二次函数与三角形面积问题专题
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
二次函数中三角形面积问题
二次函数中三角形面积问题【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；令y=0, 则-x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），设AB所在直线的解析式为y=kx+b.求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3mS△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE=1/2×3( -m2+3m)=--3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3＝-3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。
解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。
专题三。(一)。二次函数三角形之面积问题(铅垂法)
专题三。
(一)。
二次函数三角形之面积问题(铅垂法)专题三（一）：二次函数三角形之面积问题（铅垂法）在处理坐标系中的面积问题时，我们应该充分利用横平竖直线段的长度和几何特征以及函数特征的互转。
处理面积问题的思路有公式法（对于规则图形）、割补法（通过分割求和和补形作差）和转化法（例如，同底等高）。
当三角形的三边都斜放在坐标系中时，我们通常使用铅垂法来表达其面积。
铅垂法的具体做法是，如果三角形是固定的，则可以从任意一点作铅垂；如果三角形是变化的，则可以从动点向另外两个点所在的定直线作铅垂。
利用铅垂法来表达三角形的面积，我们可以从动点向另外两个点所在的固定直线作铅垂。
将变化的竖直线段作为三角形的底，高即为两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式来表达面积。
例如，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于点B和C（其中B在C的左侧）。
已知A点坐标为（0，3），点P是抛物线上的一个动点，且位于A和C两点之间。
当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积。
例如2，一次函数y=1/x+2与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线y=-x^2+bx+c过A、B两点。
Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值。
通过以上例题，我们可以看出铅垂法求面积的应用范围和具体做法。
在考试中，我们可以根据题目要求灵活运用铅垂法来解决问题。
上一动点在第三象限，记为S。
若存在点M使得S△ACM=1/2S△ABC，则求此时点M的坐标。
改写：假设动点S位于第三象限，现在需要找到一个点M，使得S与三角形ACM的面积是S与三角形ABC面积的一半。
求点M的坐标。
已知直线y=1/2x+3与点B(6,3)，直线x=22/3与y轴交于点C。
直线Mx+x-2与x轴交于点A。
求点M的坐标。
改写：已知直线y=1/2x+3与点B(6,3)，直线x=22/3与y轴交于点C。
二次函数求三角形面积最大值的典型题目
二次函数求三角形面积最大值的典型题目篇一：哎呀呀，说到二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我头疼了好一阵子呢！就比如说有这么一道题：在平面直角坐标系中，有一个二次函数图像，然后给了一堆点的坐标，让咱们求由这些点构成的三角形面积的最大值。
这可咋整？我一开始看到这题，那真是脑袋都大了！心里就想：“这啥呀？怎么这么难！”我瞪大眼睛，死死地盯着题目，手里的笔都快被我捏出汗来了。
我同桌小明呢，他倒是挺自信，还跟我说：“这有啥难的，看我的！”我心里暗暗不服气，哼，你就吹吧！然后老师开始讲题啦，老师说：“同学们，咱们得先找到这个二次函数的顶点坐标，这就好比是找到宝藏的钥匙！”我一听，宝藏？这比喻还挺有意思的。
老师接着说：“然后再看看那些给定的点，能不能通过一些巧妙的方法把三角形的面积表示出来。
”我就在那拼命点头，好像听懂了，其实心里还是有点迷糊。
我扭头看看后面的学霸小红，她一脸轻松，好像这题对她来说就是小菜一碟。
我忍不住问她：“小红，你咋这么厉害，这题你都懂啦？”小红笑了笑说：“多做几道类似的题，你也能懂！”我又埋头苦想，想着要是能像玩游戏一样，一下子就找到解题的秘诀该多好啊！经过一番折腾，我终于有点明白了。
原来求这个三角形面积最大值，就像是爬山，得找到那个最高的山峰，而我们要找的就是能让面积最大的那个点或者那条线。
你说，数学咋就这么难呢？但我就不信我搞不定它！我一定要把这些难题都攻克下来，让数学成为我的强项！总之，我觉得做这种二次函数求三角形面积最大值的题目，虽然过程很艰难，但只要我们不放弃，多思考，多练习，就一定能找到解题的窍门，取得胜利！篇二：哎呀！说起二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我又爱又恨呀！有一次上课，数学老师在黑板上出了一道这样的题：已知一个二次函数图像，还有三角形的三个顶点坐标都在这个函数图像上，让我们求三角形面积的最大值。
当时我一看，脑袋就嗡嗡响，这啥呀？我就开始在草稿纸上乱画，心里想着：“这咋这么难呢？”同桌小明凑过来，瞅了瞅我的草稿纸，说：“你这算的啥呀，思路都不对！”我瞪了他一眼，回道：“那你行你上啊！”然后我俩就你一句我一句地争论起来。
二次函数与三角形面积问题专题
O AA O
C
C
x
B
x
B
（3）直线l⊥x轴，若直线l由点A开始沿x轴正方向以 每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t （0≤t≤5）秒，运动过程中直线l在△ABC中所扫过的 面积为S，求S与t的函数关系式。
l
yy
O AA O
CC
B x B
x
3 13 2
已知二次函数y＝x 2＋ax＋a－2．
求抛物线的解析式；
若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；
抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在， 请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分
别是A（－1，0）、B（4，0），点C在y轴的负 半轴上，且∠ACB＝90°． （1）求点C的坐标； （2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，
求S的最大值．
y
A
O
B
Ex
例3. 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0， 2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转 90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋ c(a≠0)经过C、D、B三点．
y
C
B
D 1
O1
Ax
练习：如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于
