第四章动态电路分析方法第一节一阶电路的分析411一阶

0
τ
2τ
3τ
4τ
t
对于RL电路的分析，根据对称性原则，同学们自学。
第四章 动态电路分析方法
电 路 与 电 子 技 术 基 础
例：电路如图所示，已知uC(0)=0。在t=0时开关闭合，求t≥0时uC(t)和uo(t)。
uC(t) + 2F uC(t) + 2F 2Ω + uO(t) -
1Ω
us(t)=1V
R
第四章 动态电路分析方法
电 路 与 电 子 技 术 基 础
3. 一阶电路的完全态响应
物理意义：初始状态不为零，外部激励也不为零时电路的响应。 研究方法：在讨论零状态响应时，我们已谈到微分方程的解是由通解和特 解组成的，只是在求通解的待定常数时，利用初始条件为零，若初始条件 不为零，则可以得到一阶电路的完全响应。 设电路响应为y(t)，y(∞)为电路达到稳态时的响应， y(0)为响应的初始值。
uC(t) uC( ) [uC(0) uC( )] e RI (Uo RI )e s s
稳态响应 暂态响应 t t
K1 + -
K2 + Uo -
Is
R
C
uC(t)
uc RIs U0-RIs 0
零输入响应
稳态响应
将右式改写为下式可以看到它是由零 输入响应和零状态响应组成
t
对于该式，如果知道响应初值y(0) 、稳态值y(∞)以及时间常数τ，就可以完 全确定电路响应 y(t)，这种方法称为求电路完全响应的三要素法。
第四章 动态电路分析方法
下面对电路完全响应进行分析。
电 路 与 电 子 技 术 基 础
电路如图，K1打开， K2闭合，电路达到稳态。在t=0时， K1闭合， K2打 开，求t≥0时电压uC(t)。 K1打开， K2闭合，电路达到稳态时， uC(0)=UO。 电路切换后达到稳态时，由于电容相当 于开路，所以电容两端电压即为电阻R 两端电压，所以uC(∞)=ISR 时间常数τ=RC，根据三要素公式可知：
2 i ( t ) i ( t ) i ( t ) e 1 C t
t 0
u ( 0 ) 2 V, RC 1 2 2 s C

第四章 动态电路分析方法
2. 一阶电路的零状态响应
电 路 与 电 子 技 术 基 础
物理意义：所谓零状态响应就是在初始条件为零的情况下，由施 加与电路的输入所产生的响应。换句话说是求微分方程初始条件 为零时的非齐次解。 下图中K闭合，当t=0时，开关打开，此时uC(0)=0，然后分析电路 响应。以电容C两端的电压作为求解对象，则
uC
+ uC(t) RIs C R Is 斜率C t
is(t)=Is
d u ( t ) u ( t ) C C C I s d t R
t 0
Is C
初始时刻：
du c dt

t 0
稳态以后：uC≈RIs
根据公式对电路进行定性 分析可以得到上图uC变化 曲线，若要得到uC的解析 表达式，可通过解微分方 程得到。
例：含有受控源电路的动态分析。K在2的位 置，电路处于稳态。t=0时，K由2切换到1。 求uc(t)和电流i(t)。 解：为简化电路分析，将含受控源部分的电 路用戴维南等效电路代替。参见电路图(b) 由KVL得： 12(26 )i 4 i 故 i 1 A 开路电压为：
+ 12V i (t ) 2 Ω 6Ω + 4i i’ 2Ω + 12V 6Ω + 4i’ 1 + uC 0.1F a + uoc 2 2.5Ω 5V +


