂 缝维数 ，缝 内压力分布 ，裂缝延伸速度 ，裂缝尺寸等 。 关键词 水力压裂 裂缝 扩展 裂缝形 态 分形裂纹 分形弯折模型
在式 （ ） ５ 的基 础上 ，满足 本文 中假 设而不改变 文献假设 的情 况
下 ，将式 中裂缝 宽度重 新推导 为 ：
吣 ￣ ４ Ｋ １ Ｌ ／ ｒ ｌ ㈩
对于水力压裂 ，当缝 内净压力沿裂缝全长 光滑连续分布即可用一 连续 函数 （） ａ （） ＝ ｐ ｆ ｘ 来表示时 ，裂尖处的应力强度因子 ， ： 为
卡氏定理导出的平面应变水力压裂裂缝的宽度方程 可推导为 ：
ｗ）｛ １ （： Ｙ ／ ＝ １ Ｅ Ｍ ＝
（） （ ３ ）
其中
式 中 ，为 目的层岩石 的断 裂韧 度。该 式表明 ，不管缝内净压力 ｃ 分布如何 ，裂缝的横断面形态均为 由裂缝长度和岩石材料特性常数 Ｅ 和 确定的细长椭圆 ，而与其 中存在 的压 力分布形式无关 。裂缝形 态方程的唯一 『 生说明水力压裂裂缝具有形态相似扩展特征 。
式 （ 中 为分形裂纹扩展的弯折 角，由Ｐｐ ａ 的结 果可知 ０的 ８） ｉ ｎ ｐ 取值 范围为 Ｏ ０， 为生成元的折线段数 ， 为相 似比。将式 （ ） ４ ９ 。 ｎ ｒ ８ 代入到式 （ 得到 ： ５）
Ｋ ：Ｋｌ５ 。 ｓ （ ＋４ 。 一 （ ９）
Ｐ ４ａ
学 术 研 讨
缸 科 技 ２ １年第６ ０２ 期
用分形 方法研 究水 力压裂裂 缝扩展机 理
高 攀 ① 谢 杨 ② 刘 建 生③ 马 淑 芬①
① 西 南 石 油 大 学 国 家 重 点 实 验 室 ；② 中国 石 油 西 南 油 气 田分 公 司 ；③ 四 川 仁 智 油 田 技 术 服 务 股 份 有 限 责 任 公 司 Ｉ