高中数学思维导图大全

国
｀截式： y ＝妇干 b
＇，两点式:� V-VI-＝－X-— X1 芍( :¢:X动 五） y?-P1 芬寸
！截距式: :＋责＝ l （吐 0,b#o)
注意（1)截距百 :，可负，也可
1彝为o. (2)方程
各种形式的变化 和适用范围
宜 线
一般式：Ax+By+ C = O(AB-:f:. o)
的
两直线 行
序性
组合的分类
＾集 卜巳渠合的表示一 口
列举法，特征性质描述法、Veen图法 性质
(2)A云小(3)则A�B则A.::B或4=， 凡 (4)若A�B, B竺C，则AGC; (5)含有11. '个元素的集合有2“ 个子无宇 有2片－i 个真丁采：
(6)E心；的区别�E表示元素与集合关系
已表示集合与集合关系； (7)屿｛叶区别· 一 般地，a表示元压 ｛叶表示只有 一 个元素tr的菜合：
咖
(
5 l， 万
L1 5 ｀ 为方向向泣｝
la•司 lal• 2直线与平面的夹角6cosO=
恒|
（a 为直线方向向址，行为平面法向盘｝
I· 杭I 面角0:cos_0·=� 匠．开介 1 枫
飞，h，．为两平面 向优）．
倾斜角与斜卒
倾斜伽「包18OO)和斜率K气na的变化
！点斜式：，V － y0 ＝沁－X。)
,p) +b
描点法（五点作阻法— ） I 斗几何作图法
对称轴．（正切函数 除外）经过函数图 象的蚊扁氓t低）
点且垂直x轴的直线
对称中心是正余弦函
＿佟］象的零点，正切 函数的对称中心为 （一 .k.2it ，．0) (kGZ)
碑象可由正千玄曲线经过平移、伸缩得到，但耍注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同：
, 3)圆心在对由上的创系： x2 +o-b)·2 =I'2(b, 1为参数贼：Jt： 十'y2 +Ey+F =o(EF为参数，且E2 -4F> o)
4)过陌点的圆系：． （x-a)？ 十 (y-.b)2 =a2 +b溥庄＋y2 +Dx+ lly:::.: 0; 5)过两已知圆交点的圆系：x2 +y2 +D1x+E\y+F1 +义(x2 +y: +D2x+E3y+F2 )＝0（不
@l图象也可以用五2点作凶法＠用整i
；
＠最小正周期T＝工；＠对称轴x＝杻望堕竺琶气寸盓赞昙岱也担色 b) （K竺Z).
树－
？斤｝
内
二角函数模型的简单应用
生话中、建筑学中、航海中、物理学中等
1 解三角形
v
［平面向量
正弦定理
－ －－
－
余弦
实际应用 - -－ －
| 向困的概念
,I
五
1
| =2R及变式
：也心知四角和任 一边，解三角形； 知两边和其中 一边的对角，解三角形令
（C;, CrJ.4)＝A:
包）Cu （如亦（心）U亿B} 则--,P||(5)分配饵An(BU生 (AnB)U(A(lC);
AU(Bnc)= (A UB)(l(4UC} (6)结合律: Afl (Bnc),; (A门B)nc:
IU (B UC)"'(A UB)U
。 : r;/.v EM. p(x}. 贝仁p: 3x Ei\if, -.p伈）
cos(a,5) ＝三 la|，． l矿了 ＝ （坐标表示）
七
伈－x,）
＋仇－y1
2
)
＋亿－Zl
：：
)
恒 ·b
l求 面直线的夹角0;C-0sO=
呵
＿
立体几何中 的向从方法
向员法证两直线平行与垂直
点到平面的距离： d=E 硐计为平面a的法向 ＝言厂 [M ea,P 红
线面距 面面距都可转化为点面距
｀一
j(x门）＝f（x)；周期为T的奇函数有：f(T)=j(T/2)＝I,(0)
二次函数、品本不等式 i 对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等竺
换
（反）比例函数
换
一次（二次）函数
一指数函数与对数函数
I
秘函
三角函数
1函数 求根法、二分法、图象法：
任邸角与弧度制； 单位囡
