追爱的数学模型
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❖ 如果女生采用上面我们提出的策略，这里我们取M=1 ，即无论第一个人是否优秀， 女生都选择拒绝。然后对于之后的追求者，只要他比第一个男生更适合女生就选择接 受，否则拒绝。 基于这种策略，“1 3 2 ”、“2 1 3 ”、“ 2 3 1 ”这三种排列顺 序下女生都会在第一次做出接受的选择时遇到“3 ”，这样我们就把这种概率增大到 3/3!=1/2 。
❖ 37% 法则的效果究竟如何呢？我们在计算机上编写程序模拟了当 n = 30 时利用 37% 法则进 行选择的过程（如果 MM 始终未接受求爱者，则自动选择最后一名求爱者）。编号越小的男生越 次，编号为 30 的男生则表示最佳选择。程序运行 10000 次之后，竟然有大约 4000 次选中最 佳男生，可见 37% 法则确实有效啊。
❖ 拒绝前M=[N/e] 或者[N/e]+1 个追求者，当其后的追求 者比前M 个追求者更适合则接受，否则拒绝。
❖ 假设你一共会遇到大概 30 个，就应该拒绝掉 前 30/e ≈ 30/2.718 ≈ 11 个求爱者，然后从第 12 个求爱者开始，一 旦发现比前面 11 个求爱者都好的人，就果断接受他。由于 1/e 大约等 于 37%，因此这条爱情大法也叫做 37% 法则。
大表示越适合这个女生。这样在这段时间中，女生的Mr. Right 就是男生N 了。 ❖ 现在问题变成面对这N 个追求者，应该以怎样的策略才 能使得在第一次选择接受的男生就是N 的可能性最大。
1.2.模型假设
❖ 1、N 个男生以不同的先后顺序向女生表白，即在任一时 刻不存在两个或两个பைடு நூலகம்上的男生向这位女生表白的情况的 发生，而且任何一种顺序都是完全等概率的。
❖ 现在我们的问题就归结为，对于一般的N ，什么样的M 才会使这种概率达到最大值呢？（在这种模型中，前面M 个男生就被称为“炮灰垫背”，无论他们有多么优秀都要 被拒绝）
1.4.模型建立
❖ 在这一部分中，根据上面的模型假设，我们先找到对于给定的M 和 N(1<M<N) ，女生选择到Mr. Right 的概率的表达式。
1.1.问题简化
❖ 假设一个女生想在一段时间中和一位男生开始一段感情， 并且在这段时间中有N 个男生追求这位女生。
❖ 这N 个男生是以不同的先后顺序来追求这位女生。 ❖ 在适合这个女生的意义上，假设追求者中任何两个男生都
是可以比较的，而且没有相等的情况。 ❖ 这样我们对这N 个男生从1 到N 进行编号，其中数字越
❖ 不知道了解此问题的女生，会不会多了一种分手的理由：不好意思，你是那 37% 的人⋯⋯对于 男生，该模型残酷的，指出了炮灰存在的现实意义，正如伟大哲学家萨特所说“存在即是合理” ，炮灰的不可避免性也许是对已经和即将成为炮灰的男生的宽慰。But,However， What‘s more(*^__^*) ……，
❖ 1 到N 个数字进行排列共有N! 种 可能。当数字N 出现在第P 位置（ M<P<=N ），如果使上述策略在第一次选择接受时遇到的是N ，排列需 要满足下面两个条件：1、 N 在第P 位置；2、 从M+1 到P-1 位置的数字 要比前M 位置的最大数字要小 。
❖ 例如：N=9，M=3，P=7，M+1=4,P-1=6,符合：365124978，不 符合： 365174928
❖ 不过，37% 法则有一个小问题：如果最佳人选本来就在这 37% 的人里面 ，错过这 37% 的人之后，她就再也碰不上更好的了。
❖ 但在游戏过程中，她并不知道最佳人选已经被拒，因此她会一直痴痴地等待 。也就是说，MM将会有 37% 的概率“失败退场”，或者以被迫选择最后 一名求爱者的结局而告终
37% 法则“实测”！
当x>0
❖
❖所以：
❖ 当N 比较大时，同理由右不等式可得M ≈N/e ， 以上e 为自然对 数。若记[x] 为不大于x 的最大整数，由以上推导我们可猜测当M 取[N/e] 或[N/e]+1 时，该表达式取得最大值。
1.6.结果分析
