苏教版高中数学选修2-2《2.2.1 直接证明》教案

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苏教版数学高二选修2-2学案直接证明

2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理直接证明阅读教材P82～P84“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论.2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.(2)推证过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件.1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)证明不等式“2＋7<3＋6”最合适的方法是分析法.( ) (4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2.命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝1＋cos 2θ2－1－cos 2θ2＝cos 2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).【解析】从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】综合法3.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件为________.【导学号：01580044】【解析】要证∠A 为钝角，只需证cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0即可，也就是b2＋c 2<a 2.【答案】 b 2＋c 2<a 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________解惑：____________________________________________[小组合作型]综合法的应用(1)在△ABC中，已知cos A cos B>sin A sin B，则△ABC的形状一定是__________.(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m－n|＝__________.(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)；②a(1－a)≤14；③ba＋ab≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________.【自主解答】(1)∵cos A cos B>sin A sin B，∴cos A cos B－sin A sin B>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cos C<0，又0<C<π，∴π2<C<π，所以△ABC是钝角三角形.(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，x1＝12，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.设公比为q，则x4＝x1q3，∴4＝12·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝92，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝32.(3)①a2＋b2＋3＝a22＋32＋b22＋32＋a22＋b22≥2a22×b22＋2a22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立). ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立.④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.【答案】 (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1.综合法处理问题的三个步骤2.用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0).[再练一题] 1.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法B.由因导果的顺推证法C.因果分别互推的两头凑法D.原命题的证明方法【答案】 B分析法的应用设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ).【精彩点拨】待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键. 【自主解答】当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.[再练一题]2.已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 【导学号：01580045】【证明】由已知1b －1a >1及a >0可知011－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －bab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证.[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【精彩点拨】先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.【自主解答】法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b ＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，即a2＋c2－b2＝ac成立.∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立. 法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2ac cos 60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3.设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .【证明】因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1). 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy 成立.1.已知x >0，y >0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为______________. 【解析】 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝xy 3.∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立. 【答案】 32.如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________. 【解析】要使a a >b b ，只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2，即a >b >0. 【答案】 a >b >03.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.【解析】用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04.设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.【导学号：01580046】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以1a ＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立. 【答案】95.已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式ab＋ba≥a＋b.【证明】要证原不等式成立只需证：a a＋b b≥ab(a＋b)，即只需证(a)3＋(b)3≥ab(a＋b)，只需证(a＋b)(a－ab＋b)≥ab(a＋b)，只需证a－ab＋b≥ab，即(a－b)2≥0，而上式显然成立，故原不等式得证.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：打印版本(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________高中数学。

高中数学 2.2.1 直接证明导学案(无答案)苏教版选修2-2(2021年整理)

江苏省镇江市丹徒镇高中数学 2.2.1 直接证明导学案（无答案）苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中直接证明课时安排1课时2。

2.1直接证明（一）问题引入1.问题1：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求证：AB=CD ，BC=DA ．证明：连结AC,∵四边形A BCD是平行四边形∴AB ∥CD ，BC ∥CD故∠1=∠2, ∠3=∠4又∵AC=CA ∴⊿ABC ≌⊿CDA ∴AB=CD ，BC=DA思考1：以上证明方法有什么特点?2。

问题2：设b a ,是两个正实数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+．证明：要证 2233ab b a b a +>+成立，2-2的全部内容。

使用人使用日期或周次本课时学习目标或学习任务1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法;了解综合法的思考过程、特点；2.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．本课时重点难点或学习建议综合法和分析法的证明过程和应用．本课时教学资源的使用导学案学习过程只需证)())((22b a ab b ab a b a +>+-+成立，即需证ab b ab a >+-22成立。

(∵0>+b a ）只需证0222>+-b ab a 成立, 即需证0)(2>-b a 成立.而由已知条件可知，b a ≠,有0≠-b a ，所以0)(2>-b a 显然成立，由此命题得证.思考2：以上证明方法有什么特点？（二）学生活动1．问题1的证明方法的特点是___________________________________________________． 2．问题2的证明方法的特点是___________________________________________________．（三）知识建构1.直接证明直接从_________________逐步推得成立的，这种证明通常称为直接证明．直接证明的一般形式为：.____________________________________⇒⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ C B A 2．常用的直接证明方法有_________与__________：(1)从_________出发，以__________________为依据，_________，直到推出_____________为止，这种证明方法常称为_________．（2）从_________出发,追溯__________________，_________,直到使__________________ 为止,这种证明方法常称为_________．注：(1）综合法与分析法的推证过程如下：综合法—________;________⇒⇒⇒ 分析法—.________________⇐⇐⇐ （2）对分析法证题的说明：①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是____________条件；②在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件．即在一系列可以证明结论的条件中,与__________较为接近的条件，才是我们所需要的;③“只需证明”、“为了证明”、“∵A成立，∴B成立"类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来．（四）学习交流、问题探讨例1．如图,已知AB，CD相交于点O，△ACO≌△BDO，AE=BF,求证：CE=DF．(尝试用两种方法证明）变式1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB，PC的中点，求证:(1）MN∥平面PAD；（2)MN⊥CD．例2．已知a〉0,b〉0，求证：a(b2+c2）+b(c2+a2）≥4abc．变式2：已知,a b 是正数，且1a b +=,求证：114a b+≥，分别用分析法，综合法证明．小结：________解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；________条理清晰，宜于表述．因此,在实际解题时，通常以_______为主寻求解题思路，再用_______有条理地表述过程． (五) 课后作业 1．在ABCD 中，,AE BD ⊥垂足为E ；,CF BD ⊥垂足为F ．求证:AE CF =．2．设2x ≥112x x x x +<--3.1,1a b <<若,求证：11a bab+<+．章节与课题。