+ 12V -
6Ω + 4i -
uC 0.1F -
第四章 动态电路分析方法
例：K在1的位置，电路处于稳态。t=0时，K 由1切换到2。求u(t)的零输入响应、零状态 响应和完全响应。
第四章 动态电路分析方法
电 路 与 电 子 技 术 基 础
将受控源部分用戴维南电路等效后，电路 如图所示，根据此电路用三要素法求电路 的过渡过程，有：
u ( 0 ) 5 V c u ( ) 10 V c R C 1 0 . 1 0 . 1 s 0
K 在 2 位置 K 在 1 位置
y ( t ) y ( t ) y ( t ) y ( ) Ae p h
t
将t=0代入上式
0 y ( 0 ) y ( ) Ae A y ( 0 ) y ( )
故： y ( t ) y ( ) [ y ( 0 ) y ( )] e
6Ω 2 Ω i (t ) 2 Ω i (t ) iC(t) + uC(t) i1(t)
RC 2 u ( t ) u ( 0 ) e 2 e C C t t
电 路 与 电 子 技 术 基 础
t 0
10V
+ 2V 2F -
2Ω
2F 2Ω
t d u ( t ) C 2 i ( t ) C 2 e t 0 C d t t u ( t ) C 2 i ( t ) e t 0 1 R
Us 1/3V
R 2/3Ω
由简化后的电路知： du uC C C R Us dt du u U 整理得： C C C s dt R R
这与前面讨论的方程一致，利用已得结论得：
1 1 1 t t t U s RC RC RC u RI ( 1 e ) R( 1 e ) U ( 1 e ) C s s
物理意义：所谓零输入响应就是没有外部激励输入，仅仅依靠动态元件 中的储能产生的响应。换句话说是求解微分方程在初始条件不为零时的 齐次解。 换路：在开关切换的前、后时刻，通常用t0-或t0+表示。
K1 uc(0)=U0 US=U0 C K2
电 路 与 电 子 技 术 基 础
i(t)
R
换路后
uc(0)=UC
常数k由完全解和初始条件所决定。 特解与外施激励函数有相同的形式，本例中激励函数是恒定电流， 所以可以认为特解是常数。设ucp=A，将其代入微分方程得：
1 A I s R u A RI cp s
完全解为：
1 t RC u u u ke RI C ch cp s
由初始条件uC(0)=0代入上式，可以确定k=-Ris，故零状态响应为：
1 1 t t RC RC u u u RI e RI RI ( 1 e) C ch cp s s s
( t 0 )
第四章 动态电路分析方法
电 路 与 电 子 技 术 基 础
一阶零状态电路的响应曲线如图所示。
uC RIs 0.63RIs 0.05RIs 0.02RIs
第四章 动态电路分析方法
通过解微分方程得到一阶电路零状态响应的解析表达式。
电 路 与 电 子 技 术 基 础
由于电路有外部激励，因此微分方程是非齐次方程，对于非齐次微分方程 ，其解由齐次解和特解两部分组成。 解齐次方程：
t d u d u 1 C C 1 RC C u 0 或改写为： d t u ke ( t 0 ) C ch d t R u RC C 1
10 i ( 0 ) i ( 0 ) 10 ( A) L L 1
+ 10V – iL(t) 0.3H + uL(t) – 3A
电 路 与 电 子 技 术 基 础
开关动作后电路如图(b)所示，电感 电流稳态值为： iL( ) 3A
4Ω
2Ω
(a)
电路的时间常数：

