概率论中取球问题的解答方法

在概率论中，取球问题是一类常见的问题，其中一个典型的问题是从一个袋子中取球的概率计算问题。下面是一些解答这类问题的方法：

1. 列举法：通过列举所有可能的事件来解决问题。例如，如果袋子里有5个红球和3个蓝球，那么可以列举出所有可能的取球序列，然后计算每个序列的概率。

2. 空间分配法：通过想象取球过程中每个事件所处的空间来解决问题。例如，在上述例子中，可以用一个3维空间来表示取球过程，其中每个维度代表不同颜色的球的数量。

3. 公式法：通过应用概率论的公式来解决问题。例如，可以使用互斥事件的概率公式（P(A并B) = P(A) + P(B) - P(A交B)）来计算两个事件同时发生的概率。

4. 条件概率法：通过应用条件概率的公式（P(A|B) = P(A交B) / P(B)）来解决问题。例如，可以计算在已经取出一个红球的条件下，取出一个蓝球的概率。

5. 组合分析法：通过应用组合分析的原理来解决问题。例如，可以使用排列组合的公式来计算从袋子中取出一定数量球的不同取法的数量。

以上是一些常见的解答方法，具体使用哪种方法取决于问题的具体情况和个人偏好。

概率论整理答案

第1章随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： (1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。 (2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。 (3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 (4)抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___ AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。（2）4只中至少有2只红球。（3）4只中没有白球。解: （1）所求概率为338 4 12 1 31425=C C C C ；（2）所求概率为16567 4952014 124 418342824==++C C C C C C ；（3）所求概率为165 7 495354124 7= =C C 。 6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到 )(n k k ≤张提货单的概率。解：根据题意，)(M n n <张提货单分发给M 个销售点的总的可能分法有n M 种，

概率论练习题与解析

十、概率论与数理统计一、填空题 1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为 p 。现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为n p )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。 2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1 个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。解：用i A 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用 B 代表“取出的球是白球”。由全概率公式 ?=?+?+?=++=120 53853163315131) |()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式

?=?==5320120 536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P 3、设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。若已知A 至少出现一次的概率等于 19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为。解：设事件A 在一次试验中出现的概率为 )10(<

(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)

习题一 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 },2,1,0|{ΛΛ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则 )},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A . 3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： (1)B A Y ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B Y ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A Y 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件； (3) =AC {取得球的号码是2，4}； (4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}； (6) ==C B C B I Y {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 4. 在区间]2,0[上任取一数，记??????≤<=121x x A ，??? ???≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式： (1)B A Y ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A Y . 解 (1) ??? ???≤≤=234 1x x B A Y ; (2) =??????≤<≤≤=B x x x B A I 2121 0或? ????? ≤

概率统计第一章答案

概率论与数理统计作业班级姓名学号任课教师第一章概率论的基本概念教学要求：一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式．三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算．难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理解与应用；独立性的应用．练习一随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ；（2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑

球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵：（1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A ={}次取得白球次或地第 21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B = 练习二频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ⊂ 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P === 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ⊂则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=

2020高中数学---取球问题

第90炼取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下： 1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” 3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。 5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。二、典型例题：例1：一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为 65 98 ?，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为36 98 ?，从而能够得到第三次取到黑球的概率解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()65364829898723 P A ∴= ?+?== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为 69 解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”

概率解答题答案

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1、设两两相互独立的三事件 ,,A B C 满足条件：,()()()ABC P A P B P C =∅==，且已知 9 ()16 P A B C ⋃⋃= ，求()P A . 解：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ⋃⋃= ++---+ ()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P A P B =++--- 2 9 3()3()16 P A P A =-= ，则13()44 P A = 或，其中3 4()P A =舍去，因为()()P A P A B C ≤⋃⋃. 2、设事件 A 与 B 相互独立，两事件中只有A 发生及只有B 发生的概率都是 1 4 ，试求()P A 及()P B . 解：由已知条件知：1 () (),4 P AB P AB ==则 1 ()()(),4 P A P A P B -= 1()()();4P B P A P B -= 解得1 ()().2 P A P B == 3、一口袋中有6个红球及4个白球。每次从这袋中任取一球，取后放回，设每次取球时各个球被取到的概率相同。求：（1）前两次均取得红球的概率；（2）取了n 次后，第n 次才取得红球的概率。解：（1）记A={前两次均取得红球}，669 ()101025 P A = = （2）记B={取了n 次后，第n 次才取得红球}，114623 ()()()101055 n n P B --== 4、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5. （1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率. 解：（1）设 {}A =恰有两位同学不及格，1{}B =甲考试及格，2{}B =乙考试及格， 3{}B =丙考试及格.则 123123123123123123()()()()()P A P B B B B B B B B B P B B B P B B B P B B B =⋃⋃=++ 123123123()()()()()()()()()0.29P B P B P B P B P B P B P B P B P B =++=

