《高等工程数学》课程论文
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（1） x+y=y+x； （2） （x+y）+z=x+（y+z） （3） 在 V 中有一元素 0，对于 V 中任一元素 x 都有 x+0=x； （4） 对于 V 中每一个元素 x，都有 V 中的元素 y，使得 x+y=0； （5） 1x=x； （6） k(lx)=(kl)x； （7） （k+l）x=kx+lx； （8） k（x+y）=kx+ky． 其中 x，y，z 为 V 中任意元素，k，l 为数域 F 中的任意元素，1 是 F 的乘法 单位元。 数域 F 称为线性空间 V 的系数域或基域，F 中元素称为纯量或数量，V 中元 素称为向量。 性质： （1）V 中零元素（或称 0 向量）是唯一的； （2）V 中任一向量 x 的负元素（或称负向量）是唯一的； （3）kx=0（其中 k 是域 F 中元素，x 是 V 中元素）当且仅当 k=0 或 x=0； （4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。 域的概念： 设 F 是一个非空集合，在 F 中定义加法和乘法两种运算，且这两种运算对 F 来说是封闭的，也就是说，对 F 中的任意两个元素 a，b，a+b 和 ab 仍属于 F， 如果加法和乘法运算满足以下运算规则，则称 F 对所规定的加法和乘法运算作成 一个域： 1.（加法交换律）对 F 中任意两个元素 a，b，有 a+b=b+a 2.（加法结合律）对 F 中任意三个元素 a，b，c，有 (a+b)+c=a+(b+c) 3.（存在 0 元）F 中存在一个元素，我们把它记作 0，使得对 F 中的任意元 素 a，有 a+0=a 4.（存在负元）对 F 中的任意元素 a，在 F 中存在一个元素，我们把它记作 -a，有 a+(-a)=0 5.（乘法交换律）对 F 中任意两个元素 a，b，有 ab=ba 6.（乘法结合律）对 F 中任意三个元素 a，b，c，有
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一、线性空间综述
概念：设 V 是一个非空集合，F 是一个数域，在集合 V 的元素之间定义一种代 数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任意两个元素 x 和 y， 在 V 中都有唯一的一个元素 z 与他们对应，称为 x 与 y 的和，记为 z=x+y．在数 域 F 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于 数域 F 中任一数 k 与 V 中任一元素 x，在 V 中都有唯一的一个元素 y 与他们对 应，称为 k 与 x 的数量乘积，记为 y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那 么 V 称为数域 F 上的线性空间． 满足的运算规律：
我们用一个例子来说明假设检验和 P 值检验。如果一公司其听装咖啡标签标 明：听内至少装有 3 磅的咖啡。假定我们用假设检验来验证标签的陈述是否正确。 建立原假设与备择假设，我们假定标签所说是正确的。总体的平均重量每听大于 或等于 3 磅。H0∶均值（a）大于或等于 3；H1：均值（a）小于 3。如果样本数 据说明原假设 H0 不能被拒绝，不需要对该公司采取处罚行动；如果样本数据说 明 H0 被拒绝了，那么我们接受 H1，认为听内咖啡未装满的结论成立。假定抽 取 36 听咖啡作为样本，如果其平均重量不到 3 磅，那么样本结果就将开始怀疑 原假设是否正确。我们首先假定原假设 H0 为真。若样本容量大于 3，样本均值 （b）的抽样分布就可以近似看成正态概率分布。关键的问题是检验统计量 z 小 到什么程度时，我们才有足够的证据来拒绝原假设。b）低于总体均值（a）2133 个标准差的概率是 0101。因此，如果样本统计量 z=（样本均值-3）P 样本方差 <-2133，我们就拒绝原假设，那么，我们犯第一类错误的概率将是 0.01 在原假 设为真的情况下，z<-2133 此时是一个小概率事件，如果发生了，那么我们认为 原假设不为真。但是事实上，小概率事件也是可能发生的。如果原假设为真，小 概率事件也发生了，我们因为小概率事件的发生而拒绝了原假设，此时犯了弃真 错误。
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3、将样本观测值所显示和倾向的结论作为备择假设 H1，这样如果果真拒绝原假 设，则犯错误的概率α便得到了控制。如，法官只有遵循疑罪从无的原则（这时 H0：嫌疑人无罪），昀后对犯罪嫌疑人作出的有罪判决才让人信服，如果是作有 罪推定（这时 H0：嫌疑人有罪），多半会产生冤假错案，这样的教训在过去是很 多的，现实中不时也有发生。 假设检验与 P 值检验的关系