A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线 的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？
y
C
B
OA x
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在
二次函数与三角形面积专题
图像特征
二次函数的图像呈现开口向上或开口向下的 抛物线形状，具有顶点、对称轴等特征。
计算三角形面积的公式
通过底和高计算三角形面积
三角形面积 = 0.5 * 底 * 高
通过两边和夹角计算三角形面积
三角形面积 = 0.5 * 边1 * 边2 * sin(夹角)
二次函数与三角形面积的关系
1 如何利用二次函数计算三角形的面积
2
1. 将二次函数进行因式分解或平方完 成，找到抛物线的开口方向和顶点坐
标。
1. 根据题目给出的三角形面积公式和 已知条件，构建相应的方程。
2. 根据题目中给出的具体条件（如底 和高），计算三角形的面积。
2. 解方程，得到相关的二次函数的特
征参数。
3. 根据特征参数，画出相应的二次函 数图像。
总结
通过将二次函数转化为抛物线图像，确定顶点坐标，然后使用底和高计算三角形的面积。
2 通过实例理解二次函数与三角形面积的关系
通过具体的数学问题，我们将展示如何运用二次函数的知识来解决与三角形面积相关的有二次函数的三角形面
积问题的步骤
解析给定三角形面积求解相关 二次函数问题的步骤
二次函数与三角形面积专 题
在本专题中，我们将深入探讨二次函数与三角形面积的关系，了解二次函数 的定义和图像特征，以及计算三角形面积的公式。通过实例和例题解析，我 们将展示如何利用二次函数来计算三角形的面积。
二次函数的基本概念
定义
二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数， 其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
重点内容回顾
二次函数的基本概念和图像特征，计算三角形面积的公式，以及二次函数与三角形面积的关 系。
二次函数中三角形问题(含问题详解)
二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。
C 是抛物线的顶点。
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。
①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。
例2：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， （1）求m 的取值范围；（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式； （3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。
(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。
A BC DO E x y(第25题图)例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．二．与三角形形状例5. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．图2图1例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．x 图①x 图②x 图③例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方， 那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)(第25题图)三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。
二次函数中有关三角形面积的求解课件
D
实例二：直角三角形面积的求解
总结词
利用直角三角形性质，结合二次函数图像，求出三角形面 积。
详细描述
直角三角形的一边为x轴，另一边与二次函数图像交点构 成高，通过求出交点坐标和底边的长度，可以计算出三角 形的面积。
公式
$S = frac{1}{2} times text{底} times text{高}$
总结词
通过已知条件确定底和高
详细描述
在二次函数和三角形中，底和高通常是通过已知条件确定的。例如，如果知道三角形的两个顶点坐标 ，可以通过两点间的距离公式计算底和高的长度。
问题二：如何确定三角形的底和高？
总结词
通过作图确定底和高
详细描述
在二次函数的图像上，可以通过作图的方式确定三角形的底 和高。例如，可以作一条与$x$轴平行的线段，与二次函数的 图像交于两点，这两点间的距离即为三角形的底，线段的高 度即为三角形的高。
问题三：如何利用二次函数求三角形的面积？
总结词
利用公式计算面积
详细描述
三角形的面积可以通过公式 $frac{1}{2} times text{底} times text{高}$计算得出。 如果已知三角形的底和高， 可以直接代入公式计算面积
。
总结词
通过图像观察面积
详细描述
在二次函数的图像上，可以 通过观察的方式确定三角形 的面积。例如，可以观察抛 物线与$x$轴围成的图形，其
详细描述
二次函数的顶点可以通过公式$-frac{b}{2a}$计算得出，其中$a$、 $b$、$c$分别为二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的系数。
总结词
通过图像确定顶点
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线，顶点是抛物线的最低点或最高点。通 过观察图像，可以确定顶点的位置。
二次函数三角形面积定值问题
二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常考的难点之一。
本文将从三个方面进行探讨，分别是二次函数的定义和性质、三角形面积公式以及如何利用二次函数求解三角形面积定值问题。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一种以 x 的平方为自变量的函数，通常的表达式为y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c 分别是常数，a 不等于零。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其中顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二次函数具有以下性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，方程为 x=-b/2a。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，方程为 ax²+bx+c=0。
3. 单调性：当 a 大于零时，二次函数开口朝上，图像在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，二次函数开口朝下，图像在顶点处取得最大值。
4. 范围：当 a 大于零时，二次函数的值域为 [c-b²/4a, +∞)；当a 小于零时，二次函数的值域为 (-∞, c-b²/4a]。
