初中数学垂径定理(中考题精选)
九年级数学解题模型之垂径定理专题训练卷
九年级数学解题模型之垂径定理专题训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，已知⊙O的直径CD＝8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，则AB 的长为（）A．2B．2C．4D．42．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（）A．12B．C．13D．163．如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（）A．3cm B．C．4cm D．4．如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，其中圆心O到AB 的距离为4cm，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（）cm2．A．B．C．D．5．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）A．13B．14C．12D．286．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（）A．6B．5C．2D．17．已知正方形ABCD的边长为4，点E是线段CD上一点，作点C关于BE的垂线交BE于点F，以F为圆心，CF为半径的圆交BE于点P，M在AB上，N在AC上，则C△PMN 的最小值为（）A．B．C．D．8．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，垂足为E，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（）A．B．C．4D．59．如图，在半径为5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝8，垂足为E．则tan∠OEA的值是（）A．1B．C．D．10．如图，AB为⊙O'的直径，弦CD⊥AB于点O，分别以AB，CD所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直线y＝﹣x﹣与⊙O′交于点A，E，若⊙O'的半径为5，则弦AE的长为（）A．B．C．2D．二．填空题（共10小题）11．利用如图所示4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，和数轴的正负半轴各交于一点，则数轴上左边A点表示的实数为．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I 在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为DE的中点，AB＝5，则MN ＝．13．如图，点C是的中点，弦AB＝8米，半径OC＝5米．则CD＝米．14．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径长为．15．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE 的长为．16．如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O．若BD＝6，则⊙O的半径长是．17．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为米．18．中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝2km，则这段圆曲线（弧AB）的长为km．（结果保留π）19．如图，水暖管横截面是圆，当半径r＝5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD（CD＜r）是mm．20．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是．三．解答题（共10小题）21．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠C+2∠BDC＝90°；（2）若，BC＝2米，求车轮的直径AB的长．22．如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形AMB，开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在弧AMB的中点M处，发现AM＝AB，将玻璃棒竖立起来（MN⊥AB）时，测得MN＝37.5cm．（1）求∠BAM的度数，并求AB的长；（2）求弧AMB的长；（3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm，求鱼缸内水的深度．23．阅读与思考直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明．添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，MN⊥EF，垂足为O，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，OF上滑动，当点B 恰好落在⊙O上时，∠PBO＝∠P AO，请判断此时AP与⊙O的位置关系并说明理由．小王的解题思路如下：AP与⊙O相切．理由：连接OP．∵点B恰好落在⊙O上，∴∠PBO＝∠POE（依据1），∠PBO＝∠P AO，∴∠POE＝∠P AO．∵MN⊥EF，∴∠POE+∠AOP＝90°，∴∠P AO+∠AOP＝90°．∵∠P AO+∠AOP+∠APO＝180°，（依据2）∴∠APO＝90°，∴AP与⊙O相切．任务：（1）依据1：．依据2：．（2）在图2中，⊙O的半径为3，AP＝4，求BP的长．24．如图是汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为41cm，轮胎的最高点H比汽车底盘EF高61cm，轮胎与地面接触的长度AB＝18cm．（1）求汽车底盘EF到地面的距离．（2）现计划在E处加装挡泥板EQ（EQ⊥EF）．当车辆行驶时，泥沙会从点A处沿切线向后甩出．若轮胎中心O到EQ的距离是59cm，求挡泥板EQ至少要多长才能挡住泥沙．25．图1是某育花苗圆的木制园门，门上头是半圆，下部是长方形．现有一辆装满货物的小货车要从该木制园门（园门各部位尺寸见图2）开进该苗圃，车高2.5m，宽1.6m．问：这辆小货车能否通过该苗圆的木制园门？26．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝20m，OE⊥CD于点E．（1）当测得水面宽时，①求此时水位的高度OE；②求水面以上的桥洞部分（即）的长；（2）当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形MNPQ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？27．一条盘水管的截面如图所示，水面宽AB垂直平分半径OD．（1）求∠ODB的度数；（2）若⊙O的半径为6，求弦AB的长．（3）若连结AD，请判断四边形AOBD的形状，并给出证明．28．玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅•释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d＝2h，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长AB＝12，半径OC⊥AB于点D，测得CD ＝3，连接OB，求该玉环中孔半径的长．29．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．30．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD 经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：≈2.236）。
九年级数学： 垂径定理典型例题及练习
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.A B DCE O作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________ 1．如图 在O 中 直径AB 垂直弦CD 于点E 连接,,AC AD BC 作CF AD ⊥于点F 交线段OB 于点G （不与点,O B 重合） 连接OF ．(1)若1BE = 求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG = 猜想CAD ∠的度数 并证明你的结论．2．如图 AB 是O 直径 直线l 经过O 上一点C 过点A 作直线l 的垂线．垂足为D ．连接AC ．已知AC 平分DAB ∠．(1)求证：直线l 与O 相切(2)若70DAB ∠=︒ 3CD = 求O 的半径．（参考数据：sin350.6︒≈cos350.8︒≈．tan350.7︒≈）3．如图 AC 与BD 相交于点E 连接AB CD CD DE =．经过A B C 三点的O 交BD 于点F 且CD 是O 的切线．(1)连接AF 求证：AF AB =(2)求证：2AB AE AC =⋅(3)若2AE = 6EC = 4BE = 则O 的半径为 ． 4．如图 四边形ABCD 内接于O 对角线,AC BD 交于点E 连接OE ．若,AC BD O ⊥的半径为,r OE m =．(1)若ABC BAD ∠=∠ 求证：OE 平分AEB ∠(2)试用含,r m 的式子表示22AC BD +的值(3)记ADE BCE ABE CDE 的面积分别为1S 2S 3S 4S 当求证：AC BD =．5．如图 AB 是O 的直径 ,C D 是O 上两点 且AD CD = 连接BC 并延长与过点D 的O 的切线相交于点E 连接OD ．(1)证明：OD 平分ADC ∠(2)若44,tan 3DE B == 求CD 的长． 6．已知BC 是O 的直径 点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD 是O 的切线(2)若AE BC ⊥ 垂足为M O 的半径为10 求AE 的长．7．已知 在O 中 AB 为弦 点C 在圆内 连接AC BC OC 、、,ACO BCO ∠=∠．(1)如图1 求证：AC BC =(2)如图2 延长AC BC 、交O 于点E D 、 连接DE 求证：AB DE ∥(3)如图3 在（2）的条件下 设O 的半径为,3R DE R = 弦FG 经过点C 连接BG BF 、 72,3,33DBF DBG CG R ∠=∠== 求线段CF 的长． 8．已知点,,A B C 在O 上．(1)如图① 过点A 作O 的切线EF 交BC 延长线于点,E D 是弧BC 的中点 连接DO 并延长 交BC 于点G 交O 于点H 交切线EF 于点F 连接,BA BH ．若24ABH ∠=︒ 求E ∠的大小(2)如图① 若135AOC B ∠+∠=︒ O 的半径为5 8BC = 求AB 的长． 9．