概率论答案 - 李贤平版 - 第二章

第二章条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少 8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ??? ??=--≥=,0,11, 1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有 )1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为，而误认废品为合格品的概率为，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。

(完整版)大学数学概率统计课后习题解答

大学数学概率与数理统计课后习题详解习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 },2,1,0|{ΛΛ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则 )},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A . 2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： (1)B A Y ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B Y ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A Y 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件； (3) =AC {取得球的号码是2，4}； (4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}； (6) ==C B C B I Y {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 3. 在区间]2,0[上任取一数，记? ?????≤<=12 1x x A ，? ?? ???≤≤=234 1x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A Y ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A Y . 解 (1) ??? ???≤≤=234 1x x B A Y ; (2) =??????≤<≤≤=B x x x B A I 2121 0或? ????? ≤

摸球问题概率求法归类

摸球问题概率求法归类今天，我们要讨论的是摸球问题概率求法归类。摸球问题是指，从一堆混乱的球中抽取多个球，每次都是独立的抽取，求取抽中某种特定球的概率。针对因为抽球次数多而呈现的计算模型，研究者们将概率求解模型归类如下： 1.朴素贝叶斯模型贝叶斯模型主要指将观测数据分类，通过计算各类别概率来确定最有可能的分类。在摸球问题中，各类球的出现概率不固定，可以调整其占比，朴素贝叶斯的求解可以相对简单地求解出抽中某种球的概率。 2.蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是以概率论为基础，将实际问题转化为抽样模型，采用大量抽样来模拟实际状况，并进行统计分析，以求解问题结果。同样，在摸球问题中，可以采取蒙特卡洛模拟抽取球，根据模拟结果对球的抽取概率进行统计计算，实现对摸球问题的求解。 3.概率推断方法概率推断方法是以概率推断为基础，根据已知条件，向前追溯并求取出未知概率。在摸球问题中，可以通过推断给定条件下抽中某种特定球的概率，对摸球问题的求解也有很好的帮助。上述三种方法，都可以将摸球问题的计算模式转变为概率求解模型，实现摸球问题的求解。针对不同模式，我们可以采取不同的概率求解方法。下面，我们将分析每种概率求解技术的详细过程。

首先，我们来看看朴素贝叶斯模型。朴素贝叶斯模型要求观测数据出现的概率已知，通过计算各类概率来求解抽中某种球的概率。比如，如果有五种球，分别占比为0.3、0.2、0.2、0.2、0.1，那么抽中某个特定球的概率就是其在总数量中占比的百分比。接下来，我们讨论蒙特卡洛方法。这种方法针对实际条件进行抽样，根据抽样模拟结果，对球的抽取概率进行统计计算，根据大量抽样求出抽中某种特定球的概率。比如，我们在实际中抽取100次，每次抽取一个球，并记录下抽中特定球的次数，那么抽中这种特定球的概率就是抽中次数的百分比。最后，我们讨论概率推断方法。这种方法根据已知条件，向前追溯并求取出未知概率，是摸球问题最原始的求解方法。比如，假设有六种球，在上一次抽取中抽取出某个特定球，那么下次抽取这种特定球的概率就是该球在总数量中占比的百分比，根据上次抽取结果来推断下次抽取结果。综上，我们可以看到，摸球问题概率求解模型可以归类为朴素贝叶斯模型、蒙特卡洛方法和概率推断方法；针对不同的概率求解模型，可以采取不同的概率求解技术，实现对摸球问题的求解。在未来，随着算法技术的发展，我们将继续探索更先进的摸球问题概率求解技术，实现更高效率的摸球问题求解，为更快有效地解决相关问题提供有效帮助。总之，摸球问题概率求解模型归类主要有朴素贝叶斯模型、蒙特卡洛方法和概率推断方法，针对不同的概率求解模型，可以采取不同

