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[k ][ ] [ p ]
{ } [u 2 u 3 u 4 ]T
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1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
. . . 1 node
A
B
.. .
分离但节点重叠的 单元A和B之间没有 信息传递（需进行 节点合并处理）
A
B
...
具有公共节点 的单元之间存 在信息传递
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1.6 节点和单元 (续)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
I L
I P
M L
I
J
三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
I
K
二维或轴对称实体单元 L
第一章 有限元基本理论
物理系统
平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件
简 有限元离散 (假定单元内位移函数)
单 化
单元的位移场
单元节点关系
求解区域的位移场、应力场
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1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等
于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布 ，
即：
u
ui
ui1 ui li
(x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xi )
u [ N ]{ }e
[ N ] [ xi1 x xi1 xi
] x xi
xi1 xi
{ }e [u i u i1 ]
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1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
2
1.2 有限单元法的基本思想
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
❖ 选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单 元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的 分布规律。
❖ 利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知 量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度 问题化为离散域中有限自由度问题。
单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵)。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
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1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
x e2Gx y e2Gy z e2Gz
11E2
xy yz
G Gxyyz
zx Gzx
拉梅系数
exyz 体积应变
G
E
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剪切模量
7
1.3.4 边界条件
l x l xy
m yx m y
n zx n zy
X Y
l xz
m yz
n z
Z
应力边界条件
u uv vw w位移边界条件
8
1.4 有限元模型
3
几何体
1.3 物理系统举例
载荷
物理系统
结构
热
电磁
4
1.3.1 平衡方程
x
x
yx
y
zx
z
X
0
xy
x
y
y
zy
z
Y
0
xz
x
yz
y
z
z
Z
0
5
1.3.2 几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy yz
v x w y
u y v z
zx
u z
w x
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1.3.3 物理方程(本构方程)
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
有限元模型
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1.5 自由度(DOFs)
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
ROTX UX
结构 DOFs
问题
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
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1.6 节点和单元
载荷
节点:空间中的坐标位置，具有一定 自由度和存在相互物理作用。
❖ 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来 的（如：结构应力、热梯度）。
nodal solution UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
element solution σ、ε、E
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1.7 单元形函数(续)
❖ 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs， 就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是 通过单元形函数推导出来的。
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1.7 单元形函数(续)
DOF值二次分布
.
.
二次曲线的线性近似 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
1
节点
单元
2
节点
单元
线性近似 (更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
3
节点
单元
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.
.
4
节点
单元
15
1.7 单元形函数(续)
❖ DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实 解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。
UX, UY
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维实体热单元 TEMP
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1.7 单元形函数
• FEA仅仅求解节点处的DOF值。 • 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值 到单元内所有点处DOF值的计算方法。 • 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的 “形状”。 • 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 • 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响 求解精度。
li 1
li
2
q(li1 li ) 2
为第i个结点上承受的外载荷
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1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
EA a
EA a
(2u2
u3)
qa
(u2 2u3 u4)
qa
EA a
(u3
u4 )
qa 2
❖ 有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应 变和应力用节点位移表示的公式：
i
du ui1ui
x dx
li
E i
i
E(ui1ui )
x
x
li
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1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
E(u A i ui 1) E(u A i 1 ui) q(li 1 li)
❖ 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并 接受该种单元类型所假定的单元形函数。
❖ 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必 须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述 所要求解的问题。
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1.8 直杆受自重作用的拉伸问题
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1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每