如图 A B C D 分别为O 上一点 连AB AC BC BD CD AC 垂直于BD 于E AC BC = 连CO 并延长交BD 于F ．(1)求证：CD CF =(2)若10BC = 6BE = 求O 的半径．10．如图 在 Rt ABC △中 90C ∠=︒，AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D 点O 是边 AB 上的点 以点O 为圆心 OD 长为半径的圆恰好经过点A 交AC 于点E 弦 EF AB ⊥于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线．(2)若 12AG EG ==，，求O 的半径．(3)设O 与AB 的另一个交点为 H 猜想AH AE CE 之间的数量关系 并说明理由． 11．如图 在ABC 中 90ACB ∠=︒ 5AB = 1AD = BD BC = 以BD 为直径作O 交BC 于点E 点F 为AC 边上一点 连接EF 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点G =BAC GAF ∠∠．(1)求证：EG 为O 的切线(2)求BE 的长．12．如图 四边形ABCD 中 90B C ∠=∠=︒ 点E 是边BC 上一点 且DE 平分AEC ∠ 作ABE的外接圆O．(1)求证：DC是O的切线(2)若O的半径为5 2CE=求BE与DE的长．13．如图1 在直角坐标系中以原点O为圆心半径为10作圆交x轴于点A B，（点A⊥（点D在点E上方）连在点B的左边）．点C为直径AB上一动点过点C作弦DE AB∥交圆O于另一点记为点F．直线EF交x轴于点G连接接AE过点D作DF AE，，．OE BF AD(1)若80∠=︒求ADFBOE∠的度数(2)求证：OE BF∥(3)若2=请直接写出点C横坐标．OG CG14．如图AB为O的弦C为AB的中点D为OC延长线上一点连接BO并延长交O于点E交直线DA于点F B D∠=∠．(1)求证：DA为O的切线(2)若42EF=求弦AB的长度．AF=2⊥交O于B C两点．连15．如图在O中M为半径OA上一点．过M作弦BC OA=．接BO并延长交O于点D连接AD交BC于点E．已知EB ED(1)求证：60CD =︒(2)探究线段CE EM 长度之间的数量关系 并证明．参考答案：1．(1)1(3)45︒2．(2)2583．4．(2)()222242AC BD r m +=-5．(2)6．(2)AE =7．(3)21349CF =8．(1)48E ∠=︒ (2)9．51010．(2)52(3)2AH AE CE =+11．(2)16512．(2)6BE = 25DE =13．(1)100︒(3)点C 555-14．28215．(2)2CE EM =。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。
A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。
A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。
A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。
答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。
答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。
答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。
7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。
答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。
根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。
四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。
答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。
要证明CM=MD。
由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。
根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。
初中数学垂径定理(中考题精选)
初中数学垂径定理练习一．选择题（共13小题）1．（2015•大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9 cm C．cm D．cm 2．（2015•东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A．6B．13 C．D．23．（2015•上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（）A．2：1 B．：1 C．2：1 D．：14．（2014•乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于（）A．B．C．3D．25．（2014•安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．（2014•简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（）A．3B．6C．9D．127．（2014•宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（）A．B．C．6D．8．（2014•河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．9．（2014秋•大竹县校级期末）如图，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）A．1B．C．D．10．（2014秋•扬中市校级月考）如上图，在直角坐标系中，以点P为圆心为半径的圆弧与x轴交于A、B两点，已知A（2，0），B（6，0），则点P的坐标是（）A．（4，）B．（4，2）C．（4，4）D．（2，）11．（2013•海门市模拟）圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m，∠CAD=30°，则大棚高度CD约为（）A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m12．（2012•天宁区校级模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE 交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则O点到BE的距离OM=（）A．B．C．D．13．（2012秋•镇赉县校级期末）如图，AB为⊙O的一固定直径，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆上（不包括A、B两点）移动时，则对点P的判断正确的是（）A．到CD的距离保持不变B．与点C的距离保持不变D．位置不变C．平分二．填空题（共16小题）14．（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．15．（2011•鄂城区校级模拟）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB=6，CD=8，则弦AC的长为．16．（2010•海南）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为cm．17．（2004•山西）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP=．18．（2003•宁波）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为cm．19．（2008•邵阳）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，AB=5，AC=4，则BD=．20．（2006•龙岩）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上一点，且PB=2，则OP=．21．（2005•中原区）如图，已知⊙O的直径为10，P为⊙O内一点，且OP=4，则过点P且长度小于6的弦共有条．22．（2004•郑州）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且D是弧AB的中点，CD交OB 于E，∠AOB=100°，∠OBC=55°，那么∠OEC=度．23．（2015•黄冈中学自主招生）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为．24．（2015•浠水县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为．25．（2015•嘉定区一模）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果BC=6，那么MN=．26．（2015•泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是．27．（2015•广陵区一模）如图，⊙O的半径是4，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O 分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF．若OG﹦1，则EF为．28．（2015•滨州模拟）已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为．29．（2015春•萧山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（4，a）（a ＞4），半径为4，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则⊙P的弦心距是；a的值是．三．解答题（共1小题）30．（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．2015年07月12日1161622024的初中数学组卷参考答案一．选择题（共13小题）1．C 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 7．B 8．A 9．C 10．C 11．B 12．D 13．C二．填空题（共16小题）14．215．或5或7 16．17．18．19．20．21．0 22．80 23．24．6cm 25．3 26．4 27．28．7dm或1dm 29．14+三．解答题（共1小题）30．等边三角形。
中考数学复习：垂径定理(圆)(综合提升训练必备)(含解析)