二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式，其表达式为S=1/2bh，其中S 表示三角形面积，b 和h 分别表示底边和高。
此外，还有两个重要的推论：1. 海伦公式：当已知三角形的三边长 a、b、c 时，可以利用海伦公式求出三角形面积 S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。
2. 正弦定理：当已知三角形的一个角度和两边长时，可以利用正弦定理求出第三边长，从而进一步计算出三角形面积。
正弦定理的表达式为 a/sinA=b/sinB=c/sinC。
三、利用二次函数求解三角形面积定值问题在高中数学中，经常会遇到给定三角形底边和两条高的长度，求解三角形面积的问题。
此类问题通常可以通过构建二次函数来解决。
以一个例子来说明：已知三角形底边长为 8，两条高分别为 6 和 10，求解该三角形的面积。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
二次函数之三角形面积最大值专题
432y 2+-=x x 1221y 2++-=x x =max y 21ah S ABC 21=∆专题一：二次函数与面积问题------类型1：三角形面积的最大值一、知识点睛1.点P 是抛物线 上一动点。
若设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标可表示为： ，∴点P 的坐标可表示为：2.如右图，AB ∥x 轴，BC ∥y 轴。
则线段BC= ，AB=故：“竖直方向”上的线段长 = —“水平方向”上的线段长 = —3.二次函数的一般式为： ，顶点式为： 例如：将 化为顶点式为： ，开口向 ，顶点坐标： ∴当x= 时，二、铅垂法（割补求面积） 坐标系中三角形面积公式：S= •一点引铅垂线段的长•另两点的水平宽锐角三角形中过点C 引的铅垂线 钝角三角形中过点C 引的铅垂线锐角三角形中过点B 引的铅垂线 ah S ABC 21=∆ 铅垂法的优点： 1.任何一点引铅垂线都可以 2.任何形状的三角形都适用 3.与三角形在第几象限无关 4.与三角形在不在坐标系无关 ah S ABC 21=∆三、典例讲解例1.已知二次函数62343y 2++-=x x 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 。
点P 是第一象限抛物线上一动点。
连结BC ，BP 和CP 。
当△BCP 面积最大时，求P 点坐标。
四、小试牛刀例2.如图，已知抛物线经过两点A(-3,0)，B(0,3)且其对称轴为直线x= -1（1）求此抛物线的解析式（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A 点B ）求△PAB 的面积最大值，并求出此时点P 的坐标。
五、能力提升1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线34383y 2--=x x 与x 轴交于点A(-2,0)，B(4,0)，与直线323y -=x 交于点C(0,-3)，直线323y -=x 与x 轴交于点D ，点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD 。
当△PCD 面积最大时，求点P 坐标.2. 如图，已知抛物线c bx ++-=2x y 过(1,4)与(4,-5)两点，且与一直线1x y +=相交于A,C 两点，(1)求该抛物线解析式.(2)求A,C 两点的坐标.(3)若P 是抛物线上位于直线AC.上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值.B C A O M N xy3.如图，抛物线经过A (-1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B 、C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接MB 、MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A (0, 4), B(1, 0), C(5, 0),其对称轴与x 轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.（3）连接AC,在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N,使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标:若不存在，请说明理由.。
二次函数背景下三角形面积的求法
S△ PBC=____3___
(1,4)
可知直线BC的函数解析式为y=-x+3,
4
P
当x=1时，y=-1+3=2 则点M的坐标为（1，2），PM=4-2=2
(0,3) C 3
S S S △PBC= △PCM+ △PBM
h1
y=－x2+2x+3
1 2
PM
•
h1
1 2
PM
•
h2
1 2
PM
• h1
h2
(-1,0)
y D
C
2
M
1
A O
B
2
A(1,0) 0
M
B
x
P
什么是三角形的铅垂高。
铅垂高（歪歪三角形拦腰来一刀）
水平宽 铅垂高 A
s
h
2
BDB来自水平宽a图1
铅垂高 C
C
例题2：已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于
A,PB为两抛点物，线的顶点.求ΔPＢＣ的面积。
（提示：做三角形的铅锤高，计算铅锤高的长度。）y
教学目标
二次函数背景下三角形面积的求法
课前热身
如图，抛物线 y=-x2 +2x+3 与x轴交
于点A和点B ，与ｙ轴交于点Ｃ,顶点 4 P
坐标是P.
则点A坐标为 (-1,0)
C3
点B坐标为 (3,0)
点Ｃ坐标为 (0,3)
2
顶点P坐标为 (1,4)
1
对称轴为＿＿直＿线＿x=＿1 ＿＿
A
直线BC的函数解析式为 y=-x+3 O
轴交于C点。
y
（1）求 Δ A B C的面积。 （2） 求Δ C B E的面积。 （3）求Δ O C B的面积。
二次函数三角形面积定值问题
二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题1.引言二次函数三角形面积定值问题是数学中的一个经典问题，它涉及到二次函数和三角形的关系，对于理解数学概念和解决实际问题具有重要意义。
本文将从浅入深，逐步介绍二次函数三角形面积定值问题，并探讨其相关概念和原理。
2.二次函数的基本概念2.1 二次函数的定义二次函数是指函数的表达式中含有二次项的函数。
一般形式可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数在数学中具有广泛的应用，如物理学中的抛物线运动、经济学中的成本-收益分析等。
2.2 二次函数图像特征二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向取决于a的正负，开口向上表示a大于0，开口向下表示a小于0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数的值。
3.三角形面积定值问题3.1 问题描述三角形面积定值问题是指已知二次函数的表达式，求解在该函数图像上构成的三角形的面积为固定值的条件下，确定三角形的顶点坐标。
3.2 求解思路解决三角形面积定值问题的一种常用方法是通过求解二次方程组来确定顶点坐标。
设三角形的顶点坐标为(x1, f(x1))、(x2, f(x2))、(x3,f(x3))，其中f(x)为二次函数的值。