2.2.1直接证明教案高中数学苏教版选修1-2

2.2直接证明与间接证明2．2.1直接证明●三维目标1.知识与技能结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力以及分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法，了解分析法和综合法的思考过程、特点，会证明一些数学命题．难点：根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的方法进行数学命题证明．●教学建议1．用综合法证明问题时的注意事项关于综合法的教学，建议教师通过实例引导学生总结、用综合法证明问题时，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等．还要通过细致的分析，把题中隐含的条件明确表示出来．2．分析法的应用(1)关于分析法的教学，建议教师从分析法的步骤特点出发，教给学生分析问题的思路方法，并能解决立体几何、三角函数、数列等问题中的证明问题．(2)关于分析法步骤的教学，建议教师能从实例出发，明确分析法的实施步骤与格式．●教学流程结合知识点1中的问题让学生明确综合法的定义和综合法的思维流程．⇒通过引导学生回答知识点2中的问题，让学生理解分析法的定义与分析法的思维流程．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握使用综合法证明问题时的思路与书写步骤．⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握使用分析法证明问题时的思路与书写步骤．⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握分析综合法的使用技巧．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2 2.证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y＝22，故2x＋2y≥22成立．本题的证明顺序是什么？【提示】从已知条件入手，运用基本不等式到待证结论．1．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．2．综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．⇒…⇒结论．(2)推证过程：已知条件⇒…证明不等式：3＋22＜2＋7成立，可用下面的方法进行．要证明3＋22＜2＋7，由于3＋22＞0,2＋7＞0，只需证明(3＋22)2＜(2＋7)2，展开得11＋46＜11＋47，只需证明6＜7，显然6＜7成立．∴3＋22＜2＋7成立．请回答：上述证明过程从哪里开始？证明思路是什么？【提示】从结论开始，逐步寻求结论成立的充分条件，它的思维特点是“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，执果所因．分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．这种证明方法常称为分析法．(2)推证过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c 且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．【思路探究】由题设条件知B ＝60°，b 2＝ac ，从而利用余弦定理完成边角转化，判定△ABC 的形状．【自主解答】 △ABC 中，A ＋B ＋C ＝π. 由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C . 因此，得B ＝π3.由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac . 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c . 从而A ＝B ＝C ＝π3，△ABC 为等边三角形．1．寻找条件与结论的联系，即利用余弦定理把边和角联系起来，运用综合法来推导出结论．2．综合法证明数学命题应注意：(1)分析条件、选择方向，确定条件与结论之间的联系，合理选择相关定义、定理、性质等，确定恰当的解题思路．(2)转化条件，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．严格证明，得出结论．如图2－2－1所示，已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点．求证：HG ⊥EF .图2－2－1【证明】连接EH ，FH ，根据条件CF ⊥AB ，且H 是BC 的中点，可知FH 是Rt △BFC 斜边上的中线，所以FH ＝12BC .同理，EH ＝12BC ，所以EH ＝FH ，所以△EHF 为等腰三角形．又因为G 为EF 的中点，所以HG ⊥EF .设a ，b 为正实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．【思路探究】由于a ＋b ＞0，利用不等式的性质，寻求a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立的充分条件a 2＋b 2≥2ab ，问题得以证明．【自主解答】 ∵a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＞0，要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥[22(a ＋b )]2. 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．1．从本例可看出，已知条件简单而证明的结论比较复杂，这时我们一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．用分析法证明时：(1)要保证证明过程中的每一步都是可逆的，(2)适当将条件加以转化，正确把握转化方向．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．【证明】设圆和正方形的周长为L ，则圆的面积为π(L 2π)2，正方形的面积为(L4)2，因此本题只需证明π(L 2π)2＞(L4)2.为了证明上式成立，只需证明πL 24π2＞L 216，两边同乘以正数4L 2，得1π＞14.因此，只需证明4＞π.4＞π显然成立，所以π(L 2π)2＞(L4)2.这就证明了当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．已知△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c＝3a ＋b ＋c.【思路探究】题目中条件与结论联系不是非常明显，因此用分析法寻找思路．又注意到∠B 可求，因此尽量在证明中出现余弦定理的条件．【自主解答】要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即证c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，从而a 2＋c 2＝b 2＋ac 成立所以原等式1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．本题前半部分是用分析法证明，但寻找的充分条件不是显然成立的，可再用综合法证明，这种推理证明方法称为分析综合法．2．其思维特点：从“欲知”想“已知”(分析法)得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，从“已知”推“可知”(综合法)，得到中间结论P ，且P ⇒Q ，双管齐下，两面夹击，找到沟通条件和结论的途径．