言角 二间的角
归石， 5共面～ P= 迈＋ y5阮
或万;=x万＋y石油污予＝OA+xAB+yAC
=.\'.瓦＋y画＋z改（其中x+y+z=l)
5, 节＝ x扣 yS+Ze(5,
，e 不共面
设 OABC是不共面四点，则对任一点 P
=X瓦i+ V啼＋zOC(x, v, 2ER,l
...／IE;;;;;:;: 迈（a4i 店 R＼召上� ·a-b = o
2
#
丐 Q”
数
牲0,"界0
逐差累加法
等斗
＂ 项；2.a n·+l 二 a．
+a － 几十
列
常见递推 及方法
@，am1 - a"；；；；；，几｝
l－
一(一,2生 一九—二 ＝八－n}－一 毯）”归＝p（l”+(I
－一
忆 上
＠ 怀｝正1ql= ,1（r -aml ＠ am1 = pan +q”
逐寐累积t
扒斗＞ g(x压f（中心)iJ(x)< -g(x) 扒寸池(xl叫I（寸2 > lg(,x>t
形刘x-al叶x 刁 斗＜c,可分段讨论或用
L绝对值几何意义求解．
映 射
B A中元素在 中都有唯一,I.K'l">A，， .n,- 丫了—
（ 一一映射）
函数的概念
凸I
函
函数的 骆本性质
数 I I I函数岱见的来自圆 的 方点和圆的 位过关系
. TI
点在圆上-d=I`~伈 1 -a.)3 ＋伈－ bY=1.2
B=O :i+E2 -4F>O
。 ， 点在圆外¢:"..'> d>1.. -伈-，叶＋从－b）2 >r2
v ， 或d＞ ．
弦长公式：代数法：但I=�卜1 －斗
程
茼线和圆的
位罚关系
>0,或d<r 1
』言丙（斗＋寸－ 4xi x:
－ “2 =b2+C: 2议cos
矿 = q1 +十··-cC1; -2GCC(lsB
求角
c2 =a2上＋.,b2 － 2dbcos
解的个数是
个 解
？·？
三
丽个？还是
·
片范围： 0
知两
边和它们的夹舟解三角形。
沁c =－I nh_=.－I qbsinC 22
＋厂） 寸p(p-“}(p-b)(p-C)（其中p= n
炉k2， 且h＊l'』或钻＝ILB，且．＂尸必:1·
方 程
平面内两条 位冗关系
两肖线相交
H 两直线垂白 女．K2=－ l，或伈＋邸产°
I Kl飞如B尸 4.B』
= k'l.,且bl ＝忙．． 或扭2 = 4B1且4口－，吟～＇气
式 l"'+ 从－ y1 )忑 俨
一产 心
= IC』 -c·117
［西直线夹角 ,.叶哥归(40:！0;；｀
竿比
－． 造等比数列扣／,+
....L
p-I
构造等差数列
ll
-
n暨
斗
=p
项·.
．a2-－ 叶l
=
an.“n+2
化为气L:::::, E ．生打转化为＠ q qq
－
－
公式法：应
l 毗数列的前碌和公式
常见的求和方法
倒序相加法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法
方和公式：
－ 立 Z•
．王1
k=
1 2
n(n
“2.2
an=aI1 +'(n － iM =％正，心
O,，气·q',rI 气，”，．（＂ l 喟
求和 性质 判断
4血二如 :=!2!.（a三）＝双午
am +a片＝ ap＋aq
a,;,1飞＝常数
=
：汇呻＝ l时）
2,
2a 立，, '
a-a凇土凸 ＝常＝数aP
4 ． alq-立 =q q竺 -2 匕l刁 二(q
＂ ·b
a方向上的投影为忙lc.osO-=�
兰ql
a•b
o与b令夹角为0则函0 =
l
"/b- bl＝从06--｀沁 －
~ 上b a.b = 0 - x1x2+yl
向 的应用
平面』解析）几何中的应用；在物理（力向植、速度向党）中应用
祒雇： a，，..j(io |—寸数列妇江的百数）
递推公式
--
li a,，知，』的关系
it p(x0 }. 贝仁p:VxEM, -,p(x)
基本性质 比较大小问匙
二元 一 次不等式』i)与
不
简单的线性规划问题 ....