2019年中考数学复习:垂径定理(圆)一、选择题(共１５小题)1、如图,Ａ点是半圆上一个三等分点,B点是弧AＮ的中点,P点是直径MＮ上一动点,⊙O的半径为１,则AP+BＰ的最小值为( )A。
1ﻩB、ﻩC、D、2、如图,梯形ABCD中,AＢ∥DC,ＡＢ⊥BC,AB=２cm,CＤ=４cｍ、以ＢC上一点O 为圆心的圆经过A、Ｄ两点,且∠AＯD=90°,则圆心O到弦AD的距离是( )A、ｃmﻩＢ、ｃm Ｃ、cmﻩD、cm3。
如图,在平面直角坐标系中,⊙Ｐ的圆心坐标是(3,a)(ａ＞3),半径为3,函数y＝ｘ的图象被⊙P截得的弦ＡB的长为,则ａ的值是( )Ａ、４ﻩＢ、ﻩC、D、４、已知⊙O的半径为10,P为⊙O内一点,且OP=6,则过Ｐ点,且长度为整数的弦有( )Ａ。
5条ﻩB。
6条ﻩC、8条D。
１0条5、已知⊙O的半径OA=2,弦AＢ,AC的长分别是2,2,则∠ＢAC的度数为()A、15°Ｂ、7５°C、15°或75°ﻩD、15°或45°6、如图,四边形PAOB是扇形OＭＮ的内接矩形,顶点P在上,且不与M,N重合,当Ｐ点在上移动时,矩形PＡOB的形状、大小随之变化,则ＡB的长度()A、变大Ｂ、变小C、不变D。
不能确定７、给出下列四个命题:(1)假如某圆锥的侧面展开图是半圆,则其轴截面一定是等边三角形;(２)若点A在直线ｙ=２ｘ﹣３上,且点Ａ到两坐标轴的距离相等,则点Ａ在第一或第四象限;(3)半径为５的圆中,弦AB=８,则圆周上到直线AB的距离为２的点共有四个; (４)若A(a,m)、B(a﹣１,n)(a〉0)在反比例函y=的图象上,则m〈ｎ、其中,正确命题的个数是( )A、1个ﻩB。
２个C、3个ﻩＤ、4个８、已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥ＣD,AＢ=1２cm,CＤ=１６cｍ,则AB和ＣD 的距离为( )A、2cmﻩB。
１4cmﻩC、2cm或1４ｃmﻩD、１0cm或20cｍ9、已知⊙O的半径为３,△ＡBＣ内接于⊙Ｏ,AB=3,AC=３,Ｄ是⊙O上一点,且AD ＝３,则ＣD的长应是( )Ａ。
中考数学专题训练---垂径定理培优练习(含解析)
∴OP＝
，
故选：B．
9．解：连接 BE，
∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8， ∴AC＝BC＝4， 设 OA＝x，
∵CD＝2， ∴OC＝x﹣2， 在 Rt△AOC 中，AC2+OC2＝OA2， ∴42+（x﹣2）2＝x2， 解得 ：x＝5， ∴OA＝OE＝5，OC＝3， ∴BE＝2OC＝6， ∵AE 是直径， ∴∠B＝90°，
P 的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
5．（2019•金华模拟）如图，以 M（4，0）为圆心，3 为半径的圆与 x 轴交于点 A、B，P 是 ⊙M 上异于 A、B 的一动点，直线 PA 与 PB 分别交 y 轴于点 C、D，以 CD 为直径的⊙ N 交 x 轴于点 E、F，则 EF 的长（ ）
中考数学专题训练---垂径定理培优练习
一．选择题 1．（2019•哈尔滨模拟）如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在 AB 的延长线上，AB＝2BC，连接
OA、OC，若∠OAC＝45°，则 tan∠C 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2019•滨湖区一模）如图，在⊙O 中，已知弦 AB 长为 16cm，C 为 的中点，OC 交 AB 于点 M，且 OM：MC＝3：2，则 CM 长为（ ）
PB，AE＝ AB＝3，
∴BD＝DP， 在 Rt△AEO 中，AE＝3，AO＝5，
∴OE＝
＝4，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°， ∴△AOE∽△ABD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BD＝ ， ∴BD＝PD＝ ，即 PB＝ ， ∵AB＝AP＝6， ∴∠ABD＝∠APC， ∵∠PAC＝∠ADB＝90°， ∴△ABD∽△CPA，
中考数学真题分类——圆 试题及答案详解
中考数学真题分类——圆一．垂径定理（共1小题）1．如图，在半径为√13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2√6B．2√10C．2√11D．4√3二．垂径定理的应用（共2小题）2．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．3．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm．三．圆周角定理（共7小题）4．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D̂=CD̂，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数5．如图，AD是⊙O的直径，AB是（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A．20°B．25°C．50°D．100°7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°8．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是（）A．24°B．28°C．33°D．48°9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．10．如图，已知在⊙O中，半径OA=√2，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝度．四．三角形的外接圆与外心（共1小题）11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；̂的长（结果保留π）．（2）若∠AEB＝125°，求BD五．切线的性质（共7小题）12．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．814．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC 相切于点D，BD平分∠ABC，AD=√3OD，AB＝12，CD的长是（）A．2√3B．2 C．3√3D．4√315．如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A 相切于E，DE的最小值是（）A．1 B．√2C．√3D．216．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC 于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．（1）求证：EF是△CDB的中位线；（2）求EF的长．17．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．18．如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．六．切线的判定与性质（共3小题）19．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E ̂的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．是BD（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．20．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．21．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．七．切线长定理（共1小题）22．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．八．正多边形和圆（共4小题）23．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2√3，则它的边长是（）A．1 B．√2C．√3D．224．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是．25．在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为．26．如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4√3，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝．九．扇形面积的计算（共4小题）27．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．π+√3B．π−√3C．2π−√3D．2π−2√328．如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．29．如图，把腰长为8的等腰直角三角板OAB的一直角边OA放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使得它的斜边转到l上，则直角边OA两次转动所扫过的面积为．30．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针方向旋转到△A ′BC ′的位置，此时点A ′恰好在CB 的延长线上，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．十．圆锥的计算（共3小题）31．已知圆锥的底面半径是1，高是√15，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是 度．32．如图，在扇形OAB 中，半径OA 与OB 的夹角为120°，点A 与点B 的距离为 2√3，若扇形OAB 恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．33．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA ＝6，圆心角∠ACB ＝120°，则此圆锥高OC 的长度是 ．十一．圆的综合题（共4小题）34．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB ＝30°，∠DAB ＝45°，点O 为斜边AB 的中点，连接CD 交AB 于点E ．（1）求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD 平分∠ACB ；（3）过点D 作DF ∥BC 交AB 于点F ，求证：BO 2+OF 2＝EF •BF ．35．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF=12，求AEAP的值．36．如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC；（3）求tan∠ACD的值．37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且AĈ=CF̂，连接FB，FD，FD交AB于点N．