由三角形的面积公式可得：S=1/2 * |x1*(f(x2)-f(x3))+x2*(f(x3)-f(x1))+x3*(f(x1)-f(x2))|。
当已知三角形的面积为A时，将该表达式等于A，然后解方程组，即可得到三角形的顶点坐标。
4.案例分析4.1 案例描述以二次函数y=x^2为例，已知三角形的面积为4，求解三角形的顶点坐标。
4.2 案例解答根据3.2节的求解思路，将面积公式等于4得到方程|x1*(f(x2)-f(x3))+x2*(f(x3)-f(x1))+x3*(f(x1)-f(x2))|=8。
根据二次函数y=x^2的图像特征，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，代入顶点坐标并解方程组，得到x1=-2，x2=0，x3=2。
二次函数与面积最值定值问题(六大类型)-2023年中考数学压轴题(解析版)
二次函数与面积最值定值问题(六大类型)1.考向分析题型一:二次函数与三角形面积最值问题1如图，已知抛物线y =12x 2+bx 过点A (-4，0)、顶点为B ，一次函数y =12x +2的图象交y 轴于M ，对称轴与x 轴交于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)已知P 是抛物线上一动点，点M 关于AP 的对称点为N ．①若点N 恰好落在抛物线的对称轴上，求点N 的坐标；②请直接写出△MHN 面积的最大值．【解析】解：(1)∵抛物线y =12x 2+bx 过点A (-4，0)，∴12×(-4)2-4b =0，解得：b =2，∴该抛物线的表达式为y =12x 2+2x ；(2)①∵y =12x 2+2x ，∴抛物线对称轴为直线x =-22×12=-2，∵对称轴与x 轴交于点H ，∴H (-2，0)，∵A (-4，0)，∴AH =2，∵直线y =12x +2交y 轴于M ，∴M (0，2)，∴AM 2=OA 2+OM 2=42+22=20，设N (-2，n )，则NH =|n |，如图1、图2，∵M 、N 关于直线AP 对称，∴AN =AM ，即AN 2=AM 2，∴22+n 2=20，∴n =±4，∴点N 的坐标为(-2，-4)或(-2，4)；②如图，连接MH ，以点A 为圆心，AM 为半径作⊙A ，过点A 作AN ⊥MH 于点F ，交⊙A 于点N ，则AN =AM ，在Rt △AMO 中，OM =2，OA =4，∴AM =OA 2+OM 2=42+22=25，∴AN =25，∵OH =OM =2，∠HOM =90°，∴△HOM 是等腰直角三角形，∠MHO =45°，MH =22，∴∠AHF =∠MHO =45°，在Rt △AFH 中，AH =OA -OH =4-2=2，∴AF =AH ×sin45°=2×22=2，∴NF =AN +AF =25+2，∴S △MHN =12MH •NF =12×22×(25+2)=210+2，故△MHN 面积的最大值为210+2．题型二:二次函数与三角形面积等积问题2如图，等腰直角三角形OAB 的直角顶点O 在坐标原点，直角边OA ，OB 分别在y 轴和x 轴上，点C 的坐标为(3，4)，且AC 平行于x 轴．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过B ，C 两点的抛物线y =-x 2+bx +c 的解析式；(3)抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为D ，试判定OC 与BD 的大小关系；(4)若点M 是抛物线上的动点，当△ABM 的面积与△ABC 的面积相等时，求点M 的坐标．【解析】解：(1)∵点C 的坐标为(3，4)，且AC 平行于x 轴，∴点A 的坐标为(0，4)且OA =4，∵△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB =90°，∴OB =OA =4，∵点B 的坐标为(4，0)，设直线AB的解析式为：y=mx+n，由题意得4m+n=0n=4，解得：m=-1n=4，∴直线AB的解析式为：y=-x+4；(2)∵抛物线y=-x2+bx+c过B，C两点，∴-16+4b+c=0-9+3b+c=4，解得：b=3c=4，∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；(3)BD=OC；理由：∵抛物线的解析式为y=-x2+3x+4=-x-322+52，∴抛物线的对称轴直线为x=32，∵点B的坐标为(4，0)，点B与点D关于对称轴对称，∴点D的坐标为(-1，0)，∴BD=4-(-1)=5，∵点C的坐标为(3，4)，∴OC=32+42=5，∴BD=OC；(4)∵点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴，∴AC=3，∴S△ABC=12AC•y C=12×3×4=6，当点M在直线AB的上方时，如图所示，过点M作MN∥y轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，-t2+3t+4)，则N的坐标为(t，-t+4)，∴MN=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t，∴S△AMB=12MN•x B=12×(-t2+4t)×4=-2t2+8t，∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，∴-2t2+8t=6，解得：t=1或t=3(舍，该点为点C)，此时M的坐标为(1，6)或(3，4)；当点M在直线AB的下方时，如图所示，过点M作MN∥x轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，-t2+3t+4)，则N的坐标为(t2-3t，-t2+3t+4)，∴MN=t2-3t-t=t2-4t，∴S△ABM=12MN•y A=12×(t2-4t)×4=2t2-8t，∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，∴2t2-8t=6，解得：t=2±7，此时M的坐标为(2+7，-1-7)或(2-7，7-1)；综上可得，M的坐标为(2+7，-1-7)或(2-7，7-1)或(1，6)．题型三:二次函数与四边形面积最值问题3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A(3，0)，该抛物线的对称轴为直线x=1．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求点B、C的坐标；(3)将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值．【解析】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x=-b-2=1，∴b=2，∴y=-x2+2x+c，将(3，0)代入y=-x2+2x+c得0=-9+6+c，解得c=3，∴y=-x2+2x+3．(2)∵抛物线对称轴为直线x=1，点A坐标为(3，0)，∴由抛物线对称性可得点B坐标为(-1，0)，将x=0代入y=-x2+2x+3得y=3，∴点C坐标为(0，3)．(3)如图，可得图2中四边形面积最大，∵BC∥DE且BC=DE，图1图2图3∵y C-y B=y E-y D，∴y D=-3，将y=-3代入y=-x2+2x+3得-3=-x2+2x+3，解得x1=1-7(舍)，x2=1+7，∴点E横坐标为1+7+1=2+7，∴BE=2+7+1=3+7，∴S四边形BDEC =12BE•y C+12BE•|y D|=12×(3+7)×3+12×(3+7)×3=9+37．