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作用：一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的 目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用， 以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总 的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平 方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平 方和，这是一个很重要的思想。
我们已给出检验统计量 z=-2167 对应样本均值 2192，因此，P 值在概率分布 图中是在标准正态概率分布 z=-2167பைடு நூலகம்的左侧。查标准正态概率分布表，我们可以 求出在均值与 z=-2167 之间的区域面积是 014962。因此，得到样本均值小于或等 于观察值 b=2192 的概率是 015000-014962=010038，所以，P 值就是 010038，这 个 P 值说明：来自均值为 a=3 的总体的样本均值小到 b=2192 时的概率很小。
二、对假设检验的认识
简介：假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。 具体作法是：根据问题的需要对所研究的总体作某种假设，记作 H0；选取合适 的统计量，这个统计量的选取要使得在假设 H0 成立时，其分布为已知；由实测 的样本，计算出统计量的值，并根据预先给定的显著性水平进行检验，作出拒绝 或接受假设 H0 的判断。常用的假设检验方法有 u—检验法、t—检验法、X2 检 验法、F—检验法，秩和检验等。 基本原理及过程：
则 K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。 如果经过计算，组间均 方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理 造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差 异。
应用实例：
让 4 名学生前后做 3 份测验卷，得到如下表的分数，运用方差分析法可以推 断分析的问题是：3 份测验卷测试的效果是否有显著性差异？
三、方差分析的原理即应用例子
简介：方差分析又称“变异数分析”或“F 检验”，是 R.A.Fisher 发明的，用于两个及 两个以上样本均数差别的显著性检验。 由于各种因素的影响，研究所得的数据 呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究 中施加的对结果形成影响的可控因素。
P 值是按照分布计算出来的一个概率值，这个值是根据检验统计量计算出来 的，通过直接比较 P 值和给定的显著性水平α的大小可以知道是否拒绝原假设， P 值检验方法就代替了比较检验统计量的值与临界值大小的方法，而且通过这种 方法，可以知道拒绝原假设犯错误的概率。使用临界值而不是 P 值来判断拒绝与 否是前计算机时代的产物。当时计算 P 值不易，只采用临界值的概念。但从给定 的α求临界值同样也不容易，好在习惯上仅仅在教科书中列出相应于特定几个有 限的α临界值（比如 α=0.1，α=0.05，α=0.01 等），或根据分布表反过来查临界值。 现在的计算机软件大都不给出α和临界值，但都给出 P 值，让用户自己决定显著 性水平是多少。 假设检验和 P 值检验的比较
第二步，计算 F 检验统计量的值： 因为是同一组被试前后参加三次考试，4 位学生的考试成绩可看成是从同一
总体中抽出的 4 个区组，它们在三个测验上的得分是相关样本，所以可将区组间 的个别差异从组内差异中分离出来，剩下的是实验误差，这样就可以选择公式 （6.6）组间方差与误差方差的 F 比值来检验三个测验卷的总体平均数差异的显 著性。
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1、确定类型 由于 4 名学生前后做 3 份试卷，是同一组被试前后参加三次考试，4 位学生
的考试成绩可看成是从同一总体中抽出的 4 个区组，它们在三个测验上的得分是 相关样本。 2、用方差分析方法对三个总体平均数差异进行综合性地 F 检验 检验步骤如下：
第一步，提出假设：
先对总体（随机变量）的参数或总体分布形式作出一个假设，再利用样本信 息来判断这个假设是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否显著地有差 异，也就是考虑总体与假设之间的差异是偶然变异，还是确实不一致所引起的， 习惯上也称假设检验为显著性检验。
