傅里叶光学 第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质.

P
x,
y
1 0
透镜孔径内 其他
于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：
其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到 入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
01
R1
1
1
x2 y2
R12
仅考虑旁轴光 2
x,
y
02
R2
R22
x2 y2
02
R2
1
1
x2 y2 R22
x2 y2 1 R22
x2 y2
1
2R22
x, y
0
x2 y2 2
1 R1
1 R2
1、透镜的位相调制作用
1.3 透镜的复振幅透过率
1 f
n
1
1 R1
1 R2
(n为透镜材料的折射率)
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
j
k 2f
x2 y2
常数项
透镜位相因子
1、透镜的位相调制作用
✓以上推导的关系适用于各种形式的薄透镜，而且是在旁轴近似条件下推
导出来的。
✓透镜的作用： 将入射平面波变换为会聚（发散）球面波 ，如下图所示。
1 1 1 (为透镜的焦距) di d0 f
exp
j
k 2
x2 y2
1 1
k
di
d0
exp
j
2
f
x2 y2
1、透镜的位相调制作用
因此，透镜的位相调制因子：
tl
x,
y
Ul Ul
x, x,
y y
exp
jk
d0
di
exp
j
k 2f
x2 y2
结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功 能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？
k 2d0
x2 y2
x2 y2
exp
jk
d0
di
exp
j
k 2
x2 y2
1 di
1 d0
(常数项)
(调制项)
✓对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相
对空间分布，分析时可忽略掉。
✓对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换
为会聚球面波。根据几何光学中介绍的透镜成像公式
入射平面波变换为球面波，这正是由于透镜具有
exp
j
k 2f
x2 y2 的位
相因子，
能够对入射波前施加位相调制的结果。
1、透镜的位相调制作用
1）若在非旁轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将 偏离理想球面波，即透镜产生波像差。
2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函 数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即
jkf
exp
j
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学•第2版》电子教案
第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质 周哲海 吕乃光 编著
机械工业出版社
本章主要内容
1、透镜的位相调制作用 2、透镜的傅里叶变换性质 3、光学频谱分析系统
0、序 言
透镜是一种非常重要的光学元件，其主要功能包括：成像和傅里 叶变换。
d
f
透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅立叶变换(空间频谱)
根据透镜的位相调制功能，透镜后端场U2(x,y)为:
U
2
x,
y
U1
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦
面上的场U(x,y)为：U f
xf , yf
1 j f
exp
Answer:
等相位面
透镜本身的厚度变化，使得入 射光波在通过透镜的不同部位 时，经过的光程差不同，即所 受时间延迟不同，从而使得光 波的等相位面发生弯曲。
1、透镜的位相调制作用
1.2 透镜的厚度函数 主要考虑薄透镜的情况 (忽略了折射效应)
如果进一步忽略光在透镜表面的反射以及透镜内部 吸收造成的损耗，认为通过透镜的光波振幅分布不 发生变化，只是产生一个大小正比于透镜各点厚度 的位相变化，于是透镜的位相调制可以表示为：
1）透镜的成像功能
2）透镜的傅里叶变换功能
（夫琅和费衍射）
f
f f
Question: 透镜为什么具有这样的功能？
1、透镜的位相调制作用
1.1 透镜对入射波前的作用
透镜的复振幅透过率：
tl
x,
y
U
l
Байду номын сангаас
x,
y
U x, y
在旁轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的
复振幅分布为
Ul
f
✓ 透镜为什么具有这种功能呢？ *** 根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的 二次位相因子在起作用。 ✓ 下面将具体分析一下这种作用发生的具体过程，并深入讨论透镜实现傅里 叶变换的一些性质。
2、透镜的傅里叶变换性质
2.1 物体放置在透镜前d处 U0
Ul
U2
Uf
t(x0,y0)
根据厚度函数的表达式，可得到在旁轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生 的位相延迟
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 R1
1 R2
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
jk
n
1
x2 y2 2
1 R1
1 R2
x,
y
A exp
jkd0
exp
j
k 2d0
x2 y2
Ul
x,
y
A exp
jkdi
exp
j
k 2di
x2 y2
1、透镜的位相调制作用
则透镜复振幅透过率表示为：
tl
x,
y
Ul x, Ul x,
y y
A
exp
jkdi
exp
j
k 2di
A exp
jkd0
exp
j
1、透镜的位相调制作用
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
tl x, y exp jk x, y exp jkL x, y
L(x,y)是Q到Q’之间的光程：
L x, y n x, y 0 x, y 0 n 1 x, y
则
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
L(x,y)
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)， 就可以根据该式得到其位相调制。