高中数学概率题的解答方法分析

高中数学概率题的解答方法分析高中数学中，概率题是一个比较常见和重要的考点，也是许多学生认为比较难的一部分。但实际上，只要我们掌握了一些常见的解题方法和技巧，就可以轻松地解决这些问题。一、基本概念在讨论解题方法之前，我们先来了解一些基本概念。概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用一个0到1之间的数值来表示。例如，一个事件发生的概率为0.5，就表示这个事件有一半的可能性会发生。根据概率的定义，我们可以得到以下两个公式： P(A) = m/n 其中，P(A)表示事件A发生的概率；m表示A发生的次数；n表示总的实验次数。其中，Ω表示所有可能的事件，它的概率必须等于1。二、解题方法 1.根据条件求概率这是概率题中常见的一种类型。它的解题思路是先确定事件的条件，然后根据条件求出概率。例如：从一副扑克牌中，随机抽出一张牌，求抽到红桃牌的概率。解题思路：首先，我们先确定事件的条件，即从一副扑克牌中随机抽出一张牌。因为扑克牌的总数是52张，所以n=52。然后，我们需要确定事件A，即抽到红桃牌的概率，所以m=13（因为红桃牌有13张）。因此，根据概率公式，可得出答案： P(A) = m/n = 13/52 = 1/4 所以，抽到红桃牌的概率为1/4。 2.求互不相容事件的概率互不相容事件是指两个事件不可能同时发生的情况。例如，掷一颗骰子，我们要求出抛出1或2的概率，因为掷骰子时只能出现一个数值，所以这两个事件就是互不相容的。

首先，我们需要确定两个互不相容的事件：掷骰子出现1、掷骰子出现2。因为掷骰子有6个面，所以n=6。然后，我们需要确定事件A，即掷骰子出现1，所以m=1；事件B，即掷骰子出现2，所以m=1。因此，可得出答案：所以，掷骰子出现1或2的概率为1/3。独立事件是指两个事件之间互不影响，即一个事件的发生与另一个事件的发生无关。例如，先从一堆50个数里面任意取出一个数，再从另一堆100个数里面任意取出一个数，两个事件之间就是独立的。首先，我们需要确定两个独立事件：从一堆50个数里面任意取出一个数、从另一堆100个数里面任意取出一个数。因为总数是150个，所以n=150，而事件A和B的数量都是1，所以m=1。因此，可得出答案： P(A∩B) = P(A)×P(B) = 1/5000 4.使用条件概率时常需要用到条件概率来解决问题。条件概率是指已经知道某种条件发生后，另外一种事件发生的概率。例如：有两个装有白球和黑球的箱子，其中一个箱子有75%的白球，另一个箱子有50%的白球。现在我们随机选了一个箱子，从中抽出一只球，抽出的是白球，求这个白球是从哪个箱子中抽出来的概率。首先，我们需要设定条件，即已经抽出了白球。然后，我们需要知道两个事件：选择A 箱子、选择 B 箱子。根据题意，A 箱子有75%的白球，B 箱子有50%的白球。因此，根据条件概率公式：其中，P(A|B)表示从 B 箱子中抽出白球，随机选择的箱子是 A 箱子的概率；P(A∩B)表示从 A 箱子中抽出白球，随机选择的箱子是 A 箱子的概率；P(B)表示随机选择的箱子是 B 箱子的概率。因为我们已经知道了抽出的是白球，所以： P(A∩B) = P(从 A 箱子中抽出白球)×P(随机选择 A 箱子) = 0.75×0.5 = 0.375 所以，可得出答案：所以，抽出的白球是从 A 箱子中抽出的概率为0.75。 5.使用贝叶斯公式当我们已经知道了某个条件 B 发生后，想要求另一个条件 A 发生的概率时，就可以使用贝叶斯公式。