逐步缩小条件与结论之间的“差距”．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C .(1)求证：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin(4B ＋π3)的值．【证明】 (1)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，由正弦定理，得sin B sin C ＝cos Bcos C，于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π＜B －C ＜π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13.又因为0＜2B ＜π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin(4B ＋π3)＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3＝42－7318.混淆特殊值检验与一般性证明致错设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f (x ＋12)为偶函数．【错解】由函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，可知f (x ＋1)＝f (－x )，令x ＝1得f (2)＝f (－1)，即f (32＋12)＝f (－32＋12)，所以f (x ＋12)为偶函数．【错因分析】错解在证明f (x ＋12)为偶函数时，以特殊值f (32＋12)＝f (－32＋12)成立就断定f (x ＋12)为偶函数是错误的，函数的奇偶性是对定义域中任意的x 定义的．【防范措施】在证明数学命题时，必须通过严格的推理来证明对任意满足题意的条件，命题的结论都成立，特殊值的检验不能代替一般性的证明．【正解】 ∵y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．又f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称． ∴f (x ＋1)＝f (－x )，对x ∈R 成立．以x －12代替x ，得f (x －12＋1)＝f [－(x －12)]，即f (x ＋12)＝f (－x ＋12)，由偶函数的定义可知f (x ＋12)为偶函数．1．在运用综合法证明命题的时候，必须首先找到正确的出发点，也就是想到从哪里起步．一般地，要广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐渐地推导到结论．2．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．3．分析法与综合法是对立统一的两种方法．对于一些较复杂的问题可先用分析法在草纸上“探路”，然后再用综合法书写．或者两种方法综合运用．1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝1＋cos 2θ2－1－cos 2θ2＝cos 2θ”应用了________证明．【解析】证明过程是从条件出发，利用公式，由演绎推理得到要证明的结论，是综合法．【答案】综合法2．补足下面用分析法证明基本不等式ab ≤a ＋b2的步骤：要证明ab ≤a ＋b2，只需证明2ab ≤a ＋b ，只需证____________，只需证____________，由于____________显然成立，因此原不等式成立．【解析】按分析法证明格式填空步骤分别为a ＋b －2ab ≥0，(a －b )2≥0，(a －b )2≥0.【答案】 a ＋b －2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥03．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a 、b 、c 应满足的条件为________．【解析】要证∠A 为钝角，只需证cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0即可，也就是b 2＋c 2<a 2.【答案】 b 2＋c 2<a 24．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3a n －2(n ＝1,2，…)，求证：数列{a n }是等比数列．【证明】因为S n ＝3a n －2(n ＝1,2，…)，S n －1＝3a n －1－2(n ＝2,3，…)，所以当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝3a n －3a n －1，整理，得a n ＝32a n －1(n ≥2，n ∈N *)．又因为S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝3a 1－2，解得a 1＝1. 所以{a n }是首项为1，公比为32的等比数列.一、填空题1．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x ＞0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．【答案】综合法2．欲证2－3＜6－7成立，只需证①(2－3)2＜(6－7)2；②(2－6)2＜(3－7)2； ③(2＋7)2＜(3＋6)2；④(2－3－6)2＜(－7)2. 则正确的序号是________．【解析】 “2－3＜6－7”⇔“2＋7＜3＋6”且2＋7＞0，3＋6＞0，故只需证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】 ③3．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞22，|β|＞22，以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．【解析】由①αβ＞0知α、β同号， ∴由③知|α|＋|β|＝|α＋β|＞42＞5. 【答案】 ①③⇒②4．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．【解析】函数的定义域为R ，函数为奇函数，则x ＝0时f (0)＝0，即2a －22＝0.∴a ＝1.也可根据奇函数的定义f (－x )＝－f (x )恒成立．即a (2－x ＋1)－22－x ＋1＝－a (2x ＋1)－22x ＋1，即a (1＋2x )－21＋x 2x ＋1＝－a (2x ＋1)－22x ＋1恒成立．即2a ＋a ·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1.【答案】 15．在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】只要使BD ⊥平面AA 1C 1C 即可．【答案】 ABCD 为正方形(ABCD 为菱形，或AC ⊥BD 等) 6．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是x ________y . 【解析】要比较x 、y 的大小．∵x ＞0，y ＞0，只需比较x 2、y 2的大小，即a ＋b ＋2ab2与a ＋b 的大小． ∵a 、b 为不相等的正数，∴2ab ＜a ＋b . ∴a ＋b ＋2ab2＜a ＋b ，则x 2＜y 2，∴x ＜y . 【答案】＜7．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．。