（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；（2）求证：△BNF为等腰三角形；（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON•OP＝OE•OM．参考答案与试题解析一．垂径定理（共1小题）1．【解答】解：过点O 作OF ⊥CD 于点F ，OG ⊥AB 于G ，连接OB 、OD 、OE ，如图所示：则DF ＝CF ，AG ＝BG =12AB ＝3，∴EG ＝AG ﹣AE ＝2，在Rt △BOG 中，OG =√OB 2−BG 2=√13−9=2，∴EG ＝OG ，∴△EOG 是等腰直角三角形，∴∠OEG ＝45°，OE =√2OG ＝2√2，∵∠DEB ＝75°，∴∠OEF ＝30°，∴OF =12OE =√2，在Rt △ODF 中，DF =√OD 2−OF 2=√13−2=√11，∴CD ＝2DF ＝2√11； 故选：C ．二．垂径定理的应用（共2小题）2．【解答】解：设⊙O 的半径为r ．在Rt △ADO 中，AD ＝5寸，OD ＝r ﹣1，OA ＝r ，则有r 2＝52+（r ﹣1）2，解得r ＝13寸，∴⊙O 的直径为26寸，故答案为：26．3．【解答】解：如图，记圆的圆心为O ，连接OB ，OC 交AB 于D ，∴OC ⊥AB ，BD =12AB ，由图知，AB ＝16﹣4＝12cm ，CD ＝2cm ，∴BD ＝6，设圆的半径为r ，则OD ＝r ﹣2，OB ＝r ，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得，OB 2＝AD 2+OD 2，∴r 2＝36+（r ﹣2）2，∴r ＝10cm ，故答案为10．三．圆周角定理（共7小题）4．【解答】解：∵∠A 与∠D 都是BC ̂所对的圆周角，∴∠D ＝∠A ．故选：D ．5．【解答】解：∵AB̂=CD ̂，∠AOB ＝40°， ∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∵∠AOB +∠BOC +∠COD ＝180°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC =12∠BOC ＝50°，故选：B ．6．【解答】解：如图，连接OC ，∵OA ⊥BC ，∴AĈ=BC ̂， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝50°，∴∠ADC =12∠AOC ＝25°，故选：B ． 7．【解答】解：∵∠B 与∠C 所对的弧都是AD̂，∴∠C ＝∠B ＝24°，故选：D ． 8．【解答】解：∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°，∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC =12（180°﹣132°）＝24°，故选：A ．9．【解答】解：如图，连接AD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠1＝∠ADE ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．10．【解答】解：∵OA =√2，OB =√2，AB ＝2，∴OA 2+OB 2＝AB 2，OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，∴∠OBA ＝45°， ∵∠BAD ＝18°，∴∠BOD ＝36°，∴∠ACO ＝∠OBA +∠BOD ＝45°+36°＝81°，故答案为：81．四．三角形的外接圆与外心（共1小题）11．【解答】（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∵∠CAD ＝∠CBD ，∴∠BAD ＝∠CBD ；（2）解：连接OD ，∵∠AEB ＝125°，∴∠AEC ＝55°，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACE ＝90°，∴∠CAE ＝35°，∴∠DAB ＝∠CAE ＝35°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝70°，∴BD̂的长=70⋅π×3180=76π．五．切线的性质（共7小题）12．【解答】解：∵AC 与⊙O 相切于点A ， ∴AC ⊥OA ，∴∠OAC ＝90°， ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ． ∵∠O ＝130°， ∴∠OAB =180°−∠O2=25°，∴∠BAC ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝90°﹣25°＝65°．故选：B ． 13．【解答】解：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ， ∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5 ∵∠OPB ＝90°， ∴OP ∥AC∵点O 是AB 的三等分点，∴OB =23×5=103，OP AC=OB AB=23，∴OP =83， ∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴OD BC=OA AB=13，∴OD ＝1，∴MN 最小值为OP ﹣OF =83−1=53，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值=103+1=133，∴MN 长的最大值与最小值的和是6． 故选：B ． 14．【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ， ∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°， ∵AD =√3OD ，∴tan A =OD AD=√33， ∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ， ∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，BC =12AB ＝6，AC =√3BC ＝6√3， ∴∠CBD ＝30°， ∴CD =√33BC =√33×6＝2√3；故选：A ．15．【解答】解：如图，连接AE ，AD ，作AH ⊥BC 于H ，∵DE 与⊙A 相切于E ，∴AE ⊥DE ，∵⊙A 的半径为1，∴DE =√AD 2−AE 2=√AD 2−1， 当D 与H 重合时，AD 最小， ∵等边△ABC 的边长为2，∴BH ＝CH ＝1，∴AH =√22−12=√3，∴DE 的最小值为：√(√3)2−12=√2．故选：B ． 16．【解答】（1）证明：连接AE ，如图所示： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°， ∴AE ⊥BC ，BD ⊥AC ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝3，∵EF 是⊙O 的切线，∴OE ⊥EF ，∵OA ＝OB ，∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ∥AC ，∴OE ⊥BD ，∴BD ∥EF ，∵BE ＝CE ，∴CF ＝DF ，∴EF 是△CDB 的中位线； （2）解：∵∠AEB ＝90°，∴AE =√AB 2−BE 2=√52−32=4，∵△ABC 的面积=12AC ×BD =12BC ×AE ， ∴BD =BC×AE AC=6×45=245，∵EF 是△CDB 的中位线，∴EF =12BD =125．17．【解答】（1）证明：∵AE ＝DC ，∴AÊ=DC ̂， ∴∠ADE ＝∠DBC ，在△ADE 和△DBC 中，{∠ADE =∠DBC∠E =∠BCDAE =DC，∴△ADE ≌△DBC （AAS ）， ∴DE ＝BC ；（2）解：连接CO 并延长交AB 于G ，作OH ⊥AB 于H ，如图所示： 则∠OHG ＝∠OHB ＝90°， ∵CF 与⊙O 相切于点C ， ∴∠FCG ＝90°，∵∠F ＝45°，∴△CFG 、△OGH 是等腰直角三角形， ∴CF ＝CG ，OG =√2OH ，∵AB ＝BD ＝DA ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°，∴∠OBH ＝30°，∴OH =12OB ＝1，∴OG =√2，∴CF ＝CG ＝OC +OG ＝2+√2． 18．【解答】解：（1）∵AF 与⊙O 相切于点A ，∴AF ⊥OA ， ∵∠F ＝30°， ∴∠AOF ＝60°，∵OA ＝OD ，∠AOF ＝∠ADB +∠OAF ，∴∠ADB ＝∠OAF ＝30°． （2）∵∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∠BAC ＝120°， ∴∠ABC ＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ， ∴AB̂=AC ̂，∴OA ⊥BC ， ∴BE ＝CE =12BC ＝4，∵∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝OB ，∵∠OBE ＝30°，∴OE =12OB ，BE =√3OE ＝4， ∴OE =4√33，∴AC ＝AB ＝OB ＝2OE =8√33．六．切线的判定与性质（共3小题） 19．【解答】证明：（1）连接OE ，交BD 于H ，∵点E 是BD̂的中点，OE 是半径， ∴OE ⊥BD ，BH ＝DH ， ∵EF ∥BC ， ∴OE ⊥EF ，又∵OE 是半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，OC ⊥AB ， ∴OB ＝3，∴BC =√OB 2+OC 2=√9+25=√34， ∵S △OBC =12×OB ×OC =12×BC ×OH ，∴OH =√34=15√3434，∵cos ∠OBC =OBBC=BH OB，∴√34=BH 3，∴BH =9√3434，∴BD ＝2BH =9√3417， ∵CG ∥OD ，∴OD CG=BD BC，∴3CG=9√3417√34，∴CG =173．20．【解答】（1）证明：连接OF ，如图1所示：∴∠DBC +∠C ＝90°， ∵OB ＝OF ，∴∠DBC ＝∠OFB ，∵EF ＝EC ，∴∠C ＝∠EFC ， ∴∠OFB +∠EFC ＝90°，∴∠OFE ＝180°﹣90°＝90°， ∴OF ⊥EF ，∵OF 为⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线； （2）解：连接AF ，如图2所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB ＝90°， ∵D 是OA 的中点，∴OD ＝DA =12OA =14AB =14×4＝1，∴BD ＝3OD ＝3，∵CD ⊥AB ，CD ＝AB ＝4，∴∠CDB ＝90°，由勾股定理得：BC =√BD 2+CD 2=√32+42=5， ∵∠AFB ＝∠CDB ＝90°，∠FBA ＝∠DBC ，∴△FBA ∽△DBC ，∴BF BD =ABBC， ∴BF =AB⋅BD BC=4×35=125，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5−125=135．