取出不放回的概率公式

取出不放回的概率公式取出不放回的概率公式是指在从一个有限的集合中，每次取出一个元素后不放回，再进行下一次取出的概率计算公式。这个公式通常用于统计学、概率论、数学等领域中。在统计学中，我们经常需要从一个有限的集合中取出若干个元素，这时取出不放回的概率公式就非常有用。这个公式可以帮助我们计算在不同的情况下，取出某些元素的概率是多少。例如，假设我们有一个包含10个球的篮子，其中有4个红球和6个蓝球。我们现在要取出2个球，每次取出一个球后不放回，求取出2个红球的概率。根据取出不放回的概率公式，我们可以得到如下计算过程：首先，在第一次取球时，取出红球的概率是4/10，取出蓝球的概率是6/10；接着，在第二次取球时，如果第一次取出的是红球，则剩下的红球只有3个，总球数只剩下9个，所以取出另一个红球的概率是3/9；如果第一次取出的是蓝球，则剩下的红球仍然是4个，总球数只剩下9个，所以取出红球的概率是4/9。根据乘法原理，取出2个红球的概率就是(4/10)×(3/9)=2/15。除了上述的计算方法外，我们还可以使用组合数的方法来计算取出不放回的概率。具体来说，如果我们要从n个元素中取出k个元素，每次取出一个元素后不放回，那么取出所有元素的不同排列数就是

n×(n-1)×(n-2)×……×(n-k+1)，而取出k个元素的不同组合数就是C(n,k)，即n个元素中取出k个元素的不同排列数除以k!。因此，取出k个元素的概率就是C(n,k)除以n×(n-1)×(n-2)×……×(n-k+1)。取出不放回的概率公式是统计学和概率论中非常重要的公式之一。它可以帮助我们计算从一个有限的集合中取出若干个元素的概率，为我们的实际问题提供了很大的便利。

生活中的概率统计

生活中的概率统计古典概型的定义如果随机试验满足两个条件：（1）有限性：样本空间所包含的基本事件仅有n 个；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.称这样的数学模型称为古典概型. 在古典概型中，设随机事件A 含有m 个样本点，那么事件A 发生的概率定义为 n m A P =)(. 古典概型的基本模型——摸球模型一．无放回地摸球模型设袋中有4只白球和2只黑球，现从中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率。解：设}2{只都是白球摸得=A 解法一：分析：把球看成是彼此可以分辨的。则5 25634)(2624=⨯⨯==A A A P 。解法二：分析：若把球看成是不可分辨的。则5 2)(2624==C C A P 。解法三：分析：用事件的“分解”及概率的运算法。设)2,1}({==i i B i 次摸到白球第，则 5 25364)()()()(12121=⨯===B B P B P B B P A P 。(乘法公式) 二．有放回地摸球模型袋中有4个红球，6个黑球。从中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球、第三次摸到红球的概率。解法一：用古典概率方法求解。 144.010 466)(3=⨯⨯=A P 。解法二：令i A ={第i 次摸到黑球}（3,2,1=i ）。 144.010 4106106)()()()()(321321=⨯⨯===A P A P A P A A A P A P 独立性。摸球模型的应用：抽奖问题1 某班级只有一张晚会入场券，而有10位同学都要参加，教师采用抽签的方式来确定这张入场券给谁。这跟抽签的顺序有关吗？分析：设给10个同样大小的球编号，抽到1号球得晚会入场券。设i A ：第i 个人抽到1号球（i =1，2，…，10）。则10 1)(1=A P ，

古典概型解题技巧

古典概型解题技巧摘要概率论是数学学科中从数量的侧面来研究部分随机现象的规律性方面，其理论和方法渗透到了自然科学的各个领域，而古典概型是古典概率论的主要研究内容之一，也是概率论的研究中的一个经典的研究概型。古典概型的主要研究对象是等可能事件，深入研究古典概型有助于我们更好地理解概率论中一些基本的概念，掌握概率论中的基本规律，有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。本文主要研究古典概型中的摸球问题，分球入盒问题，随机取数问题等几种模型，分析其解题思路，总结解题技巧以及思考其应用范围。关键词：古典概型；分球入盒；摸球问题 Title Abstract Keywords：