2019-2020学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.1 直接证明

2.2.1 直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥42.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝42.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论． 2．综合法和分析法1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27][例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] ∵a 2＋19≥2a3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab . 又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc2＝2c ，同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a .∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )，即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ，故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，又因为a π，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .∵PO ⊥π，a π， ∴直线PO ⊥a .又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ， ∴a ⊥平面P AO .又c 平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[例2] 已知a >b >0，求证：错误!<错误!－错误!<错误!.[思路点拨] 本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析] 要证明错误!<错误!－错误!<错误!成立，只需证错误!<a ＋b －2错误!<错误!成立，即证错误!<(错误!－错误!)2<错误!成立．只需证a －b2a<a －b <a －b 2b 成立．只需证a ＋b 2a<1<a ＋b2b 成立，即证a ＋b <2a 且a ＋b >2b ，即b <a .∵a >b >0，∴b <a 成立．∴错误!<错误!－错误!<错误!成立．[一点通] 在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，求证：P ＜Q .证明：要证P ＜Q ，主要证P 2＜Q 2，只要证2a ＋7＋2错误!＜2a ＋7＋2错误!，即证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12，即证0＜12. 因为0＜12成立，所以P ＜Q 成立．4．已知a 、b 是正实数，求证：a b ＋b a ≥a ＋b .证明：要证ab＋ba≥ a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥ab (a ＋b )．即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )，即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab .因为a ，b 为正实数，所以a ＋b ≥2ab 成立，所以a b＋b a≥ a ＋b .[例3] 已知0<a ≤1,00，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0.∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通] (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证错误!＝1，即a2＋c2＋ab ＋bcb2＋ab ＋ac ＋bc ＝1. 下面证明：a2＋c2＋ab ＋bcb2＋ab ＋ac ＋bc ＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a2＋c2＋ab ＋bc b2＋ab ＋ac ＋bc ＝a2＋c2＋ab ＋bc a2＋c2－ac ＋ab ＋ac ＋bc ＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题 1．在△ABC 中，A >B 是sinA >sinB 的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC 中，由正弦定理得asin A ＝bsin B .又∵A >B ，∴a >b ，∴sin A >sin B 反之，若sin A >sin B ，则a >b ，∴A >B ∴A >B 是sin A >sin B 的充要条件．答案：充要 2．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3________n ＋2－n ＋1(判断大小)．解析：要证n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1，只需证n ＋4＋n ＋1<n ＋3＋n ＋2，只需证(n ＋4＋n ＋1)2<(n ＋2＋n ＋3)2，即2n ＋5＋2错误!<2n ＋5＋2错误!. 只需证错误!<错误!，只需证(n ＋1)(n ＋4)<(n ＋2)(n ＋3)，即n 2＋5n ＋4<n 2＋5n ＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1.答案：< 3．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．解析：a a ＋b b >ab ＋b a⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b 4．若三棱锥S －ABC 中，SA⊥BC ，SB⊥AC ，则S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心．答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数，所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ，即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4，从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数，所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2，即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)．故f (a )＋f (c )＞2f (b )．7．已知a >0，用分析法证明：a2＋1a2－2>a ＋1a－2.证明：要证a2＋1a2－2≥a ＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a ＋1a＋2.因为a >0，故只需证⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2＋1a2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a2＋1a2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(江苏高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nSnn2＋c ，n ∈N *，其中 c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝Sn n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 2＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。

苏教版高中数学选修(2-2)课件2.2直接证明与间接证明(三)

例 1 求证： 3 7 2 5 .
例2如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥ BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过 E作SC的垂线，垂足为F.求证AF⊥SC.
S
F E
A
C
B
课堂练习组卷网
1.已知：x 0，y 0，
1
1
求证： ( x2 y2 )2 ( x3 y3 )3 .
灿若寒星整理制作
高中数学课件
2.2直接证明与间接证明(三)
复习引入
证明： a b ≥ ab (a 0, b 0). 2
讲授新课
分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的成分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显的成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.这种证明的方法叫做分析法.
课堂练习
2.是否存在常数C，使得不等式
x y C x y
2x y x 2y
x 2y 2x y
对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论.
课堂练习
3. 如果 a a b b a b b a，则实数 a、b 应满足的条件是 ___________________________.
课堂练习
3. 如果 a a b b a b b a，则实数 a、b 应满足的条件是 _____a___0_,__b___0_且__a___b_______.
课堂练习
4.已知：0 a 1 ，证明课堂练习
5.已知 a2，b2，c2成等差数列，求证： 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
课后作业《习案》作业(十三).
bc ca ab
课堂练习
6. 设 a，b，c，d 均为正数，求证： a2 b2 c2 d 2 (a c)2 (b d )2 .

【备课精选】2012年高中数学苏教版选修2-2教案2.2《直接证明--综合法与分析法》

直接证明--综合法与分析法1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（2）、例1．设a 、b 是两个正实数，且a≠b，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即需证a 2-ab+b 2＞ab 成立。

(∵a+b＞0)只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)∵a≠b，∴a -b≠0，∴(a -b)2＞0，即a 2-2ab+b 2＞0亦即a 2-ab+b 2＞ab由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a 2-ab+b 2)＞(a+b)ab即a 3+b 3＞a 2b+ab 2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x =].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而Θ ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

2013年高二数学同步备课课件2.2.1《直接证明》(苏教版选修2-2)

2.2.1
1. 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也
是解决数学问题时常用的思维方式.
本课
2.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
时栏
明通常称为直接证明.
目开
3.综合法：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为
关依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明
证明要证 cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，
本
只需证cos cos
α－sin α＋sin
αα＝3，
课时栏目
只需证11－＋ttaann αα＝3，
开关
只需证 1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证 tan α＝－12，
∵12－＋ttaann αα＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即 2tan α＝－1.
__③______.
本课
①a>a＋2 b> ab>b；
时栏目开关
②b> ab>a＋2 b>a； ③b>a＋2 b> ab>a；
④b>a>a＋2 b> ab.
2.2.1
3.求证：log1519＋log2319＋log3219<2.
本
解因为lo1gba＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192
方法二 ∵ a＋ a－1> a－2＋ a－3，
本课时
∴
1 a＋ a－1<
1 a－2＋
， a－3
栏
目
开 ∴ a－ a－1< a－2－ a－3.
关
2.2.1