L 0 .3 9 (s) R 4 // 2 40 0
uC(t)
i
U0 R 0 t
U0
0.368U0 0 τ 2τ 3τ
Fra Baidu bibliotek
0.0184U0 4τ t (s )
第四章 动态电路分析方法 思考问题：
(1)若求出uc(t)，如何求ic(t)？ (2)为什么说RC的量纲是时间？ (3) uc(t) 不能跳变， ic(t)能否跳变？ (4)零输入响应是由什么引起的？ (5)能否根据求解RC电路的过程求解RL电路？ 对于RL电路的分析请同学们自己看书理解，RL电路与RC电路是对称的， 同学们只需注意：①RL电路中的连续量是il(t)；②电感是存储磁场能量的， 是以电感电流的形式表现的，初始条件是il(0) ；③时间常数τ =L/R。 例：t=0时开关闭合，求电路中的i(t)
第四章 动态电路分析方法 第四章 动态电路分析方法 第一节 一阶电路的分析
电 路 与 电 子 技 术 基 础
4.1.1 一阶电路的零输入响应
4.1.2 一阶电路的零状态响应 4.1.3 一阶电路的完全响应
第二节 二阶电路的分析
4.2.1 LC电路中的自由振荡 4.2.2 二阶电路的零输入响应描述
4.2.3 二阶电路的零输入响应—非振荡情况
iL(t) + uL(t) 4Ω (b) 2Ω 3A
根据三要素公式，得电感电流：
40 40 t t i ( t ) 3 ( 10 3 ) e9 3 7 e9 (A) L
电感电压为：
t d i 28 L 9 (V) u ( t ) L e L d t 3 40
第四章 动态电路分析方法
4.2.4 二阶电路的零输入响应—振荡情况
第四章 动态电路分析方法 研究对象：含动态元件电路的过渡过程分析方法； 关注焦点：零输入响应和零状态响应的物理意义及求解方法。 特别提示：由于电路分析的基本变量是电压和电流，对于含有动态元件 的电路，电容电压和电感电流是连续量，在列方程时，一般以电容电压 或电感电流为变量。（最后一个例题说明）
1Ω + 10V -
1
2 2.5Ω + uC 0.1F 5V +
10 t 10 t u ( t ) 10 ( 5 10 ) e 10 15 e V c


回到原电路，可知：
i (t ) 2 Ω
1 +
2 2.5Ω 5V +
12 u ( t ) 10 t c i ( t ) 1 7 . 5 e A c 2
+ u c (t ) -
i (t ) + u R (t ) -
已充电的电容与电阻相联接
RC电路uc(0)=U0
由上右图。根据KVL得：uc(t)-uR(t)=0 由欧姆定理得：uR(t)=Ri(t) du ( t ) 由电容特性知： i ( t ) Cc
代入整理可得：
du t) c( u ( t ) RC 0 c dt 及 u 0 ) U c( 0
电 路 与 电 子 技 术 基 础
u 6 i 4 i 10 i 10 V oc
求戴维南电路等效电阻。内部电源置零 ，外加电压U的方法
I1
I2 2Ω 6Ω 4 I1 + + U -
I
-
b
U 4 I 5 U 5 U U I I I I 1 I U 1 2 1 1 6 3 63 26 U Ro 1 I
dt
及u ( 0 ) U c 0
t 0
第四章 动态电路分析方法
解以上线性齐次常微分方程可得：
电 路 与 电 子 技 术 基 础
u C
1 t RC ( t) ke
再利用初始条件，最后解得一阶电路的零输入响应为：
1 t u ( t ) U eRC C 0
t 0
几点说明： (1)RC的量纲为时间，故通常称τ=RC为电路时间常数。 (2)当t=4τ时，uc(4 τ )=0.0184U0，一般认为衰减到零。 (3)1/ τ 称为电路的固有频率
电 路 与 电 子 技 术 基 础
一、一阶电路的分析
定义：含有一个动态元件的线性电路。通常是用一阶线性常系数微分方 程来描述。
含源电 阻网络
C
+ us(t) -
R
+ uc(t) (b)
is(t)
R
+ uc(t) (c)
(a)
(a)单一动态元件网络；
(b)用戴维南定理简化； (c)用诺顿定理简化
第四章 动态电路分析方法 1. 一阶电路的零输入响应
u t) U e RI ( 1e ) C( o s
零输入响应 零状态响应 t t
零状态响应 暂态响应
t
第四章 动态电路分析方法
例： 如图(a)所示电路，t=0时开关S1打开，S2闭合，在开关动作前，电路 已达稳态，试求t≥0时的uL(t)和iL(t)。 1Ω S1 S2 解：t<0时，电路已处于稳态,有