❖ 由上述分析可以得到如下结论：为了使一个女生以最大的概率在第一次选择 接受男生时遇到的正是Mr. Right ，女生应该采用以下的策略：
❖ 2、面对表白后的男生，女生只能做出接受和拒绝两种选 择，不存在暧昧或者其它选择。
❖ 3、任一时刻，女生最多只能和一位男生谈恋爱，不存在 脚踏多船的情况。
❖ 4、已经被拒绝的男生不会再次追求这位女生。
1.3.问题分析
❖ 简单策略：如果一旦有男生向女生表白，女生就选择接受。这种策略 下显然女生以1/N 的概率找到自己的Mr. Right 。当N 比较大的 时候，这个概率就很小了，显然这种策略不是最优的。
种序列符合要求。 由此得到女生选择接受时遇到Mr. Right 的概率为
1.5.模型求解
❖ 这一部分中我们求解使这个表达式取得最大值时
M 的值。
❖ 记函数
且设自变量取值为M 时，
函数取得最大值。
❖所以M 应满足
❖我们知道，当x>0, In(1+x)< x ; 时, In(1+x) ~ x 。
❖ 所以由左不等式
❖ 运用数学中排列组合的知识，不难知道符合上面两个条件的排列共有：
❖ 从8（N-1)个（去掉9N）数中选择6(P-1)个数放在9N的位置 7(P)的前面（CN-1P-1)，6个数中最大的6的位置只能在前3(M) 中选，剩下的5个（P-2）个位置排列，后面的2个（N-P)排列。
这样对于给定的M 和N ，P 可以从M+1 到N 变化，求和化 简后得到给定M 和N 共有
❖ 复杂策略：对于最先表白的M 个人，无论女生感觉如何都选择拒绝 ；以后遇到男生向女生表白的情况，只要这个男生的编号比前面M 个男生的编号都大，即这个男生比前面M 个男生更适合女生，那么 女生选择接受，否则选择拒绝。
以N=3 为例
❖ 三个男生追求女生，共有六种排列方式：1 2 3；1 3 2；2 1 3；2 3 1；3 1 2； 3 2 1。如果女生采用上述最简单的策略，那么只有最后两种排列方式选择到Mr. Right ，概率为2/3!=1/3 。
《数学建模素养》意识篇之
追爱的数学模型
主讲教师 高全胜教授
1.数模女汉子选择追求者问题
虽然是数模女汉子，但对找到自己心中的白马王子，渴望和普 通女生一样的浪漫，找到自己一生的幸福是每个人的追求。 但是面对追求者们，女生应该是选择还是拒绝，她的策略是社 么？ 怎样才能以最大的可能找到自己的“理想的他” 呢？
❖ 37% 法则的效果究竟如何呢？我们在计算机上编写程序模拟了当 n = 30 时利用 37% 法则进 行选择的过程（如果 MM 始终未接受求爱者，则自动选择最后一名求爱者）。编号越小的男生越 次，编号为 30 的男生则表示最佳选择。程序运行 10000 次之后，竟然有大约 4000 次选中最 佳男生，可见 37% 法则确实有效啊。
❖ 拒绝前M=[N/e] 或者[N/e]+1 个追求者，当其后的追求 者比前M 个追求者更适合则接受，否则拒绝。
❖ 假设你一共会遇到大概 30 个，就应该拒绝掉 前 30/e ≈ 30/2.718 ≈ 11 个求爱者，然后从第 12 个求爱者开始，一 旦发现比前面 11 个求爱者都好的人，就果断接受他。由于 1/e 大约等 于 37%，因此这条爱情大法也叫做 37% 法则。
大表示越适合这个女生。这样在这段时间中，女生的Mr. Right 就是男生N 了。 ❖ 现在问题变成面对这N 个追求者，应该以怎样的策略才 能使得在第一次选择接受的男生就是N 的可能性最大。
1.2.模型假设
❖ 1、N 个男生以不同的先后顺序向女生表白，即在任一时 刻不存在两个或两个பைடு நூலகம்上的男生向这位女生表白的情况的 发生，而且任何一种顺序都是完全等概率的。
❖ 现在我们的问题就归结为，对于一般的N ，什么样的M 才会使这种概率达到最大值呢？（在这种模型中，前面M 个男生就被称为“炮灰垫背”，无论他们有多么优秀都要 被拒绝）
1.4.模型建立
❖ 在这一部分中，根据上面的模型假设，我们先找到对于给定的M 和 N(1<M<N) ，女生选择到Mr. Right 的概率的表达式。
1.1.问题简化
❖ 假设一个女生想在一段时间中和一位男生开始一段感情， 并且在这段时间中有N 个男生追求这位女生。