苏教版高中数学选修2-2 2.2.1直接证明学案

2.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题．知识点一直接证明思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．知识点二分析法和综合法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：方法一 ∵(a －b )2≥0， ∴(a )2＋(b )2－2ab ≥0， ∴a ＋b ≥2ab ，∴a ＋b2≥ab . 方法二要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，∵(a －b )2≥0显然成立，∴原不等式成立．答案方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件．梳理综合法和分析法定义比较类型一综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论 ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.证明因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数，而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2，且上述三式等号不能同时成立，所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．证明因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．反思与感悟证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C . 证明在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.因为－π0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3 求证：a －a －1<a －2－a －3 (a ≥3)．证明方法一要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3.1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为________．答案 a >b解析 ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是________．答案 c解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，∴c >b >a . 3．欲证2－3<6－7成立，只需证下列各式中的________．(填序号) ①(2－3)2<(6－7)2； ②(2－6)2<(3－7)2； ③(2＋7)2<(3＋6)2； ④(2－3－6)2<(－7)2. 答案 ③解析根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2. 4.3－2________2－1.(填“>”或“<”) 答案 <5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.证明方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证．方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，只需证明(1＋1x )(1＋11－x)≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )，即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．课时作业一、填空题1．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________．答案 a >b >0解析由a a >b b ，得a 3>b 3，则a ，b 需满足a >b >0.2．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 3解析 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．3．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________. 答案－b解析函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为________．答案 P <Q解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∴P 2<Q 2，即P <Q .5．若A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.6．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1.(判断大小)答案<解析要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.7．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)答案垂心解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连结AO，BO.∵SA⊥BC，SO⊥BC，SA∩SO＝S，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．8．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．9．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________．答案 C ab >2aba ＋b ，又∵f (x )＝2x 在R 上为增函数， ∴A >B >C .10．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________. 答案 1解析由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，① a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2， ②将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.二、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明要证a ＋12＋ b ＋12≤2，只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1，即只需证明(a ＋12)(b ＋12)≤1.而(a ＋12)(b ＋12)≤(a ＋12)＋(b ＋12)2＝1＋12＋122＝1成立，所以a ＋12＋ b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ， ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C . ⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案对角线互相垂直(答案不惟一) 解析要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.考点综合法及应用题点利用综合法解决数列问题(1)解当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a nn＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。

高中数学直接证明导学案苏教版选修22

【学习目标】了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考特点和过程，会用分析法和综合法证明具体问题．【知识扫描】一、直接证明⑴直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种证明通常称为直接证明. ⑵直接证明的一般格式本题条件已知定义 ⇒A ⇒B ⇒C ⇒………⇒本题结论已知公理已知定理二、1、综合法 ⑴定义⑵综合法的推理过程:已知条件⇒……⇒……⇒结论2、分析法 ⑴定义⑵分析法的推理过程:结论⇐……⇐……⇐已知条件【例题选讲】例1.求证:5273<+变题：比较大小：3+10+例2. 分别用分析法和综合法证明:已知0,0a b m >>>，求证：b m ba m a+>+变题：已知0,0a b m <<>，比较大小：b m a m ++ ba例3. .已知()+∞∈,0,,c b a ,且1=++c b a ,求证:8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫⎝⎛-c b a课内练习：1、已知,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++2、已知2a >，求证：(1)(1)log log 1a a a a -+<例4.（强化班做）定义在R 上的函数()f x 满足：（1）当0x <时，()1f x >；（2）(0)0f ≠；（3）对任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=•（1）当0x >时，求证：0()1f x <<；（2）求证：()f x 是R 上的减函数【巩固提高】1.已知b a ,是不相等的正数，2b a x +=，b a y +=，则y x ,的关系是__________2.Ａ，Ｂ是△ABC 的内角，B A >是B A sin sin >的_______________条件3.已知()()12212+-+=xx a x f 是奇函数，则实数=a４.设,0,0,0>>>c b a 若1=++c b a ，则cb a 111++的最小值是５.若0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα，则()=-βαcos6. 设ABC ∆中，3个内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知,,A B C 成等差数列，且,,,a b c 成等比数列，则ABC ∆的形状为7．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：8．设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若函数(1)y f x =+与()f x 的图象关于y 轴对称。

【高中数学选修2-2】2.2.1综合法和分析法

即证4sin2 2sin2 1
只需证
1
sin 2 c os2
1
sin 2 c os2
1
s c
in 2 ห้องสมุดไป่ตู้s2
21
sin 2 c os2
根据③，问题得证.
点评：用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则本题过程可用框图表示为：
Pn P'
P P1 P1 P2
求证：1 tan2 1 tan2 1 tan2 2 1 tan2
证明：因为sin cos 2 2sin cos 1
所以将①②代入上式，可得
4sin2 2sin2 1 ③
即证cos2 sin2 1 cos2 sin2 2
即证1 2sin2 1 1 2sin2 2
Pn P'
P P1 P1 P2
Q2 Q1 Q1 Q
Q' Qm
综合法与分析法的综合使用：
例3.已知， k k Z ,且 sin cos 2sin ①
2
sin cos sin 2 ②
求证：1 tan2 1 tan2 1 tan2 2 1 tan2
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
复习
推理
合情推理
演绎推理
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊）（一般到特殊）
我们知道，合情推理所得结论的正确性是需要证明的，本节开始我们将学习两类基本的证明方法：
直接证明与间接证明。
直接证明有两种最基本的证明方法----综合法、分析法.
1.综合法例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案

2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案【教学重点】：了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。

【教学难点】：运用反证法证明数学问题。

【教学过程设计】：β=.b下面用反证法证明直线β=，即点a 与平面α有公共点ba 与b的公共点，这与矛盾．所以a点评：用反证法的基本步骤：分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；作出与所证不等式相反的假定；1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根,则a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A. 假设a 、b 、c 都是偶数B. 假设a 、b 、c 都不是偶数C. 假设a 、b 、c 至多有两个是偶数D. 假设a 、b 、c 至多有两个是偶数答案：B解：反证法的假设，恰好与结论相反，“至少有一个”的否定是“一个也没有”。