假设检验的基本原理 假设检验的基本思想就是小概率反证法思想，假设检 验中的“小概率思想”认为：小概率事件（P<0.01 或 P<0.05）在一次实验中基本 不可能发生。如果小概率事件在一次实验中居然发生了，则有理由怀疑假设的真 实性，从而可以拒绝原来的假设。
①根据表 6.4 的数据计算各种平方和为：
假设条件和假设检验： 1、方差分析的假定条件为： （1）各处理条件下的样本是随机的。 （2）各处理条件下的样本是相互独立，否则可能出现无法解析的输出结果。 （3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。 （4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。 2、方差分析的假设检验 假设有 K 个样本，如果原假设 H0 样本均数都相同，K 个样本有共同的方差σ ，
根据假设建立的不同，假设检验有双侧检测和单侧检验两种类型。若建立的 原假设是μ等于某一数值 μ0，则只要在样本统计量明显大于μ0 或明显小于μ0 两 者之一有一个成立，就可以拒绝原假设，则称这种检验为双侧检验。
①左侧检验，在样本统计量明显小于假设的总体参数μ0 时，就拒绝原假设。 ②右侧检验，在样本统计量明显大于假设的总体参数μ0 时，就拒绝原假设。 假设检验过程中的几个注意事项 原假设处于受保护的地位，选择原假设时，应遵循以下原则： 1、原假设 H0 代表久已存在状态（如已用多时的生产方法，长期使用的某种疗 法、药品），备择假设 H1 反映新的改变（如未经实践充分考验的新的生产方法， 新的诊疗方法，新药品）。 2、将可能犯的严重错误看作第一类错误，因为犯第一类错误的概率可以通过α 的大小来控制，犯第二类错误的概率β是无法控制的。如，医生对前来问诊的病 人作诊断时，可能会犯“有病看成无病”，或者“无病看成有病”的错误，两相比较， “无病看成有病”的错误更严重，故应将“问诊人有病”作为原假设；而在某项疾病 普查中，将“被检查人有病”作为原假设就不恰当。
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(ab)c=a(bc) 7.（存在单位元）F 中存在一个≠0 的元素，我们把它记作 e，使得对 F 中的 任意元素 a，有 ae=a 8.（存在逆元）对 F 中任意≠0 的元素 a，在 F 中存在一个元素，我们把它记 作 a‘(因为这里显示不了 a 的负一次方，所以用 a’代替)，有 aa'=e 9.（乘法对加法的分配律）对 F 中任意三个元素 a，b，c，有 a(b+c)=ab+ac 常见的域有：复数域 C、实数域 R、有理数域 Q，但是自然数集 N 和整数集 Z 都不是域。
经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均值不相等或不全 相等。若要得到各组均值间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本 均值的两两比较。
1、多个样本均值间两两比较 多个样本均值间两两比较常用 q 检验的方法，即 Newman-kueuls 法，其基本 步骤为：建立检验假设-->样本均值排序-->计算 q 值-->查 q 界值表判断结果。 2、多个实验组与一个对照组均值间两两比较 多个实验组与一个对照组均值间两两比较，若目的是减小第 II 类错误，最好 选用最小显著差法（LSD 法）；若目的是减小第 I 类错误，最好选用新复极差法， 前者查 t 界值表，后者查 q'界值表。
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一、线性空间综述
概念：设 V 是一个非空集合，F 是一个数域，在集合 V 的元素之间定义一种代 数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任意两个元素 x 和 y， 在 V 中都有唯一的一个元素 z 与他们对应，称为 x 与 y 的和，记为 z=x+y．在数 域 F 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于 数域 F 中任一数 k 与 V 中任一元素 x，在 V 中都有唯一的一个元素 y 与他们对 应，称为 k 与 x 的数量乘积，记为 y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那 么 V 称为数域 F 上的线性空间． 满足的运算规律：