1 古典概型简介随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。事件的发生或者是其走向，都是由随机决定的。而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角度，给与了概率不同的定义和计算的方法。但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。 2 古典概型的计算我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概率。古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。假设Ω是一个古典概型的样本空间，则对事件A：P（A）=A中的样本点数/Ω中的样本点数=m/n。在计算m 和n时，经常使用排列与组合计算公式。在确定一个实验的每个基本事件发生的可能性相同的时候，往往依据问题本身所具有的某种对称性，即利用人们长期积累的关于对称性的实际经验，认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或者偏小。【1】曾宏伟古典概型的概率计算方法与应用 3．1 分球问题分球问题一般为将n个球分别放到N个盒子中去，这需要考虑各种不同的情况，比如，这n个球是否可辨，每个盒子是否有储存球的上线。而根据这些情况的不同，解题的方法与技巧也有所不同，得到的结论更是相差巨大。所以计算时需要仔细理解该题目的各项条件。例题如下：四个可分辨的球，随机的投入到三个不同的盒子中，试求三个盒子都不空的概率。【2】安永红古典概型问题的推广这一类题目可以从2种不同的角度去思考：第一种从多余球的角度，有四个不同的球，而有三个盒子，那么基本

概率论与数理统计课后习题答案_科学出版社_湘大版.docx

第一章随机事件及概率 1、这6个数字选出5个来排列的方法有种，首位为0的有种，而首位不能为0的为：. 2、任取5件，其中有4件正品与一件次品的取法为：. 3、证明： 8、如下图所示: 由题意可知所求的概率为： 9、(1)取得2个红球的可能有，而总共的取法为，所以两次取得都是红球的概率为； (2) 两次中一次取得红球，另一次取得白球的方法有，而总共的取法为，因此此事件的概率为； (3) 因为两次取得红球的概率由(1)知为，因此其对立事件即至少一次取得白球的概率为； (4) 设表示第一次取得白球事件，表示第二次取得白球事件；显然这两事件是对立的，即，至少一次取得白球事件为，根据概率性质有：而由题知，两次取得白球的概率为，代入上等式有. 10、设表示此密码被译出的事件，表示甲译出事件，表示乙译出事件，表示丙译出事件，表示一个人译出事件，表示只有两人译出事件，表示3个人译出事件，显然，，相互独立。由题知：同理根据全概率公式有: 5、 A 表示任取3件十君一件为次品事件，50件中任取3件的取法为，而有一件为次品的取法为，. (1)任取四球都男Y (2)任取6球恰丈1 0 ▲的曲泮有，而任取四球的取法有，因此任取四球都是白球的概率为: E 6、 7、中題，，日.如下SI 所 0 阴影部分为符合条仃5, j 总共的放法有，因此没有一个空盒子的概率为; 1 宀屮.的概率为: (1)每个盒子都倒菸 (2)至少有一个空盒子 A 里的概率为：. B'

11、(1)设顾客买下该箱事件为，表示取得一箱中没有次品事件，表示取一箱有一件次品事件，表示取一箱中有两件次品事件；显然、、为相互独立事件，，而，，，根据全概率事件： (2)在顾客买下该箱中，确实没有残次品的概率为- 12、设为中靶事件，为选中未校正过事件，为选中校正过枪支事件，则，，，， 13、设为飞机坠落事件，为击中一次事件，为击中两次事件，为击中3此事件；表示被第此击中事件，显然为相互独立事件。而，因此根据全概率公式有 14、(1)击中3次的概率为 (2)因为每次击中的概率为，而至少有一次未击中是其对立事件，因此至少有一次击中的概率为 15、考虑其对立事件：即少于3台车床发生故障的概率，没有一台发生故障的概率为，一台发生故障的概率为，两台发生故障的概率为，因此在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率为 16、第一问：考虑其对立事件：0台、1台发生故障的概率分别为：；因此设备发生故障而得不到及时处理的概率为；同理第二问中所求概率为：第二章随机变量及其分布 1,设Z表示取出次品的个数，“”表示取出0个次品事件；因为15只零件中有2只次品，取3次且每次都不放回取到0件次品的概率为：，即；同理有：，；因此Z的分布律为：(如下图所示) 2,设Z表示3个零件中合格品的个数，“”表示取出0个合格品事件，表示第i个零件为不合格品事件(i=l, 2, 3),显然，，为相互独立事件。由题意知：，，，因此，同理：