选B 。

2．用反证法证明命题“若整数n 的立方是偶数，则n 也是偶数”如下：假设n 是奇数，则n=2k+1(k ∈Z)，33(21)n k =+=_____________________________________，这与已知3n 是偶数矛盾，所以n 是偶数。

答案：322(463)1k k k +++解：和的立方公式展开 333232(21)812612(463)1n k k k k k k k =+=+++=+++答案为322(463)1k k k +++。

3．已知平面α和不在这个平面内的直线a 都垂直于平面β，求证：直线a ∥平面α。

证明：假设a 不平行α，则a 与α必有公共点，设为点A ，过点A 在平面α内作直线c ⊥b ，由α⊥β知，c ⊥β，而a ⊥β，则a ∥c 。

这与a 、c 相交于点A 相矛盾，因此，假设错误，即a ∥α。

4. 已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+。

（1）证明：函数()f x ∞在(-1,+)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负根。

(教师用书)高中数学 2.2.1 直接证明同步备课课件苏教版选修2-2

【自主解答】
△ABC 中，A＋B＋C＝π，
由 A、B、C 成等差数列，得 2B＝A＋C， π 因此，B＝， 3 由 a，b，c 成等比数列，得 b2＝ac，又 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此 a＝c. 从而△ABC 是等边三角形．
2．2
直接证明与间接证明 2．2.1 直接证明
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力，以及培养他们的分析问题和解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣． ●重点难点重点：了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法，了解分析法和综合法的思考过程、特点，会证明一些数学命题．难点：根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的方法进行数学命题证明．
分析法
【问题导思】证明不等式： 3＋2 2＜2＋ 7成立，可用下面的方法进行．要证明 3＋2 2＜2＋ 7，由于 3＋2 2＞0，2＋ 7＞0，只需证明( 3＋2 2)2＜(2＋ 7)2，展开得 11＋4 6＜11＋4 7，只需证明 6＜7，显然 6＜7 成立． ∴ 3＋2 2＜2＋ 7成立．请回答：上述证明过程从哪里开始？证明思路是什么？
●教学流程设计
演示结束
课标解读
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤(重点)． 2．会用综合法、分析法证明一些数学问题(重点、难点)． 3．综合法、分析法的格式区别(易混点).

苏教版高中数学选修2-2第2章2.2.1.docx

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 直接证明课时目标 1.结合已学过的数学实例了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法.2.了解分析法和综合法的思考过程、特点．1．直接证明(1)定义：直接从原命题的________逐步推得命题成立的证明，通常称为直接证明．(2)一般形式：⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C …⇒本题结论． (3)两种基本方法：__________和__________．2．综合法(1)定义：从__________出发，以已知的________________为依据，逐步________，直至推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．(2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论(3)特点：条理清晰，宜于表述．3．分析法(1)定义：从________________出发，追溯导致结论成立的条件，逐步________，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法．(2)推理过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件(3)特点：方向较为明确，利于寻找解题思路．一、填空题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的________条件．2．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ac ，则S 、P 的大小关系为________．3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a 、b 、c 的大小关系为__________． 4．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3的形状是__________三角形．5．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足__________条件．6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．7．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．8．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．二、解答题9．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.能力提升11. 如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)12．已知函数f (x )＝1＋x 2，若a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答案知识梳理1．(1)条件 (3)综合法分析法2．(1)已知条件定义、公理、定理下推3．(1)问题的结论上溯作业设计1．充分2．S ≥P解析 ∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴S ≥P .3．b >a >c解析利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c . 4．正5．b 2＋c 2<a 26．a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a .7．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b 恒成立，而(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16，当且仅当b a ＝9a b 且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”．此时a ＝4，b ＝12.∴0a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．方法二综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10．证明要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 11．AC ⊥BD解析从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为正方形．12．证明原不等式即|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |，要证此不等式成立，即证1＋a 2＋1＋b 2－21＋a 2·1＋b 2<a 2＋b 2－2ab .即1＋ab <1＋a 2·1＋b 2.当1＋ab <0时不等式恒成立，当1＋ab ≥0时，即要证1＋a 2b 2＋2ab <(1＋a 2)(1＋b 2)，即2ab <a 2＋b 2，由a ≠b 知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．。

苏教版高中数学选修2-2直接证明(2)

直接证明〔2〕教学目标〔1〕能熟练地运用综合法、分析法解决问题．教学重点，难点运用综合法、分析法证题．教学过程一．问题情境复习回顾：直接证明的一般形式为：⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎪⎪⎭本题条件已知定义本题结论已知公理已知定理综合法与分析法的推证过程如下： •⇒⇒⇒⇐⇐⇐综合法——已知条件结论；分析法——结论已知条件二．数学运用1．例题：例1．设抛物线2(0)y ax a =≠与直线y bx c =+(0,0)b c ≠≠有两个交点，且横坐标分别为1x ，2x ，又设直线y bx c =+与x 轴交点的横坐标为3x ，试证明：312111x x x =+．证明：直线y bx c =+与x 轴交点的横坐标为3c x b =-，所以31b x c =-． 2y ax y bx c⎧=⎨=+⎩，消去y ，得20ax bx c --= 那么抛物线2(0)y ax a =≠与直线y bx c =+(0,0)b c ≠≠有两个交点的横坐标分别为1x ，2x 是方程20ax bx c --=的两根，所以12121211//x x b a b x x x x c a c++===--，所以312111x x x =+．例2．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC ∆为为正三角形．证明：因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B A C =+，有A B C π++=，所以3B π=．因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =．又因为222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以22ac a c ac =+-，即2()0a c -=，所以a c =，所以A C =，所以3A B C π===，ABC ∆为为正三角形．例3．1a b c ++=〔a ，b ，c 均为非负数〕+〔用分析法证明〕+≤+23≤，只需证3a b c +++≤，又因为1a b c ++=，所以只需证2()a b c ≤++，又因为a b +≥，b c +≥a c +≥成立，所以原不等式成立．例4．在锐角三角形中，求证：sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．证明：因为在锐角三角形中，2A B π+>，所以2A B π>-，所以022B A ππ<-<<，又因为在(0,)2π内正弦函数是单调递增函数，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，即sin cos A B >，同理sin cos B C >，sin cos C A >，所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．三．回顾小结：1．证题过程中综合法与分析法的结合．四．课外作业：补充：1．ABC ∆的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：90B <．2．a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥． 3．假设||1a <，||1b <，求证：||11a b ab+<+． 4．函数()()f x x R ∈，对于任意1x ，2x R ∈，等式121212()()2()()22x x x x f x f x f f +-+=恒成立，但()f x 不恒为0，求证：()f x 是偶函数．。