我们用一个例子来说明假设检验和 P 值检验。如果一公司其听装咖啡标签标 明：听内至少装有 3 磅的咖啡。假定我们用假设检验来验证标签的陈述是否正确。 建立原假设与备择假设，我们假定标签所说是正确的。总体的平均重量每听大于 或等于 3 磅。H0∶均值（a）大于或等于 3；H1：均值（a）小于 3。如果样本数 据说明原假设 H0 不能被拒绝，不需要对该公司采取处罚行动；如果样本数据说 明 H0 被拒绝了，那么我们接受 H1，认为听内咖啡未装满的结论成立。假定抽 取 36 听咖啡作为样本，如果其平均重量不到 3 磅，那么样本结果就将开始怀疑 原假设是否正确。我们首先假定原假设 H0 为真。若样本容量大于 3，样本均值 （b）的抽样分布就可以近似看成正态概率分布。关键的问题是检验统计量 z 小 到什么程度时，我们才有足够的证据来拒绝原假设。b）低于总体均值（a）2133 个标准差的概率是 0101。因此，如果样本统计量 z=（样本均值-3）P 样本方差 <-2133，我们就拒绝原假设，那么，我们犯第一类错误的概率将是 0.01 在原假 设为真的情况下，z<-2133 此时是一个小概率事件，如果发生了，那么我们认为 原假设不为真。但是事实上，小概率事件也是可能发生的。如果原假设为真，小 概率事件也发生了，我们因为小概率事件的发生而拒绝了原假设，此时犯了弃真 错误。
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3、将样本观测值所显示和倾向的结论作为备择假设 H1，这样如果果真拒绝原假 设，则犯错误的概率α便得到了控制。如，法官只有遵循疑罪从无的原则（这时 H0：嫌疑人无罪），昀后对犯罪嫌疑人作出的有罪判决才让人信服，如果是作有 罪推定（这时 H0：嫌疑人有罪），多半会产生冤假错案，这样的教训在过去是很 多的，现实中不时也有发生。 假设检验与 P 值检验的关系
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作用：一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的 目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用， 以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总 的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平 方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平 方和，这是一个很重要的思想。
我们已给出检验统计量 z=-2167 对应样本均值 2192，因此，P 值在概率分布 图中是在标准正态概率分布 z=-2167பைடு நூலகம்的左侧。查标准正态概率分布表，我们可以 求出在均值与 z=-2167 之间的区域面积是 014962。因此，得到样本均值小于或等 于观察值 b=2192 的概率是 015000-014962=010038，所以，P 值就是 010038，这 个 P 值说明：来自均值为 a=3 的总体的样本均值小到 b=2192 时的概率很小。
二、对假设检验的认识
简介：假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。 具体作法是：根据问题的需要对所研究的总体作某种假设，记作 H0；选取合适 的统计量，这个统计量的选取要使得在假设 H0 成立时，其分布为已知；由实测 的样本，计算出统计量的值，并根据预先给定的显著性水平进行检验，作出拒绝 或接受假设 H0 的判断。常用的假设检验方法有 u—检验法、t—检验法、X2 检 验法、F—检验法，秩和检验等。 基本原理及过程：
则 K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。 如果经过计算，组间均 方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理 造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差 异。
应用实例：
让 4 名学生前后做 3 份测验卷，得到如下表的分数，运用方差分析法可以推 断分析的问题是：3 份测验卷测试的效果是否有显著性差异？
三、方差分析的原理即应用例子
简介：方差分析又称“变异数分析”或“F 检验”，是 R.A.Fisher 发明的，用于两个及 两个以上样本均数差别的显著性检验。 由于各种因素的影响，研究所得的数据 呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究 中施加的对结果形成影响的可控因素。
P 值是按照分布计算出来的一个概率值，这个值是根据检验统计量计算出来 的，通过直接比较 P 值和给定的显著性水平α的大小可以知道是否拒绝原假设， P 值检验方法就代替了比较检验统计量的值与临界值大小的方法，而且通过这种 方法，可以知道拒绝原假设犯错误的概率。使用临界值而不是 P 值来判断拒绝与 否是前计算机时代的产物。当时计算 P 值不易，只采用临界值的概念。但从给定 的α求临界值同样也不容易，好在习惯上仅仅在教科书中列出相应于特定几个有 限的α临界值（比如 α=0.1，α=0.05，α=0.01 等），或根据分布表反过来查临界值。 现在的计算机软件大都不给出α和临界值，但都给出 P 值，让用户自己决定显著 性水平是多少。 假设检验和 P 值检验的比较