等
L何意义： z是直线
吓－by-z=O在x轴截距 的叶音，y轴上截距的
., -“' \二b—— 倍
r 构造距离z =,Jr;.气l)2中－I} 勹
和为定伯．积有技大伯；积为定们，和有垃小仇．“一正二定三相笋 ”
＝生依是外归圆半径） R
＝ 一I （吓b+c)· r�是内切圆半径） 2
三(l个)角解中三“角知形三l讨求，三 二 ＇俨i 条o边稻 (2)解三角形应用题步骤： 先准确理解题意，然后画出
示意阳，再合理选择定理求 解。尤其理解有关名词，如 坡角、坡比、仰角和俯角、 方位角、方向角笱。
H＝如－劝：： 中2.一 ），'，）:
标准方程： (x-a)七(i,止.b)号2
为直径圆方程：
X' - ＼i
\i
一舟女方程：
宁色·)心Dx+Ey+F=O(D让E文4160
r 点在圆内¢::.·d < r ¢=:>-(x0 - a ＋伈－b)飞，．：
二次过方二程＿.． 0 B灯 ＋ Cy2 + Dx+Ey+F.::; 0
的充要条件是 A=C#0
儿种变换
分段函数
门
- •O<..仁1过女中扣」lJ:.: I气1>1;1:1.1·己吹c ·- ----- -- -- --·-------···---· ;t;�o ”“r七＾～～二曰关千原点对称，再疗心）吹x)还是-f{x)
夼函数即象关于原点对称，若 有救义，贝状0)=O 偶函数图象关 千y轴对称，反之也成立。
几何法：凶沪24丈石了
v
圆和圆的位 冗关系
用两圆方程组解的个数是0.L2:
扣－，;l<d勺＋ J；台相沁
-'i+片今外切；d=li;-1＇,k； 内切：
召今外 离_;_0<
离、中点如
几种常见的直线系：
(l)共点P(x。, Y!) ）直线系：y- J,\ =·k(x-xl!) )；特殊地y＝杠＋b表示过点(0, b）' 的直线系，不包括y轴
+
l)
，t_
K
= -l n(n +,1)(212 + J) 6
• _,
k1=
fL2· ,j(n
+
"\ ＇ l)
右1、司
空
及其运
间
向
蜇
与
立
体
几
何
间向批的 加减运算
空间向眼的 数乘运饵
定理 共面向
定理
匀司向呈 菇本定理
宁佯j
坐标运算
向扭距漓 内线的方向向
沁 a II b ¢;> ii "" -1 ER)或 乔4万＋ 1a（压 R， a为J方向向一 ＼
(8){0均｝， 4区 别·伈｝扣侬示集合，
表示空集，釭三位｝，小三杨｝．
奂合的基本运饵 存在命题
数轴、识en图 函数图象
l)AUA=A, 1.'InA=A,
AU小＝ A An砂＝护 (2).A nB =A.:=,仁B, AUB=A-B 仁心
叩己A（如忙 AUB:
(3)AU(CrrA)eU: AO(CuA)吵
气 ｀卜
』
） 或占广＋D，2x+E2y＋启＋入（无1 +y2 + Dix+．切＋E =0,（不含C't }（其中A为参数）
] 1直线与圆锥曲线的位置关系：
c,{ 1直线i: Ax+By+C=0亨二次曲线 Ax/+(Bx,vy+)＝C0=0的f
系:交点个数与方程组有几组解一一 对应
其交点坐标就 飞组的解；．2．弦长：I航＝』了可芍－ x2`l(K为直线l的斜率）
— 吓 2abb s
尽
s
a+b. la耳'-h2
了三归丁
分a>O�a<cO气a=O(b2':0.b<O）讨论 分少0,q<0.A>0,A=0, A<0讨论
解不等式 解不等式组
＞ 0~ 八x)忒伞吐兴�o一八x)· g(x);?:0且心）臼 O
.,11 利用性质转化为代数 底数a的讨论
闪<g冈·~－心）＜兀Ji<g勹lJr
(2)平行直线系: y = kx+b(k为参数）表示斜率为K的平行直线系；．Ax+By= l（入为参数）表示与已知 Ax+By+C =O平行的直线系；Bx-Ay＝儿（．A为参数）表示与已知A,,t:+By+C=O垂直的直线系
(3)过两直线交点的直线系北为参数）AmBy,+Cl +A亿x+By3 +CJ=O（不包括l"},
lit· 义1弧度的角
象限角 锐角、小于9伊的角
＠角度与弧度互化； ＠特殊角的弧度数·; ＠弧长公式、扇形面积公式
三
角
同角三角函
函
数
任悉角的三角函数
芒竺巴尸奇变偶不变，符号看象限
和（差）角
“r的 公式正用、逆用、 氏形
及
代换
化简、＿求值、证明（恒等式）
＝角函数的图象
正弦函数广”“X
余弦函数y=co立
心＋B片＋C2 +A(4x+ByI 气）＝ o(不包括ll )
几 常见的圆系：
>。 ） 1)同心，圆系： （X － cl)江U-b)2 =I.2,（a, r为参数）或x2 + y2 + J)x
Ey
+
D, E为常数，F为参数． F~O（且厅 ＋ E2 -4F
(2)圆心在x轴上的圆系(x-a)'.l +y2 ＝户（p, r为参数）或寸＋y2 +Dx+F =·O(D. F为参数，且炉－4F >0}
3椭圆上M(．沁Y。M尽处的切线为上矿江孕b 二＝屈
曲线上M伈
丸
）点处的切线为：呈a·
－
尘;=l 矿
求曲线的方程
轨迹方程的求法：直接运、
定义法、相关点法、参数法
曲线
纯粹性与
哎两曲线的交 ，m