题型四:二次函数与面积分割问题4已知抛物线y=x2+4mx+4m2-4m-3的顶点C在定直线l上．(1)求C点的坐标(用含m的式子表示)；(2)求证：不论m为何值，抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；(3)当抛物线的顶点C在y轴上，且与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)时，是否存在直线n满足以下三个条件：①n与抛物线相交于点M，N(点M在点N的左侧)，且与线段AC交于点P；②∠APN=2∠ACO；③n将△ABC的面积分成1：2的两部分．若存在，求出直线n的解析式；若不存在，请说明理由．【解析】(1)解：∵y=x2+4mx+4m2-4m-3=(x+2m)2-4m-3，∴顶点C(-2m，-4m-3)；(2)证明：∵C(-2m，-4m-3)，∴C点在直线y=2x-3上，∴定直线l为y=2x-3，联立方程组y=2x-3y=x2+4mx+4m2-4m-3 ，解得x=-2my=-4m-3或x=2-2my=-4m+1，∴两个交点分别为(-2m，-4m-3)，(2-2m，-4m+1)，∴d=(2-2m+2m)2+(-4m+1+4m+3)2=25，∴抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；(3)解：存在直线n，理由如下：∵顶点C在y轴上，∴m=0，∴y=x2-3，令y=0，则x2-3=0，解得x=3或x=-3，∴A(-3，0)，B(3，0)，∴AB=23，∵抛物线关于y轴对称，∴∠ACO=∠BCO，∵∠APN=2∠ACO，∴∠APN=∠ACB，∴MN ∥BC ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =-33k +b =0 ，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，设直线MN 的解析式为y =3x +t ，直线MN 与x 轴的交点为H ，∵直线MN 将△ABC 的面积分成1：2，∴S △PAH =13S △ACB 或S △PAH =23S △ACB ，∴AH AB2=13或AH AB 2=23，∴AH 23=33或AH 23=63，解得AH =2或AH =22，∴H (2-3，0)或(22-3，0)，∴直线MN 的解析式为y =3x +3-23或y =3x +3-26．题型五:二次函数与面积比问题5如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =23x 2+bx -2的图象与x 轴交于点A (3，0)，B (点B 在点A 左侧)，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，作直线AD ．(1)填空：b = -43 ；(2)将△AOC 平移到△EFG (点E ，F ，G 依次与A ，O ，C 对应)，若点E 落在抛物线上且点G 落在直线AD 上，求点E 的坐标；(3)设点P 是第四象限抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交AC 于点T ．若∠CPT +∠DAC =180°，求△AHT 与△CPT 的面积之比．【解析】解：(1)把A (3，0)代入y =23x 2+bx -2，得23×9+3b -2=0，解得b =-43；故答案为：-43；(2)如图所示：由(1)得y =23x 2-43x -2，令x =0，y =-2，∴C (0，-2)，∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D (0，2)，设直线AD ：y =kx +2，把A (3，0)代入y =kx +2，得3k +2=0，解得k =-23，∴直线AD 解析式：y =-23x +2，∵将△AOC 平移到△EFG ，∴OA =EF =3，FG =OC =2，设E m ，23m 2-43m -2 ，则G m -3，-23(m -3)+2 ，F m -3，-23(m -3)+4 ，∵EF ∥x 轴，∴23m 2-43m -2=-23(m -3)2+4，解得m =-3或m =4，∴E (-3，8)或4，103；(3)如图所示：过C 作CK ⊥AD ，CQ ⊥HP ，∵OD =2，OA =3∴AD =13，∵CK ⊥AD∴CD •AO =AD •CK ，∴CK =121313，DK =81313，AK =51313，∴tan ∠CAK =CK AK=125，∵CQ ⊥HP ，∴∠CPQ +∠CPT =180°，∵∠CPT +∠DAC =180°，∴∠CPQ =∠CAK ，∴tan ∠CPQ =tan ∠CAK =125，∴CQ PQ =125，设P n ，23n 2-43n -2 ，∴PQ =23n 2-43n ，CQ =n ，∴n 23n 2-43n =125，解得n =218，∴P 218，-2932，∴CQ =218，AH =3-218=38，∵tan ∠OAC =TH AH =OC OA =23，∴TH =23AH =23×38=14，∴TP =2132，∴S △ATH S △CPT =12×AH ×TH 12×TP ×CQ =8147，即△AHT 与△CPT 的面积之比为8：147．题型六:函数关系与面积问题6平面直角坐标系中，已知抛物线y =-x 2+(1+m )x -m (m 为常数，m ≠±1)与轴交于定点A 及另一点B ，与y 轴交于点C ．(1)当点(2，2)在抛物线上时，求抛物线解析式及点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在(1)的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若∠DBA +∠ACB =90°，求点D 的坐标；(3)若点P 是抛物线的顶点，令△ACP 的面积为S ，①直接写出S 关于m 的解析式及m 的取值范围；②当58≤S ≤158时，直接写出m 的取值范围．【解析】(1)将点(2，2)代入y =-x 2+(1+m )x -m ，求出m 即可确定函数的解析式；(2)过D 点作DE ⊥x 轴交于E ，过A 点作AF ⊥BC 交于F ，由题意可知∠ACB =∠BDE ，求出tan ∠ACF =tan ∠BDE =BE DE=35，设D (t ，-t 2+5t -4)(0<t <4)，求出t 的值即可求D 点坐标；(3)①求出P 1+m 2，(1-m )24，C (0，-m )，定点A (1，0)，B (m ，0)，AC 的解析式为y =kx +b ，y =mx -m ，再画出函数图象结合函数图象分类讨即可；②对①中求出的解析式分别进行求解即可．