第二步，计算 F 检验统计量的值： 因为是同一组被试前后参加三次考试，4 位学生的考试成绩可看成是从同一
总体中抽出的 4 个区组，它们在三个测验上的得分是相关样本，所以可将区组间 的个别差异从组内差异中分离出来，剩下的是实验误差，这样就可以选择公式 （6.6）组间方差与误差方差的 F 比值来检验三个测验卷的总体平均数差异的显 著性。
第4页共7页
《高等工程数学》课程论文
1、确定类型 由于 4 名学生前后做 3 份试卷，是同一组被试前后参加三次考试，4 位学生
的考试成绩可看成是从同一总体中抽出的 4 个区组，它们在三个测验上的得分是 相关样本。 2、用方差分析方法对三个总体平均数差异进行综合性地 F 检验 检验步骤如下：
第一步，提出假设：
先对总体（随机变量）的参数或总体分布形式作出一个假设，再利用样本信 息来判断这个假设是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否显著地有差 异，也就是考虑总体与假设之间的差异是偶然变异，还是确实不一致所引起的， 习惯上也称假设检验为显著性检验。
假设检验的基本原理 假设检验的基本思想就是小概率反证法思想，假设检 验中的“小概率思想”认为：小概率事件（P<0.01 或 P<0.05）在一次实验中基本 不可能发生。如果小概率事件在一次实验中居然发生了，则有理由怀疑假设的真 实性，从而可以拒绝原来的假设。
①根据表 6.4 的数据计算各种平方和为：
假设条件和假设检验： 1、方差分析的假定条件为： （1）各处理条件下的样本是随机的。 （2）各处理条件下的样本是相互独立，否则可能出现无法解析的输出结果。 （3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。 （4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。 2、方差分析的假设检验 假设有 K 个样本，如果原假设 H0 样本均数都相同，K 个样本有共同的方差σ ，
根据假设建立的不同，假设检验有双侧检测和单侧检验两种类型。若建立的 原假设是μ等于某一数值 μ0，则只要在样本统计量明显大于μ0 或明显小于μ0 两 者之一有一个成立，就可以拒绝原假设，则称这种检验为双侧检验。
①左侧检验，在样本统计量明显小于假设的总体参数μ0 时，就拒绝原假设。 ②右侧检验，在样本统计量明显大于假设的总体参数μ0 时，就拒绝原假设。 假设检验过程中的几个注意事项 原假设处于受保护的地位，选择原假设时，应遵循以下原则： 1、原假设 H0 代表久已存在状态（如已用多时的生产方法，长期使用的某种疗 法、药品），备择假设 H1 反映新的改变（如未经实践充分考验的新的生产方法， 新的诊疗方法，新药品）。 2、将可能犯的严重错误看作第一类错误，因为犯第一类错误的概率可以通过α 的大小来控制，犯第二类错误的概率β是无法控制的。如，医生对前来问诊的病 人作诊断时，可能会犯“有病看成无病”，或者“无病看成有病”的错误，两相比较， “无病看成有病”的错误更严重，故应将“问诊人有病”作为原假设；而在某项疾病 普查中，将“被检查人有病”作为原假设就不恰当。
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(ab)c=a(bc) 7.（存在单位元）F 中存在一个≠0 的元素，我们把它记作 e，使得对 F 中的 任意元素 a，有 ae=a 8.（存在逆元）对 F 中任意≠0 的元素 a，在 F 中存在一个元素，我们把它记 作 a‘(因为这里显示不了 a 的负一次方，所以用 a’代替)，有 aa'=e 9.（乘法对加法的分配律）对 F 中任意三个元素 a，b，c，有 a(b+c)=ab+ac 常见的域有：复数域 C、实数域 R、有理数域 Q，但是自然数集 N 和整数集 Z 都不是域。
经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均值不相等或不全 相等。若要得到各组均值间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本 均值的两两比较。
1、多个样本均值间两两比较 多个样本均值间两两比较常用 q 检验的方法，即 Newman-kueuls 法，其基本 步骤为：建立检验假设-->样本均值排序-->计算 q 值-->查 q 界值表判断结果。 2、多个实验组与一个对照组均值间两两比较 多个实验组与一个对照组均值间两两比较，若目的是减小第 II 类错误，最好 选用最小显著差法（LSD 法）；若目的是减小第 I 类错误，最好选用新复极差法， 前者查 t 界值表，后者查 q'界值表。