21．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，∠ABO ＝∠OCE ＝90°， ∵OE ⊥OA ，∴∠AOE ＝90°，∴∠BAO +∠AOB ＝∠AOB +∠COE ＝90°， ∴∠BAO ＝∠COE ，∴△ABO ∽△OCE ，∴AB OC =AOOE， ∵OB ＝OC ，∴ABOB=AO OE，∵∠ABO ＝∠AOE ＝90°，∴△ABO ∽△AOE ，∴∠BAO ＝∠OAE ，过O 作OF ⊥AE 于F ，∴∠ABO ＝∠AFO ＝90°，在△ABO 与△AFO 中，{∠BAO =∠FAO∠ABO =∠AFO AO =AO ，∴△ABO ≌△AFO （AAS ）， ∴OF ＝OB ，∴AE 是半圆O 的切线；（2）解：连接PB ，∵以BC 边为直径作半圆O ，∴AB 2＝AP •AC ＝2×6＝12，∴AB ＝2√3， ∴BC =√AC 2−AB 2=2√6，∴BO ＝OC =√6，∴AO =√AB 2+OB 2=3√2， ∵∠AOE ＝∠ABO ＝∠ECO ＝90°，∴∠BAO +∠AOB ＝∠AOB +∠COE ＝90°，∴∠BAO ＝∠COE ， ∴△AOB ∽△OEC ， ∴AO OE=AB OC，∴3√2OE=√3√6，∴OE ＝3， ∴AE =√AO 2+EO 2=3√3．七．切线长定理（共1小题） 22．【解答】解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，PA ⊥OA ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∠OAP ＝90°，∴∠PBA ＝∠PAB ＝90°﹣∠OAB ＝90°﹣38°＝52°， ∴∠P ＝180°﹣52°﹣52°＝76°； 故答案为：76．八．正多边形和圆（共4小题） 23．【解答】解：如图，过点B 作BG ⊥AC 于点G ．正六边形ABCDEF 中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°， ∴∠ABC ＝120°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴AG =12AC =√3，∴GB ＝1，AB ＝2，即边长为2．故选：D ．24．【解答】解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF 中，∠DAC ＝30°，∠B ＝∠BCD ＝120°，AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°， ∴∠ACD ＝90°，∵CD ＝3，∴AD ＝2CD ＝6，∴图中阴影部分的面积＝S 四边形ADEF +S 扇形DAD ′﹣S 四边形AF ′E ′D ′， ∵将四边形ADEF 绕顶点A 顺时针旋转到四边形AD 'E 'F ′处，∴S 四边形ADEF ＝S 四边形AD ′E ′F ′∴图中阴影部分的面积＝S 扇形DAD ′=30⋅π×62360=3π，故答案为：3π．25．【解】解：如图所示，连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正方形的边长为a ， ∵OE ⊥BC ，∴OE ＝BE =a2，即a ＝5√2．故答案为：5√2．26．【解答】解：过A 作AM ⊥BF 于M ，连接O 1F 、O 1A 、O 1B ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠A =(6−2)×180°6=120°，AF ＝AB ，∴∠AFB ＝∠ABF =12×（180°﹣120°）＝30°， ∴△AFB 边BF 上的高AM =12AF =12×（6+4√3）＝3+2√3，FM ＝BM =√3AM ＝3√3+6，∴BF ＝3√3+6+3√3+6＝12+6√3， 设△AFB 的内切圆的半径为r ，∵S △AFB =S △AO 1F +S △AO 1B +S △BFO 1，∴12×（12+6√3）×（3+2√3）=12×(6+4√3)×r +12×(6+4√3)×r +12×（12+6√3）×r ， 解得：r ＝3，即O 1M ＝r ＝3，∴O 1O 2＝2×3+6+4√3=12+4√3， 故答案为：12+4√3．九．扇形面积的计算（共4小题） 27．【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝1，AD =√3BD =√3，∴△ABC 的面积为12×BC ×AD =12×2×√3=√3，S 扇形BAC =60π×22360=23π，∴莱洛三角形的面积S ＝3×23π﹣2×√3=2π﹣2√3，故选：D ． 28．【解答】解：∵∠ADO ＝85°，∠CAB ＝20°， ∴∠C ＝∠ADO ﹣∠CAB ＝65°， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝65°， ∴∠AOC ＝50°，∴阴影部分的扇形OAC 面积=50⋅π×1360=5π36，故答案为：5π36．29．【解答】解：∵△OAB 为腰长为8的等腰直角三角形， ∴OA ＝OB ＝8，AB ＝8√2，∴直角边OA 两次转动所扫过的面积=14π•OA 2+90+45360π（AB 2﹣OB 2）＝16π+24π＝40π．故答案为：40π． 30．【解答】解：∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，BC ＝2， ∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，AC ＝2√3．∵将△ABC 绕点B 顺时针方向旋转到△A ′BC ′的位置，此时点A ′恰好在CB 的延长线上，∴△ABC ≌△A ′BC ′，∴∠ABA ′＝120°＝∠CBC ′，∴S 阴影＝S 扇形ABA ′+S △ABC ﹣S 扇形CBC ′﹣S △A ′BC ′ ＝S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′ =120π×42360−120π×22360=16π3−4π3＝4π．故答案为4π．十．圆锥的计算（共3小题） 31．【解答】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a ＝4， 设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n °，根据题意得2π•1=nπ×4180，解得n ＝90， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°． 故答案为：90． 32．【解答】解：连接AB ，过O 作OM ⊥AB 于M ， ∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠BAO ＝30°，AM =√3，∴OA ＝2，∵240π×2180=2πr ，∴r =43，故答案是：4333．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴l AB̂=120π×6180=2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC=√AC2−OA2=4√2，故答案为：4√2．十一．圆的综合题（共4小题）34．【解答】证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O 是AB的中点，∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）由（1）知，A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，且AD＝BD，∴AD̂=BD̂，∴CD平分∠ACB；（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠BEC＝75°，∴∠AED＝75°，∵DF∥BC，∴∠BFD＝∠ABC＝60°，∵∠ABD＝45°，∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，∵∠DFE＝∠BFD，∴△DEF∽△BDF，∴DFBF =EFDF，∴DF2＝BF•EF，连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，在Rt△DOF中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，∴OB2+OF2＝BF•EF，即BO2+OF2＝EF•BF．35．【解答】解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠DAE ＝∠ACE ，∴∠DAC +∠DAE ＝90°，即∠CAE ＝90°， ∴AP 是⊙O 的切线； （2）连接DB ，如图1， ∵PA 和PB 都是切线，∴PA ＝PB ，∠OPA ＝∠OPB ，PO ⊥AB ， ∵PD ＝PD ，∴△DPA ≌△DPB （SAS ），∴AD ＝BD ， ∴∠ABD ＝∠BAD ， ∵∠ACD ＝∠ABD ， 又∠DAE ＝∠ACE ， ∴∠DAF ＝∠DAE ，∵AC 是直径，∴∠ADE ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADE ＝∠AFD ＝90°， ∴△FAD ∽△DAE ；（3）∵∠AFO ＝∠OAP ＝90°，∠AOF ＝∠POA ，∴△AOF ∽△POA ，∴OF OA=AF PA，∴OA PA=OF AF=tan ∠OAF =12， ∴PA ＝2AO ＝AC ，∵∠AFD ＝∠CAE ＝90°，∠DAF ＝∠ABD ＝∠ACE ，∴△AFD ∽△CAE ，∴FD AE=AF CA ，∴FD AF =AE CA =AEAP， ∵tan ∠OAF =OF AF=12，不妨设OF ＝x ，则AF ＝2x ， ∴OD =OA =√5x ，∴FD =OD −OF =(√5−1)x ， ∴FD AF=(√5−1)x 2x=√5−12，∴AE AP=√5−12． 36．【解答】证明：（1）∵BM 是以AB 为直径的⊙O 的切线， ∴∠ABM ＝90°，∵BC 平分∠ABM ，∴∠ABC =12∠ABM ＝45° ∵AB 是直径∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°∴AC ＝BC ∴△ACB 是等腰直角三角形； （2）如图，连接OD ，OC ∵DE ＝EO ，DO ＝CO∴∠EDO ＝∠EOD ，∠EDO ＝∠OCD ∴∠EDO ＝∠EDO ，∠EOD ＝∠OCD ∴△EDO ∽△ODC ∴OD DC=DE DO∴OD 2＝DE •DC∴OA 2＝DE •DC ＝EO •DC（3）如图，连接BD ，AD ，DO ，作∠BAF ＝∠DBA ，交BD 于点F ，∵DO ＝BO∴∠ODB ＝∠OBD ，∴∠AOD ＝2∠ODB ＝∠EDO ，∵∠CAB ＝∠CDB ＝45°＝∠EDO +∠ODB ＝3∠ODB ， ∴∠ODB ＝15°＝∠OBD ∵∠BAF ＝∠DBA ＝15° ∴AF ＝BF ，∠AFD ＝30° ∵AB 是直径 ∴∠ADB ＝90°∴AF ＝2AD ，DF =√3AD ∴BD ＝DF +BF =√3AD +2AD∴tan ∠ACD ＝tan ∠ABD =AD BD=2+√3=2−√337．