【教育课件】苏教版选修1-2高中数学2.2.1《直接证明》课件ppt.ppt

2．2 直接证明与间接证明
2．2.1 直接证明
【课标要求】 1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法． 2．了解综合法的思考过程和特点． 3．了解分析法证题的一般步骤，会用分析法证明命题．【核心扫描】 1．掌握用分析法和综合法证明问题的模式．(重点) 2．会用分析法和综合法证明相关数学问题．(难点)
自学导引
1．直接证明
(1)直接从
逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接
证明．原命题的条件
(2)常用的直接证明方法有与
．
综合法分析法
2．综合法 (1)定义从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法． (2)综合法的推理过程已知条件 ⇒…⇒…⇒ 结论 .
想一想：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．
名师点睛
1．综合法 (1)思维特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程． (2)思维过程：原因→结果，又名“顺推证法”、“由因导果法”． (3)优点：条理清晰，易于表述；缺点：探路艰难，易生枝节．

a2＋a12＋22≥a＋1a＋
22，

即 a2＋a12＋4
a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋
2 2a＋1a＋2，
3．分析法 (1)定义从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法称为分析法． (2)分析法的推理过程结论 ⇐…⇐…⇐ 已知条件 .
试一试：综合法与分析法证明问题的主要区别是什么？

高中数学教案选修2-2《2.2.1 直接证明》最新修正版

教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．教学重点：1．合法的证明过程和应用．2．分析法的证明过程和应用．教学过程：一、预习1．问题如图，四边形ABCD 是平行四边形．求证：AB ＝CD ，BC ＝DA ．证明连接AC ，因为四边形ABCD 是平行形四边形，所以DA BC CD AB ////，，故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4．因为 AC ＝CA ，所以 △ABC ≌△CDA ，故 AB ＝CD ，BC ＝DA ．思考以上证明方法有什么特点？上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．二、新课1．定义．直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．2．直接证明的一般形式．本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫思考：在《数学5（必修）》中，我们如何证明基本不等式2a b ＋ (00)a b ＞，＞？证法1 对于正数a ，b ，有2002a b a b a b ⇒⇒＋≥＋－＋≥2a b ＋，只要证：a b ＋，只要证：0a b ≤－，只要证：20≤，因为最后一个不等式成立，故结论成立．上述两种证法有什么异同？相同：都是直接证明．不同：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．综合法和分析法的推证过程如下：例1 如图，已知AB ，CD 交于点O ， △ACO ≌△BDO ，AE ＝BF ，⇐⇐⇐⇒⇒⇒求证：CE＝DF．证法一：（综合法）因为△ACO≌△BDO，所以CO＝DO，AO＝BO，因为AE＝BF（已知），所以EO＝FO，所以∠EOC＝∠FOD（对顶角相等），所以△EOC≌△FOD，所以EC＝FD．证法二：（分析法）证（分析法）要证明CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD为此只需证明CO DOEOC FOD EO FO⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，为了证明CO＝DO，只需△ACO≌△BDO，为了证明EO＝FO，只需证明AO＝BO（因为已知AE＝BF ），也只需△ACO≌△BDO（已知），因为∠EOC与∠FOD是对顶角，所以它们相等，从而△EOC≌△FOD成立，因此命题成立．三、练习1．若a＞0，b＞0，求证：a b＋．2．若│a │＜1，│b │＜1，求证：11a b ab ＋＜＋． 3．△ABC 三边长a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°．四、回顾小结分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述．通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程．五、作业课本P87第1，2，3，4题．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.2.1 直接证明》