【解答】解：(1)将点(2，2)代入y =-x 2+(1+m )x -m ，∴m =4，∴y =-x 2+5x -4，令x =0，则y =-4，∴C (0，-4)，令y =0，则-x 2+5x -4=0，∴x =1或x =4，∴A (1，0)，B (4，0)；(2)如图1，过D 点作DE ⊥x 轴交于E ，过A 点作AF ⊥BC 交于F ，∵∠DBA +∠ACB =90°，∠DBA +∠BDE =90°，∴∠ACB =∠BDE ，∵B (4，0)，C (0，-4)，∴OB =OC =4，∴∠OBC =45°，∵BA =3，∴AF =322，∵A (1，0)，∴AC =17，∴CF =522，∴tan ∠ACF =AF CF =35，∴tan ∠BDE =BE DE=35，设D (t ，-t 2+5t -4)(0<t <4)，∴4-t -t 2+5t -4=35，解得x =4(舍)或x =83，∴D 83，209；(3)①∵y =-x 2+(1+m )x -m =-x -1+m 2 2+(1-m )24，∴P 1+m 2，(1-m )24，令x =0，则y =-m ，∴C (0，-m )，令y =0，则-x 2+(1+m )x -m =0，解得x =1或x =m ，∴定点A (1，0)，B (m ，0)，设AC 的解析式为y =kx +b ，∴k +b =0b =-m，解得k =m b =-m ，∴y =mx -m ，如图2，当m <-1时，S =S 梯形PNOC +S △OCA -S △PAN =12×(1-m )24-m×1+m 2+12×1×(-m )-12×1-1+m 2 ×(1-m )24=18m 2-18；如图3，当-1<m <0时，S =S 梯形PNOC +S △PNA -S △AOC =12×(1-m )24-m ×1+m 2+12×1-1+m 2 ×(1-m )24-12×1×(-m )=-18m 2+18；如图4，当0≤m <1时，设对称轴与直线AC 交于点M ，∴M 1+m 2，m 2-m 2，∴PM =-14m 2+14，∴S =12×-14m 2+14 ×1=-18m 2+18；如图5，当m >1时，过点C 作CM ⊥PN 交于点M ，∴M 1+m 2，-m ，∴S =S 矩形OCMN +S △APN -S △OCA -S △CMP =1+m 2×m +12×1+m 2-1 ×(1-m )24-12×1×m -12×1+m 2×(1-m )24+m =18m 2-18；综上所述：当m <-1时，S =18m 2-18；当-1<m <1，S =-18m 2+18；当m >1时，S =18m 2-18；②当m <-1时，58≤18m 2-18≤158，解得-4≤m ≤-6；当-1<m <0，58≤-18m 2+18≤158，此时m 无解；当0≤m <1时，58≤-18m 2+18≤158，此时m 无解；当m >1时，58≤18m 2-18≤158，解得6≤m ≤4；综上所述：当58≤S ≤158时，-4≤m ≤-6或6≤m ≤4．2.压轴题速练1一、解答题1(2023春·全国·九年级专题练习)已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与坐标轴分别交于点A (0,6)，B (6,0)，C (-2,0)，点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值，面积最大值是多少？【答案】(1)y =-12x 2+2x +6(2)当P 3,152 时，△PAB 的面积有最大值，最大值是272．【解析】(1)由题意得：36a +6b +c =04a -2b +c =0c =6，解得：a =-12b =2c =6，∴抛物线的表达式为：y =-12x 2+2x +6；(2)∵A (0,6)∴直线AB 的表达式为：y =kx +6，将点B 的坐标代入上式得：0=6k +6，解得：k =-1，∴直线AB 的表达式为：y =-x +6，点P 的横坐标为m ，则P m ,-12m 2+2m +6 ，过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，则D (m ,-m +6)，∴S =12×OB ×PD =12×6×-12m 2+2m +6+m -6 =-32(m -3)2+272，∴当m =3时，S 的值取最大，此时P 3,152；2(2023春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =ax 2+bx +6(a ≠0)与x 轴交于A (-1，0)，B (6，0)，与y 轴交于点C ，点P 为第一象限内抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ，连接 PB ．(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PBD 与△BDE 的面积之比为1：2时，求点P 的坐标；【答案】【答案】(1)y =-x 2+5x +6(2)P 12,334【解析】(1)∵抛物线y =ax 2+bx +6(a ≠0)与x 轴交于A -1,0 ,B 6,0∴a -b +6=036a +6b +6=0，∴a =-1b =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+5x +6；(2)∵抛物线y =-x 2+5x +6过点C ，∴C (0，6)，设直线BC 的解析式为 y =kx +n ，∴6k +n =0n =6，∴k =-1n =6 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +6，设P m ,-m 2+5m +6 ，则D m ,-m +6 ，∴PE =-m 2+5m +6，DE =-m +6，∵△PBD 与△BDE 的面积之比为1：2，∴PD ：DE =1：2，∴PE ：DE =3：2，∴3-m +6 =2-m 2+5m +6 ，解得m 1=12，m 2=6(舍去)，∴P 12,334；3(2023春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 过点A 、B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y =-x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OA =13OB ．(1)求抛物线的解析式；(2)点M t ,0 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线对称轴上的一个动点，当DN =2t ，△MNB 的面积为154时，求出点M 与点N 的坐标；【答案】【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)3+262,0 ,1,3+26 【解析】(1)解：对于直线y =-x +3，令y =0，即-x +3=0，解得：x =3，令x =0，得y =3，∴B 3,0 ,C 0,3 ，∵A 为x 轴负半轴上一点，且OA =13OB ，∴A -1,0 ．