【解答】解：（1）如图1，连接BC ，AC ，AD ， ∵CD ⊥AB ，AB 是直径 ∴AĈ=AD ̂，CE ＝DE =12CD ＝3 ∴∠ACD ＝∠ABC ，且∠AEC ＝∠CEB ∴△ACE ∽△CEB ∴AE CE=CE BE∴13=3BE∴BE ＝9 ∴AB ＝AE +BE ＝10 ∴⊙O 的半径为5（2）∵AĈ=AD ̂=CF ̂ ∴∠ACD ＝∠ADC ＝∠CDF ，且DE ＝DE ，∠AED ＝∠NED ＝90° ∴△ADE ≌△NDE （ASA ） ∴∠DAN ＝∠DNA ，AE ＝EN∵∠DAB ＝∠DFB ，∠AND ＝∠FNB∴∠FNB ＝∠DFB ∴BN ＝BF ， ∴△BNF 是等腰三角形 （3）如图2，连接AC ，CE ，CO ，DO ， ∵MD 是切线， ∴MD ⊥DO ，∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE ∴△MDO∽△DEO∴OEOD =ODOM∴OD2＝OE•OM∵AE＝EN，CD⊥AO∴∠ANC＝∠CAN，∴∠CAP＝∠CNO，∵AĈ=CF̂∴∠AOC＝∠ABF∵CO∥BF∴∠PCO＝∠PFB∵四边形ACFB是圆内接四边形∴∠PAC＝∠PFB∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE ∴△CNO∽△PCO∴NOCO =COPO∴CO2＝PO•NO，∴ON•OP＝OE•OM．。
中考数学每日一练：垂径定理练习题及答案_2020年综合题版
中考数学每日一练：垂径定理练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案2020年中考数学：图形的性质_圆_垂径定理练习题~~第1题~~(2020沭阳.九上期中) 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E.（1） 求证：CD 为⊙O 的切线；（2） 若OF ⊥BD 于点F ，且OF ＝2，BD ＝4，求图中阴影部分的面积.考点： 垂径定理;切线的性质;扇形面积的计算;~~第2题~~(2020遵化.中考模拟) 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B、C 都在圆O 上.（本题参考数据：sin67.4°＝ ，cos67.4°＝ ，tan67.4°＝ ）（1） 求弦BC 的长；（2） 请判断点A 和圆的位置关系，试说明理由.考点： 勾股定理;垂径定理;~~第3题~~(2020长宁.中考模拟) 如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C在⊙O 上，且，联结AO ， CO ， 并延长CO 交弦AB 于点D ， AB ＝4 ，CD ＝6．（1） 求∠OAB 的大小；（2） 若点E 在⊙O 上，BE ∥AO ，求BE 的长．考点： 垂径定理;解直角三角形;答案答案~~第4题~~(2020上海.中考模拟) 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90º，AD=2，BC= 4，.以AB 为直径作⊙O ，交边DC 于E 、F 两点.（1） 求证：DE=CF.（2） 求直径AB 的长.考点： 垂径定理;圆周角定理;解直角三角形;~~第5题~~(2020迁安.中考模拟) 在圆O 中，OA=1，AB=，将弦AB 与弧AB 所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B 顺时针旋转α度(0≤α≤360)，点A 的对应点是A'.（1） 点O 到线段AB 的距离是；∠AOB=°；点O 落在阴影部分(包括边界)时，α的取值范围是；（2） 如图3线段A'B 与优弧ACB 的交点是D ，当A'BA=90°时说明点D 在AO 的延长线上；（3） 当直线A'B 与圆O 相切时，求α的值并求此时点A'运动路径的长度。
垂径定理精选题35道
垂径定理精选题35道一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．82．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．84．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．45．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．18．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5 9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．610．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．1212．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．814．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为；当点E在⊙G 的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为cm．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝cm．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为cm．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．垂径定理精选题35道参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，则PD＝PE＝，所以a＝3+．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．4【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：如图，连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3cm，∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm，∴AC＝＝＝4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2cm，在Rt△AMC中，AC＝＝＝2cm．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AD＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．8．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC＝2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．【解答】解：连接BE，∵AE为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD过O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接OC，根据题意OE＝OC﹣1，CE＝3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，∴OE＝OC﹣1，CE＝3，∴OC2＝（OC﹣1）2+32，∴OC＝5，∴AB＝10．故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．12．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点P且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦是解题的关键．13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．8【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质得出OC＝MO＝3，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出AB＝2AC，最后求出答案即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，∵MO＝6，∠OMA＝30°，∴OC＝MO＝3，在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，OC过O，∴BC＝AC，即AB＝2AC＝2×4＝8，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．14．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE，＝，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A，求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵CD为直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝2∠C，∵CD⊥AB，AE⊥BC，∴∠AFO＝∠CEO＝90°，在△AFO和△CEO中∴△AFO≌△CEO（AAS），∴∠C＝∠A，∴∠AOD＝2∠A，∵∠AFO＝90°，∴∠A＝30°，∵AO＝1，∴OF＝AO＝，AF＝OF＝，同理CE＝，OE＝，连接OB，∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，∴由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+＝，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，解得：AM＝，∴AE＝2AM＝．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，∵OB＝AB＝5，∴OD＝＝4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．【分析】连接OC，由垂径定理得出CE＝CD＝2，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2＝OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝CD＝2，∠OEC＝90°，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，∴AG＝2OG，OA＝＝，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．