北京市西城区2019-2020学年上学期 八年级期末考试数学试卷

北京市西城区2019-2020学年上学期初中八年级期末考试数学试卷
本试卷共三道大题，26道小题。

满分100分。

考试时间100分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）
第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 下列图案中，是轴对称图形的是
2. 下列因式分解正确的是 A. 6)5(652
+-=+-m m m m B. 2
2)12(14-=-m m C. 2
2
)2(44+=-+m m m
D. )12)(12(142
-+=-m m m
3. 下列运算正确的是 A. 823-=-
B. 623-=-
C. 8
1
23=
- D. 6
123=
- 4. 下列各式从左到右的变形正确的是
A.
11
2+=+a a
a
B. 2
22225
1025abc c ab b a -=- C. b
a b a a b a b +-=
---
D. 3
1
392+=--m m m
5. 如图，在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，D 为AC 边的中点，若BC ＝6，则BD 的长为
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
6. 以下关于直线42-=x y 的说法正确的是
A. 直线42-=x y 与x 轴的交点的坐标为（0，－4）
B. 坐标为（3，3）的点不在直线42-=x y 上
C. 直线42-=x y 不经过第四象限
D. 函数42-=x y 的值随x 的增大而减小
7. 如图，在△ABC 与△EMN 中，a MN BC ==，b EM AC ==，∠C ＝∠M ＝54°，若∠A ＝66°，则下列结论正确的是
A. c EN =
B. EN ＝a
C. ∠E ＝60°
D. ∠N ＝66°
8. 在平面直角坐标系xOy 中，A （1，3），B （5，1），点M 在x 轴上，当MA+MB 取得最小值时，点M 的坐标为
A. （5，0）
B. （4，0）
C. （1，0）
D. （0，4）
9. 程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q 在轨道槽AM 上运动，点P 既能在以A 为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN 上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图。

有以下结论：
①当∠PAQ ＝30°，PQ ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ ②当∠PAQ ＝30°，PQ ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ ③当∠PAQ ＝90°，PQ ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ ④当∠PAQ ＝150°，PQ ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是 A. ②③
B. ③④
C. ②③④
D. ①②③④
10. 如图1所示，A ，B 两地相距60km ，甲、乙分别从A ，B 两地出发，相向而行，图2中的1l ，2l 分别表示甲、乙离B 地的距离y （km ）与甲出发后所用的时间x （h ）的函数关系。

以下结论正确的是
A. 甲的速度为20km/h
B. 甲和乙同时出发
C. 甲出发1.4h 时与乙相遇
D. 乙出发3.5h 时到达A 地
二、填空题（本题共20分，第11～15题每小题2分，第16、17题每小题3分，第18题4分） 11. 若分式
1
3
-+x x 的值为0，则x 的值为___________。

12. 计算：235---⋅ab b a ＝__________（要求结果用正整数指数幂表示）。

13. 在如图所示的“北京2008年奥运会开幕小型张”中，邮票的形状是一个多边形，这个多边形的内角和等于____________°。

14. 据印刷工业杂志社报道，纳米绿色印刷技术突破了传统印刷技术精度和材料种类的局限，可以在硅片上印刷出10纳米（即为0.000 000 01米）量级的超高精度导电线路，将0.000 000 01用科学记数法表示应为___________。

15. 计算：2
3)32(b
a -＝____________。

16. 直线62+-=x y 与x 轴的交点为M ，将直线62+-=x y 向左平移5个单位长度，点M 平移后的对应点M '的坐标为______________，平移后的直线表示的一次函数的解析式为_____________。

17. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，BD ∥AC ，BD ＝AB ，且C ，D 两点位于AB 所在直线两侧，射线AD 上的点E 满足∠ABE ＝60°。

（1）∠AEB＝___________°；
（2）图中与AC相等的线段是_____________，证明此结论只需证明△________≌△_______。

18. 如图1所示，S同学把一张6×6的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，剪去多余部分只留下阴影部分，然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案。

T同学说：“我不用剪纸，我直接在你的图1②基础上，通过‘逆向还原
．．．．’的方式依次画出相应的与原图形成轴对称的图形也能得出最后的图案。

”画图过程如图2所示。

对于图3中的另一种剪纸方式，请仿照图2中“逆向还原
．．．．”的方式，在图4①中的正方
形网格中画出还原后的图案
．．．．．．．．，并判断它与图2中最后得到的图案是否相同。

答：□相同；□不相同。

（在相应的方框内打勾）
三、解答题（本题共50分，第19～24题每小题6分，第25题、26题每小题7分） 19. 分解因式： （1）324b b a -；
（2）)2()2(a b x b a y -+-。