将点A 、B 的坐标分别代入y =-x 2+bx +c 中，得-1-b +c =0-9+3b +c =0 ，解得b =2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)解：由(1)知：A -1,0 ，B 3,0 ，抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，∴对称轴x =-b 2a =-22×-1=1，∴D 点坐标为D 1,0 ，∵M t ,0∴BM =3-t ，∵S △MNB =12×BM ×DN =154，即12×3-t ×2t =154，当t <3时，12×3-t ×2t =154，化简得：4t 2-12t +15=0，∵Δ=b 2-4ac <0，∴方程无解；当t >3时，12×t -3 ×2t =154，解得t1=3+262,t2=3-262(舍)，∴DN=2t=3+26，∴点M的坐标为3+262,0，点N的坐标为1,3+262；4(2023·广西贵港·统考一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4，0)，B(1，3)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S2，判断S1S2是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】【答案】(1)y=-x2+4x(2)P(2，4)或(3,3)(3)见解析【解析】(1)解：将A(4，0)，B(1，3)代入y=ax2+bx得16a+4b=0a+b=3，解得：a=-1b=4，∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x；(2)解：设直线AB的解析式为：y=kx+t，将A4，0，B1，3代入y=kx+t得4k+t=0 k+t=3 ，解得：k=-1 t=4，∴直线AB的解析式为：y=-x+4，∵A4，0，B1，3，∴S△OAB=12×4×3=6，∴S△OAB=2S△PAB=6，即S△PAB=3，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×AM=32PN=3，∴PN=2，设点P 的横坐标为m ，∴P (m ,-m 2+4m )(1<m <4)，N (m ,-m +4)，∴PN =-m 2+4m -(-m +4)=2，解得：m =2或m =3；∴P (2,4)或(3，3)；(3)解：S 1S 2存在最大值．理由如下：∵PD ∥OB ，∴∠DPC =∠BOC ，∠PDC =∠OBC ，∴△DPC ∽△BOC ，∴CP :CO =CD :CB =PD :OB ，∵S 1S 2=CD CB =PD OB，设直线AB 交y 轴于点F ，则F (0，4)，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 交AB 于点G ，如图，∵∠PDC =∠OBC ，∴∠PDG =∠OBF ，∵PG ∥OF ，∴∠PGD =∠OFB ，∴PD ：OB =PG ：OF ，∴△PDG ∽△OBF ，∴PD ：OB =PG ：OF ，设P (n ,-n 2+4n )1<n <4 由(2)可知，PG =-n 2+4n --n +4 =-n 2+5n -4，∴S 1S 2=PD BO =PG OF=14PG =-14n -52 2+916，∵1<n <4，∴当n =52时，S 1S 2的最大值为916．5(2023·新疆克孜勒苏·统考一模)如图所示，抛物线y =-x 2+2x +3的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连结BC ．(1)求抛物线顶点D 的坐标；(2)在直线BC 上方的抛物线上有一点M ，使得四边形ABMC 的面积最大，求点M 的坐标及四边形ABMC 面积的最大值；(3)点E 在抛物线上，当∠EBC =∠ACO 时，直接写出点E 的坐标．【答案】【答案】(1)(1,4)(2)当点M 32,154 时，四边形ABMC 面积最大，最大值为758(3)(1,4)或-12,74【解析】(1)∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4．∴抛物线顶点D 的坐标为(1,4)；(2)令y =0，则x 2-2x -3=0，解得x 1=-1,x 2=3，∴点A -1,0 ,B 3,0 ，令x =0，则y =-3，∴点C 的坐标为(0,3)∴AB =3--1 =4,OC =3，∴S ΔABC =12AB ⋅OC =6∴△BCM 的面积最大时四边形ABMC 面积最大．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =0b =3，∴b =3k =-1 ，∴y =-x +3．设过点M 与y 轴平行的直线交BC 于点N ，M x ,-x 2+2x +3 ，N x ,-x +3 ，则MN =-x 2+2x +3 --x +3 =-x 2+3x ，S △BCM =12-x 2+3x ×3=-12x -32 2+278，∴当x =32时，△BCM 的面积最大，最大值为278，此时，y =-32 2+2×32+3=154，所以，当点M 32,154 时，四边形ABMC 面积最大，最大值为6+278=758(3)①连接CD ,BD ，作DM ⊥OC 于点M ．∵C (0,3),D (1,4)，∴CM =DM =1，∴△CDM 是等腰直角三角形，∴∠DCE =45°．∵B (3,0),C (0,3)，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∴∠BCD =90°，∵BC =32+32=32，CD =12+(-3+4)2=2，∴.tan ∠CBD =232=13，∴∠DBC =∠ACO ，∴点E 与点D 重合，∴点E 的坐标为(1,-4)，②作点D 关于BC 的对称点D ，作DN ⊥OC 于点N ，∵∠DMC =∠D NC =90°，∠DCM =D CN ，DC =D C ，∴△DCM ≌△D CN ，∴D N =DM =1,CM =CN =1，∴ON =3-1=2，∴D (-1,2)，设直线BD 的解析式为y =mx +n ,，则3m +n =0-m +n =2，解得m =-12n =32，所以，直线BD ′的解析式为y =-12x +32，联立y =-x 2+2x +3y =-12x +32，解得x 1=3y 1=0 (为点B 坐标，舍去)，x 2=-12y 2=74，所以，点H 的坐标为-12,74 ，综上所述，点E 的坐标为1,4 或-12,74时，∠EBC =∠ACO ．6(2023·广东珠海·统考一模)如图，抛物线与x 轴交于点A -1,0 、B 4,0 ，与y 轴交于点C 0,2 ．点D 为抛物线第四象限一动点，连接AC 、BC 、BD 、AD ．(1)求抛物线的解析式；(2)当S △BCD =S △ABC 时，求此时点D 的坐标；(3)在第(2)问的条件下，延长线段AC 、DB 交于点E ．请判断△ADE 的形状，并说明理由．【答案】(1)y =-x 2+32x +2(2)D 5,-3(3)△ADE 是等腰直角三角形，理由见详解【解析】(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，∵抛物线与x 轴交于点A -1,0 、B 4,0 ，与y 轴交于点C 0,2 ，∴a -b +c =016a +4b +c =0c =2，解得：a =-12b =32c =2 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+32x +2；(2)连接OD ，，∵A -1,0 ，B 4,0 ，C 0,2 ，∴AB =5，OC =2，∴S △ABC =12AB ⋅OC =5，设D m ,-12m 2+32m +2 m >4 ，∵S △BCD =S △OBD +S △OBC -S △OCD =S △ABC ，∴12×4×12m 2-32m -2 +12×4×2-12×2×m =5，整理，得m 2-4m -5=0，解得：m 1=5，m 2=-1(舍去)，∴D 5,-3 ；(3)△ADE 是等腰直角三角形，理由如下：设直线AC 的解析式为y =k 1x +b 1，把A -1,0 ，C 0,2 代入，得-k 1+b 1=0b 1=2 ，解得：k 1=2b 1=2∴y =2x +2，设直线BD 的解析式为y =k 2x +b 2，把B 4,0 ，D 5,-3 代入，得4k 2+b 2=05k 2+b 2=-3 ，解得：k 2=-3b 2=12∴y =-3x +12，联立y =2x +2和y =-3x +12得，y =2x +2y =-3x +12 ，解得：x =2y =6 ，∴E 2,6 ，又∵A -1,0 ，D 5,-3 ，∴AE =-1-2 2+0-6 2=35，AD =-1-5 2+0+3 2=35，DE =5-2 2+-3-6 2=310，∴AE =AD ，AE 2+AD 2=DE 2，∴△ADE 是等腰直角三角形．