§2.2.1 直接证明教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

教学重点：分析法和综合法的思考过程、特点教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点教学过程一、问题情境1、问题：如图，四边形ABCD 是平行四边形求证：AB=CD ，BC=DA证明：:连结AC, ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD,BC ∥CD故∠1=∠2, ∠3=∠4又∵AC=CA ∴⊿ABC ≌⊿CDA∴AB=CD,BC=DA2.观察下列问题的证法：3322,,a b a b a b a b ab ≠+>+设是两个正实数，且求证：332222222222)()()20()0-0,()0a b a b ab a b a ab b ab a b a ab b ab a ab b a b a b a b a b +>++-+>+-+>-+>->≠≠->证明：要证只需证（成立即需证成立只需证成立只需证成立而由已知条件知，，有所以故命题成立思考：以上证明方法有什么特点？__________________________．二、建构数学1．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法、⎧⎨⎩综合法分析法直接证明的一般形式：⎫⎪⎪⎪⇒⇒⎬⎪⎪⎪⎭本题条件已知定义本题结论已知定理已知公理2对分析法证题的说明“若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：要证明（或为了证明）Ｂ成立，只需证明成立（是Ｂ成立的充分条件），要证成立，只需证明成立（是成立的充分条件），…，要证明成立，只需证明A成立（A是成立的充分条件），∵A成立，∴B成立．说明：①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是必要不充分条件；②在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件．即在一系列可以证明结论的条件中，本题条件较为接近的条件，才是我们所需要的；③“只需证明”、“为了证明”、“∵A成立，∴B成立”类似这些语言必须有，而且要用它们把每一步连结起来．3综合法和分析法的优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证．三、数学运用：例1如图，已知AB，CD交于点O，△ACO≌△BDO，AE＝BF，求证：CE＝DF．（分别用综合法和分析法证明）证法一：（综合法）因为 △ACO ≌△BDO ，所以 CO ＝DO ， AO ＝BO ，因为 AE ＝BF （已知），所以 EO ＝FO ，所以 ∠EOC ＝∠FOD （对顶角相等），所以 △EOC ≌△FOD ，所以 EC ＝FD ．证法二：（分析法）证（分析法）要证明CE ＝FD ，只需证明△EOC ≌△FOD为此只需证明CO DO EOC FOD EO FO ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，为了证明 CO ＝DO ，只需 △ACO ≌△BDO ，为了证明 EO ＝FO ，只需证明 AO ＝BO （因为已知AE ＝BF ），也只需 △ACO ≌△BDO （已知），因为 ∠EOC 与∠FOD 是对顶角，所以它们相等，从而 △EOC ≌△FOD 成立，因此命题成立．点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程练习>-1.2222222222222,0()22,0()2()()4b c bc a a b c abc c a ac b b c a abc a bc b c a abc +≥>∴+≥+≥>∴+≥+++≥证明：又因此222220,0()()4a b a b c b c a abc>>+++≥例、已知，求证四、课堂小结分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述．通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程．五、课堂作业课本P84练习1、2、4 2.(52),(122),(103)ABC A B C ABC ∆--∆已知的三个顶点的坐标分别为，，，，求证为直角三角形。

苏教版高中数学选修2-2 直接证明与间接证明教案

2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。

【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。

【教学过程设计】：【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。

2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。

证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。

3. 求证：5321232log 19log 19log 19++<证明：因为1log log a b b a=，所以左边= 23191919191919log 52log 33log 2log 5log 3log 2++=++=23191919log (532)log 360log 3612⨯⨯=<=所以5321232log 19log 19log 19++<成立4．求证：如果lg lg ,0,lg22a b a ba b ++>≥则证明：当,0,2a ba b +>≥有上式两端取对数得：lg 2a b+≥从而lg()lg lg lg 222a b ab a b ++≥=所以，命题得证。

5．设a>b>0且ab=1，求证：22a b a b+≥- 证明：222()22()()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+--- ∵a>b>0， ∴a-b>0因此有2()()a b a b -+≥=-所以，命题得证。

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教学目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．
2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点：
1．合法的证明过程和应用．
2．分析法的证明过程和应用．
教学过程：
一、预习
1．问题如图，四边形ABCD 是平行四边形．
求证：AB ＝CD ，BC ＝DA ．
证明连接AC ，
因为四边形ABCD 是平行形四边形，
所以DA BC CD AB ////，，
故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4．
因为 AC ＝CA ，
所以 △ABC ≌△CDA ，
故 AB ＝CD ，BC ＝DA ．
思考以上证明方法有什么特点？
上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．
二、新课
1．定义．
直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．
2．直接证明的一般形式．
思考：在《数学5（必修）
》中，我们如何证明基本不等式2
a b ＋ (00)a b ＞，＞？证法1 对于正数a ，b ，有
2002
a b a b a b ⇒⇒⇒＋≥＋－＋≥
2
a b ＋，
只要证：a b ＋，
只要证：0a b ≤－，
只要证：20≤，
因为最后一个不等式成立，故结论成立．
上述两种证法有什么异同？
相同：都是直接证明．
不同：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．
综合法和分析法的推证过程如下：
例1 如图，已知AB ，CD 交于点
O ， △ACO ≌△BDO ，AE ＝BF ，求证：CE ＝DF ．
本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件⇒⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫ ⇐⇐⇐
⇒⇒⇒
证法一：（综合法）
因为△ACO≌△BDO，
所以CO＝DO，AO＝BO，
因为AE＝BF（已知），
所以EO＝FO，
所以∠EOC＝∠FOD（对顶角相等），
所以△EOC≌△FOD，
所以EC＝FD．
证法二：（分析法）
证（分析法）要证明CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD
为此只需证明
CO DO
EOC FOD EO FO
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
为了证明CO＝DO，
只需△ACO≌△BDO，
为了证明EO＝FO，
只需证明AO＝BO（因为已知AE＝BF ），
也只需△ACO≌△BDO（已知），
因为∠EOC与∠FOD是对顶角，所以它们相等，从而△EOC≌△FOD成立，因此命题成立．
三、练习
1．若a＞0，b＞0
，求证：a b
＋
2．若│a │＜1，│b │＜1，求证：11a b ab
＋＜＋． 3．△ABC 三边长a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°．
四、回顾小结
分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；
综合法条理清晰，易于表述．
通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
五、作业
课本P87第1，2，3，4题．。