20. 化简并求值：x
y x x xy y x 2
22)2(-÷-+，其中y x 4=，且y x ,均不为0。

21. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 两点分别在AB ，AC 边上且BE ＝CF 。

求证：DE ＝DF 。

22. 如图，直线2
3
21:1+=x y l 与y 轴的交点为A ，直线1l 与直线kx y l =:2的交点M 的坐标为),3(a M 。

（1）求a 和k 的值； （2）直接写出关于x 的不等式
kx x <+2
3
21的解集； （3）若点B 在x 轴上，MA MB =，直接写出点B 的坐标。

23. 解决问题：
小川同学乘坐新开通的C2701次城际列车，它从“北京西”站始发直达终点“大兴机场”站，但因列车行驶的全程分别属于两段不同的路网A 段和新开通运营的B 段，在两段运行的平均速度有所不同，小川搜集了相关信息填入下表。

线路划分 A 段 B 段（新开通） 所属全国铁路网
京九段 京雄城际铁路北京段 站间
北京西—李营
李营—大兴机场
里程近似值（单位：km ） 15 33 运行的平均速度（单位：km/h ）
所用时间（单位：h ）
已知C2701次列车在B 段运行的平均速度比在A 段运行的平均速度快35km/h ，在B 段运行所用时间是在A 段运行所用时间的1.5倍，C2701次列车从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要多少小时？（提示：可借助表格解决问题） 24. 尺规作图及探究： 已知：线段AB ＝a 。

（1）完成尺规作图：
点P 在线段AB 所在直线上方，PA ＝PB ，且点P 到AB 的距离等于
2
a
，连接PA ，PB ，在线段AB 上找到一点Q 使得QB ＝PB ，连接PQ ，并直接回答∠PQB 的度数；
（2）若将（1）中的条件“点P 到AB 的距离等于
2
a
”替换为“PB 取得最大值”，其余所有条件都不变，此时点P 的位置记为P '，点Q 的位置记为Q '，连接Q P ''，并直接回答∠B Q P ''的度数。

25. 小山同学结合学习一次函数的经验和自己的思考，按以下方式探究函数x x y -+=|1|的图象与性质，并尝试解决相关问题。

请将以下过程补充完整：
（1）判断这个函数的自变量x 的取值范围是________________； （2）补全表格：
x
… －3 －2.5 －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 … y
…
5
4
3
1
1
1
…
（4）填空：当1-≤x 时，相应的函数解析式为____________（用不含绝对值符合的式子表示）；
（5）写出直线1+-=x y 与函数x x y -+=|1|的图象的交点坐标。

26. 如图1，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，连接AD ，AE ⊥AD ，AE ＝AD ，连接CE ，DE 。

（1）求证：∠B ＝∠ACE ；
（2）点A 关于直线CE 的对称点为M ，连接CM ，EM 。

①补全图形并证明∠EMC ＝∠BAD ；
②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当D ，E ，M 三点恰好共线时点D 的位置，请直接写出此时∠BAD 的度数，并画出相应的图形。

附加题
试卷满分：20分
一、填空题（本题6分）
观察以下等式：
21)1(21)1(+-=⨯-， 32)2(32)2(+-=⨯-， 43)3(43)3(+-=⨯-， 5
4)4(54)4(+-=⨯
-， ……
（1）依此规律进行下去，第5个等式为___________，猜想第n 个等式为_________（n 为正整数）；
（2）请利用分式的运算证明你的猜想。

二、操作题（本题7分）
已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P 。

任务：借助折纸在纸片上画出过点P 与BC 边平行的线段FG 。

阅读操作步骤并填空：
小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务。

在小谢的折叠操作过程中，
（1）第一步得到图②，方法是：过点P 折叠纸片，使得点B 落在BC 边上，落点记为
B '，折痕分别交原AB ，B
C 边于点E ，
D ，此时∠B ED '即∠EDC ＝__________°；
（2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，并求∠EPF 的度数；
（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED ，FG 得到图④。

完成操作中的说理：
请结合以上信息证明FG ∥BC 。

三、解答题（本题7分）
如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”。

（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知)3,1(),3,1(),1,3(---Q P S ，
)4,2(-M 。

①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”； ②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线)0(3<+=k kx y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为),(C C y x C 。

①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值； ②若点C 的纵坐标C y 满足21≤<-C y ，直接写出相应的k 的取值范围。

【试题答案】
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
D
C
C
A B
A
B
C
C
二、填空题（本题共20分，第11～15题每小题2分，第16、17题每小题3分，第18题4分） 11. －3
12. 541b
a
13. 720 14. 8
101-⨯
15. 2
6
94b
a 16. )0,2(-（1分），42--=x y （2分）
17. （1）45（1分）：（2）BE （1分），ABC ，BDE （1分）。

18. 见图1（3分），不相同。

（1分）
三、解答题（本题共50分，第19~24题每小题6分，第25题、26题每小题7分） 19. 解：（1）324b b a -
)4(22b a b -=
1分 )2)(2(b a b a b -+=。