故答案为2，﹣1．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD＝DB＝DA＝＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝20E•sin∠EOH＝20E•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F．如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF﹣OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF+OE＝14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为4cm．【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE＝DE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4cm，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE＝45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC＝CE＝4cm，故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝8cm．【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由垂径定理，AC＝AB＝12cm．由半径相等，得OA＝OD＝13cm．由勾股定理，得OC＝＝＝5．由线段的和差，得CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为2．【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO＝得到∠CAO＝30°．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为1或7cm．【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD 之间时，EF＝OF﹣OE．【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1或7．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为4．【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为3．【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为20．【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故答案为20．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠CNM＝∠B，利用等量代换得到∠AND＝∠B，利用同弧所对的圆周角相等得到∠D＝∠B，则得∠AND＝∠D，利用等角对等边可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，连接AO，设OE的长为x，则DE＝NE＝x+1，OA ＝OD＝2x+1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．【分析】（1）由OD⊥AC知AD＝DC，同理得出CE＝EB，从而知DE＝AB，据此可得答案；（2）作OH⊥AB于点H，连接OA，根据题意得出OH＝3，AH＝4，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝8，∴DE＝4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则CA＝CB＝3，同理可得AE垂直平分BC，所以AB＝AC＝3；（2）先证明△ABC为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．【解答】解：（1）连接AC，如图，∵CD⊥AB，∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，∴CA＝CB＝3，∵AO⊥BC，∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝3；（2）∵AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，∴OA＝2OF＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．。
初三垂径定理练习题
垂径定理1.如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为( )A.3B.4C.3D.42.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A. 2B. 1C.D. 43.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（）个A. 1B. 2C. 3D. 44.下列命题正确的个数是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=6，BC=8，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则BE的长为( )A. B. C. D.6.如图，是的直径，是弦，，垂足为点，连接、、，，，那么的长为（）A. B. C. D.7.如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )A. B. 2 C. D. 38.如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为( )A. rB. rC. rD. 2r9.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°10.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）A.40°B.50°C.70°D.80°11.如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（）A. B.2 C.2 D.312.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为（）A.3B.4C.5D.2.613.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A. 3cmB. cmC. 2.5cmD. cm14.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．15.如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．16.如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．17.已知：如图，BC是⊙O的弦，线段AD经过圆心O，点A在圆上，AD⊥BC，垂足为点D，若AD=8，tanA= ．（1）求弦BC的长；（2）求⊙O半径的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解、过点O作OE⊥CD，垂足为E，OF⊥AB，垂足为F，连接OD，∵AB=CD=8，∴OE=OF，DE=CE=4，在R t∆ODE中，DE=4，OD=5，∴OE==3;∵AB⊥CD，OE⊥CD，OF⊥AB，∴∠EPF=∠OEP=∠OFP=900，∴四边形OEPF是矩形，而OE=OF，∴四边形OEPF是正方形，∴OE=EP=3，在R t∆OPE中，由勾股定理可得OP=.故选C。
垂径定理-中考数学专项训练(含解析)
垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是 的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。
九年级圆的垂径定理与圆心角圆周角的大题精选(含答案)
九年级圆的垂径定理与圆心角圆周角的大题精选(含答案)九年级圆的垂径定理与圆心角圆周角的大题精选（含答案）圆的性质大题一、解答题（共25小题）1.如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H。
1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点。
证明：∠B+∠D=90°，∠B=90°-∠D，又∠ADC=90°（直径所对的角为直角），所以∠___∠B，因此三角形ADC与三角形BDC相似，所以BD/DC=DC/BD，即BD²=DC²，所以BH=HD，即H为CD的中点。
2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=√3，求AB的长。
连接OH，由勾股定理得OH=√3，又因为H为CD的中点，所以CH=1，从而CO=√3+1，又AO=CO，所以AB=2AO=2(√3+1)。
2.如图，∠BAC=60°，AD平分∠___于点D，连接OB、OC、BD、CD。
1）求证：四边形OBDC是菱形。
证明：由角平分线定理得∠OAD=∠OBD，又∠OAB=∠OBA=30°，所以∠OBD=30°，又∠OCD=∠OAD=30°，所以∠___∠OCD，所以BD=CD，又∠___∠OCD=30°，所以∠___∠OBC，所以三角形OBD与三角形OBC全等，所以OB=OC，又∠___∠OCD=30°，所以OB=BC，所以四边形OBDC是菱形。
2）当∠BAC为多少度时，四边形OBDC是正方形？当∠BAC=90°时，∠___∠OCD=45°，所以BD=CD，又∠___∠OCD=45°，所以OB=BC，所以四边形OBDC是正方形。
3.如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OB，求∠A的度数。
由圆心角的性质得∠ACB=2∠A，又∠ACB=90°，所以∠A=45°，所以∠EAB=∠OAB-∠OAE=45°-42°=3°，又∠___∠OAB=45°，所以∠DBA=∠OBD-∠OBA=45°-3°=42°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-42°=93°。
垂径定理(原卷版) 九年级数学下册