❖ 这N 个男生是以不同的先后顺序来追求这位女生。 ❖ 在适合这个女生的意义上，假设追求者中任何两个男生都
是可以比较的，而且没有相等的情况。 ❖ 这样我们对这N 个男生从1 到N 进行编号，其中数字越
❖ 不知道了解此问题的女生，会不会多了一种分手的理由：不好意思，你是那 37% 的人⋯⋯对于 男生，该模型残酷的，指出了炮灰存在的现实意义，正如伟大哲学家萨特所说“存在即是合理” ，炮灰的不可避免性也许是对已经和即将成为炮灰的男生的宽慰。But,However， What‘s more(*^__^*) ……，
❖ 1 到N 个数字进行排列共有N! 种 可能。当数字N 出现在第P 位置（ M<P<=N ），如果使上述策略在第一次选择接受时遇到的是N ，排列需 要满足下面两个条件：1、 N 在第P 位置；2、 从M+1 到P-1 位置的数字 要比前M 位置的最大数字要小 。
❖ 例如：N=9，M=3，P=7，M+1=4,P-1=6,符合：365124978，不 符合： 365174928
❖ 不过，37% 法则有一个小问题：如果最佳人选本来就在这 37% 的人里面 ，错过这 37% 的人之后，她就再也碰不上更好的了。
❖ 但在游戏过程中，她并不知道最佳人选已经被拒，因此她会一直痴痴地等待 。也就是说，MM将会有 37% 的概率“失败退场”，或者以被迫选择最后 一名求爱者的结局而告终
37% 法则“实测”！
当x>0
❖
❖所以：
❖ 当N 比较大时，同理由右不等式可得M ≈N/e ， 以上e 为自然对 数。若记[x] 为不大于x 的最大整数，由以上推导我们可猜测当M 取[N/e] 或[N/e]+1 时，该表达式取得最大值。
1.6.结果分析
❖ 由上述分析可以得到如下结论：为了使一个女生以最大的概率在第一次选择 接受男生时遇到的正是Mr. Right ，女生应该采用以下的策略：
❖ 2、面对表白后的男生，女生只能做出接受和拒绝两种选 择，不存在暧昧或者其它选择。
❖ 3、任一时刻，女生最多只能和一位男生谈恋爱，不存在 脚踏多船的情况。
❖ 4、已经被拒绝的男生不会再次追求这位女生。
1.3.问题分析
❖ 简单策略：如果一旦有男生向女生表白，女生就选择接受。这种策略 下显然女生以1/N 的概率找到自己的Mr. Right 。当N 比较大的 时候，这个概率就很小了，显然这种策略不是最优的。
种序列符合要求。 由此得到女生选择接受时遇到Mr. Right 的概率为
1.5.模型求解
❖ 这一部分中我们求解使这个表达式取得最大值时
M 的值。
❖ 记函数
且设自变量取值为M 时，
函数取得最大值。
❖所以M 应满足
❖我们知道，当x>0, In(1+x)< x ; 时, In(1+x) ~ x 。
❖ 所以由左不等式
❖ 运用数学中排列组合的知识，不难知道符合上面两个条件的排列共有：
❖ 从8（N-1)个（去掉9N）数中选择6(P-1)个数放在9N的位置 7(P)的前面（CN-1P-1)，6个数中最大的6的位置只能在前3(M) 中选，剩下的5个（P-2）个位置排列，后面的2个（N-P)排列。
这样对于给定的M 和N ，P 可以从M+1 到N 变化，求和化 简后得到给定M 和N 共有
❖ 复杂策略：对于最先表白的M 个人，无论女生感觉如何都选择拒绝 ；以后遇到男生向女生表白的情况，只要这个男生的编号比前面M 个男生的编号都大，即这个男生比前面M 个男生更适合女生，那么 女生选择接受，否则选择拒绝。
以N=3 为例
❖ 三个男生追求女生，共有六种排列方式：1 2 3；1 3 2；2 1 3；2 3 1；3 1 2； 3 2 1。如果女生采用上述最简单的策略，那么只有最后两种排列方式选择到Mr. Right ，概率为2/3!=1/3 。
《数学建模素养》意识篇之
追爱的数学模型
主讲教师 高全胜教授
1.数模女汉子选择追求者问题
虽然是数模女汉子，但对找到自己心中的白马王子，渴望和普 通女生一样的浪漫，找到自己一生的幸福是每个人的追求。 但是面对追求者们，女生应该是选择还是拒绝，她的策略是社 么？ 怎样才能以最大的可能找到自己的“理想的他” 呢？