3分
（2）)2()2(a b x b a y -+-
)2()2(b a x b a y ---= 1分 ))(2(x y b a --=。

3分
20. 解：x
y x x xy y x 2
22)2(-÷-+
2
2
222y x x x xy y x -⋅-+= 2分
))(()(2y x y x x
x y x -+⋅-=
4分
y
x y
x +-=。

5分
当y x 4=，且y x ,均不为0时，原式＝5
3
5344==+-=+-y y y y y y y x y x 。

6分
21. 证明：如图2。

∵在△ABC 中，AC AB =， ∴∠B ＝∠C ，
1分
∵D 为BC 的中点，
CD BD =∴。

2分
在△BDE 与△CDF 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=,,,CF BE C B CD BD 4分
∴△BDE ≌△CDF ， 5分 ∴DF DE =。

6分
22. 解：∵直线1l 与直线2l 的交点为),3(a M ，
),3(a M ∴在直线2
3
21+=
x y 上，也在直线kx y =上， 将),3(a M 的坐标代入2321+=
x y ，得a =+2
3
23，
解得3=a 。

2分
∴点M 的坐标为)3,3(M ，
将)3,3(M 的坐标代入kx y =，得k 33=， 解得1=k 。

3分 （2）3>x 。

4分 （3）)0,2
9(),0,23
(21B B （如图3）。

6分
23. 解：设C2701次列车在A 段运行所用时间为t （h ），则在B 段运行所用时间为1.5t （h ）。

1分
根据题意可得
3515
5.133=-t
t ， 2分
化简，得
3515
22=-t
t ， 方程两边乘以t ，得t 351522=-， 化简，得735=t ， 解得2.0=t ，
3分 经检验，原分式方程的解为2.0=t 。

4分
2.0=t 符合实际意义，
C2701次从“北京西”站到“大兴机场”站所需要的时间为
)(5.02.05.25.25.1h t t t =⨯==+。

5分
答：C2701次从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要0.5小时。

6分
24. 解：（1）作图见图4。

3分
67.5。

4分 （2）作图见图4， 5分 60。

6分
25. （1）全体实数。

1分
（2）
x
… －1.5 －1 1.5 … y
…
2
1
1
… 3分
（3）画图象（见图5）。

4分 （4）12--=x y 。

5分 （5）)1,0(),3,2(-（如图6所示）。

7分
26. （1）证明：如图7，
∵∠BAC ＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°， ∵AE ⊥AD ， ∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠2。

在△ABD 与△ACE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=,,21,AE AD AC AB ∴△ABD ≌△ACE ， 2分 ∴∠B ＝∠ACE 。

3分 （2）①补全图形见图8。

4分
证明：∵点A 关于直线CE 的对称点为M ，点C ，点E 在对称轴上， ∴△EMC ≌△EAC ，
EAC EMC ∠=∠∴
∴∠EAC=∠BAD, ∴∠EMC ＝∠BAD 。

5分 ②22.5，
6分 符合题意的图形见图9。

7分
附加题答案及评分参考
一、填空题（本题6分）
解：（1）6
5
)5(65)5(+-=⨯
-， 1分
1
)(1)(++
-=+⋅
-n n
n n n n 。

3分
（2）证明∵1
1)(2
+-=+⋅-n n n n n ， 111)1(1)(2
2+-=++--=+++-=++-n n n n n n n n n n n n n ，
1
)(1)(++
-=+⋅
-∴n n
n n n n 。

6分
二、操作题（本题7分）
解：
（1）90。

1分
（2）过点P 折叠纸片，使得点D 落在PE 上，落点记为D '，折痕交原AC 边于点F 。

3分
解：由折叠过程可知∠PF D '＝∠EPF ＝∠DPF ， 4分 ∵D P D ,,'三点共线， ∴∠PF D '＋∠DPF ＝180°， ∴∠PF D '＝90°， ∴∠EPF ＝90°。

5分
完成操作中的说理：
∵∠EDC ＝90°，∠EPF ＝90°， ∴∠EDC ＝∠EPF ， 6分 ∴FG ∥BC 。

7分
三、解答题（本题7分）
解：（1）①点P ；
1分
②答案不唯一，点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”。

3分
（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC ＝∠AOB ＝90°。

∵直线)0(3<+=k kx y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点B 的坐标为)0,3
(),3,0(k
A B -
在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点),(C C y x C ， ∴∠ABC ＝90°，BC ＝BA ， ∴∠1＋∠2＝90°， ∵∠AOB ＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠1=∠3。

∴△BFC ≌△AOB ，
∴3==OB FC ， 可得OE ＝3。

∵点A 在x 轴的正半轴上且3<OA ，
0<∴C x ，
∴点C 的横坐标C x 的值为－3。

5分 ②4
3
3-
<≤-k （如图2）。

7分。