27.1.2第2课时垂径定理姓名：_______班级_______学号：________1．（2022·云南·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（）A．713B．1213C．712D．13122．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为()A．363B．243C．183D．723 3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，AB是O的直径，且经过弦CD的中点H，已知4cos5CDB∠=，5BD=，则OH的长的长度．4．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．13．已知：在圆O内，弦AD MN OG．结,题型5垂径定理的推论A．3B的弦AB 15．如图，OA．8A B C在16．已知点,,A．若半径OB平分弦B．若四边形OABCA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm21．（2022·浙江宁波·统考模拟预测）AB=，则垂足为M，且8cmA．25cm B．22．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图已知圆心O在水面上方，且运行轨道的最低点，则点C23．（2023·安徽·统考中考真题）在Rt ABC △中，M 是斜边AB 的中点，将线段MA 绕点M 旋转至MD 位置，点D 在直线AB 外，连接,AD BD ．(1)如图1，求ADB ∠的大小；(2)已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2，连接CD ，求证：BD CD =；（ⅱ）如图3，连接BE ，若8,6AC BC ==，求tan ABE ∠的值．。
九年级《圆》垂径定理练习及答案
九年级《圆》垂径定理练习一、选择题1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是() A. D在圆内B．D在圆上C．D在圆外D．不能确定2．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶角的距离相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．下面的四个判断中，正确的一个是()A．过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦；B．过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦；C. 过圆内的一点的无数条弦中，有一条且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦；D．过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦．4．下列说法中，正确的有()①菱形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四个顶点在同一个圆上；③正方形四条边的中点在同一个圆上；④平行四边形四条边的中点在同一个圆上．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图所示，在⊙0中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是()A．AC=CB B. C. D. OC=CN6．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 c()A．B ． C. 8 cm D ．7．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于()A．6 cm B ．C．8 cm D ．8．如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4，CE=2，那么⊙O的半径等于()A. 5B.C.D.9. 如图所示，AB是⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB．∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A、B两点)上移动时，点P()A．到CD的距离保持不变B．位置不变C. 等分D．随C点的移动而移动10. 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AC=CD，AB的弦心距等于CD的一半。
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初中数学垂径定理练习
一．选择题（共13小题）
1．（2015•大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）
A．cm B．9 cm C．cm D．cm 2．（2015•东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）
A．6B．13 C．D．2
3．（2015•上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（）A．2：1 B．：1 C．2：1 D．：1 4．（2014•乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于（）
A．B．C．3D．2
5．（2014•安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）
A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．（2014•简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（）A．3B．6C．9D．12
7．（2014•宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交
于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（）
A．B．C．6D．
8．（2014•河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．
9．（2014秋•大竹县校级期末）如图，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）
A．1B．C．D．
10．（2014秋•扬中市校级月考）如上图，在直角坐标系中，以点P为圆心为半径的圆弧与x轴交于A、B两点，已知A（2，0），B（6，0），则点P的坐标是（）A．（4，）B．（4，2）C．（4，4）D．（2，）11．（2013•海门市模拟）圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m，∠CAD=30°，则大棚
高度CD约为（）
A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m 12．（2012•天宁区校级模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE 交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则O点到BE的距离OM=（）A．B．C．D．
13．（2012秋•镇赉县校级期末）如图，AB为⊙O的一固定直径，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆上（不包括A、B两点）移动时，则对点P的判断正确的是（）
A．到CD的距离保持不变B．与点C的距离保持不变
D．位置不变
C．
平分
二．填空题（共16小题）
14．（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．
15．（2011•鄂城区校级模拟）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB=6，CD=8，则弦AC的长为．
16．（2010•海南）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为cm．
17．（2004•山西）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP=．
18．（2003•宁波）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为cm．
19．（2008•邵阳）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，AB=5，AC=4，则BD=．
20．（2006•龙岩）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上一点，且PB=2，则OP=．
21．（2005•中原区）如图，已知⊙O的直径为10，P为⊙O内一点，且OP=4，则过点P且长度小于6的弦共有条．
22．（2004•郑州）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且D是弧AB的中点，CD交OB 于E，∠AOB=100°，∠OBC=55°，那么∠OEC=度．
23．（2015•黄冈中学自主招生）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为．
24．（2015•浠水县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为．
25．（2015•嘉定区一模）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果BC=6，那么MN=．
26．（2015•泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是．
27．（2015•广陵区一模）如图，⊙O的半径是4，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O 分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF．若OG﹦1，则EF为．28．（2015•滨州模拟）已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为．
29．（2015春•萧山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（4，a）（a ＞4），半径为4，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则⊙P的弦心距
是；a的值是．
三．解答题（共1小题）
30．（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
2015年07月12日24的初中数学组卷
参考答案
一．选择题（共13小题）
1．C 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 7．B 8．A 9．C 10．C 11．B 12．D 13．C
二．填空题（共16小题）
14．215．或5或7 16．17．18．19．20．
21．0 22．80 23．24．6cm 25．3 26．4 27．28．7dm或1dm 29．14+
三．解答题（共1小题）
30．等边三角形。