7(2023春·上海·八年级专题练习)在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA =x ，S △PCE =y ．(1)求证：DF =EF ；(2)当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(3)点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形？如果能，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)y =12x 2-32x +8，0≤x ≤22 (3)能使△PEC 为等腰三角形，PA =0或PA =4【解析】(1)证明：延长FP 交AB 于点G ，∵正方形ABCD 中，PF ⊥CD 于点F ，∴四边形AGFD 是矩形，∴DF =AG ，∠AGF =90°，∵正方形ABCD ，∴∠BAC =45°，∵∠AGF =90°，∴AG =GP ，∴DF =GP ，同理可得：CF =PF =BG ，∵PE ⊥PB ，∠AGF =90°，∴∠GBP +∠GPB =∠FPE +∠GPB =90°,∴∠GBP =∠FPE ，在△GBP 和△FPE 中，∵∠GBP =∠FPEPF =BG ∠BGP =∠PFE，∴△GBP ≌△FPE (ASA )，∴GP =EF ，∵DF =GP ，∴DF =EF ；(2)∵PA =x ，∴AG =GP =22x ，DF =EF =22x ，则DE =2x ，∴CE =4-2x ，∵PF =4-22x ，∴y =124-2x 4-22x =12x 2-32x +80≤x ≤22 ；(3)点P 在运动过程中能使△PEC 为等腰三角形；当点E 在CD 边上时，∵∠CEP ≥90°，若△PEC 为等腰三角形，只能是∠CPE =∠ECP =45°，则PE ⊥CE ，∵PE ⊥PB ，∴PB ∥CD ，∴PB ∥AB ，于是点P 在AB 上，又∵点P 在AC 上，∴A 与P 重合，此时PA =0；当点E 在DC 延长线上时，如图，若△PEC 为等腰三角形，只能是PC =CE ，设PA =x ，则PC =42-x ，EF =DF =AG =GP =22x ，PF =CF =BG =4-22x ，∴CE =EF -CF =22x -4-22x=2x -4，∵PC =CE ，∴42-x =2x -4，∴x =4，∴即PA =4；综上所述，当PA =0或PA =4时，△PEC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查正方形的性质的综合运用，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，综合运用这些性质进行推理，同时注意对等腰的分类讨论是解题的关键．8(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)在平面直角坐标系中xOy 中，二次函数y =ax 2+bx +2a <0 的图像与x 轴交于点A (-1,0)、B (2,0)，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 是二次函数图像上位于线段BC 上方的一个动点．①如图，连接AC ，CP ，AP ，AP 交BC 于点E ，过点P 作AC 的平行线交BC 于点Q ，将△PEQ 与△PCE的面积比S △PEQ S △PCE 记为a ，将△PCE 与△ACE 的面积比S △PCE S △ACE记为b ，当a +22b 有最大值时，求点P 的坐标；②已知点N 是y 轴上一点，若点N 、P 关于直线AC 对称，求CN 的长．【答案】(1)y =-x 2+x +2(2)①当点P 的坐标为1,1 时，a +22b 有最大值；②CN =516【解析】(1)解：将A (-1,0)、B (2,0)，代入y =ax 2+bx +2中可得：a -b +2=04a +2b +2=0 ，解得：a =-1b =1 ，∴二次函数的表达式为：y =-x 2+x +2；(2)①当x =0时，y =2，则C 0,2 ，设BC 的解析式为：y =kx +b ，将B (2,0)，C 0,2 ，代入可得：2k +b =0b =2 ，解得：k =-1b =2 ，∴BC 的解析式为：y =-x +2，由题意可知，OB =OC =2，则△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∵A (-1,0)，则OA =1，∴AC =OA 2+OC 2=5，∴sin ∠ACO =55，cos ∠ACO =255，过点P 作PN ∥y 轴，QM ⊥PN ，设AP 与y 轴交于点D ，则∠ADO =∠APN ，∠QNM =∠BCO =45°，即：△MQN 为等腰直角三角形，∴QM =MN ，∵AC ∥PQ ，∴∠CAP =∠APQ ，△AEC ∽△PEQ ，则EQ CE =EP AE =PQ AC，又∵∠ADO =∠ACP +∠ACO ，∠APN =∠APQ +∠QPM ，∴∠ACO =∠QPM ，则：PM =PQ ⋅cos ∠QPN =PQ ⋅cos ∠ACO =255PQ ，QM =MN =PQ ⋅sin ∠QPN =PQ ⋅sin ∠ACO =55PQ ，则PN =PM +MN =355PQ ，即：PQ =53PN ，∵S △PEQ S △PCE =EQ CE ，S △PCE S △ACE =EP AE ，EQ CE =EP AE =PQ AC，∴a =b =EQ CE =EP AE =PQ AC =PQ 5=13PN ，∴a +22b =1+22 ×13PN ，则当PN 取最大值时，a +22b 有最大值，设P t ,-t 2+t +2 ，0<t <2，则N t ,-t +2 ，∴PN =-t 2+t +2 --t +2 =-t 2+2t =-t -1 2+1，即：当t =1时，PN 取最大值，此时点P 的纵坐标为1，即：当点P 的坐标为1,1 时，a +22b 有最大值；②由题意可知，点N 在点C 下方时，点N 关于直线AC 的对称点在AC 的左侧，不符合题意，点N 在点C 上方时，连接PN ，交AC 于H ，作PF ⊥y 轴，由对称可知，NH =PH =12PN ，CH ⊥PN ，则∠NHC =∠PFN =90°，∴∠NCH +∠CNP =∠CNP +∠FPN ，∴∠NCH =∠FPN∵∠ACO =∠NCH ，sin ∠ACO =55，cos ∠ACO =255，∴∠ACO =∠NCH =∠FPN ，设CN =m ，则NH =CN ⋅sin ∠NCH =55m ，∴PN =2NH =255m ，则PF =PN ⋅cos ∠FPN =45m ，NF =PN ⋅sin ∠FPN =25m ∴CF =CN -NF =35m ，则OF =OC +CF =2+35m ，∴点P 的坐标为：45m ,2+35m ，0<45m <2，即0<m <52，∵点P 在二次函数图象上，∴-45m 2+45m +2=2+35m ，解得：m 1=0(舍去)，m 2=516，∴CN =516．9(2023·黑龙江哈尔滨·统考一模)如图，在平面直角坐标系中，直线BC 的解析式为y =-x +6，直线BC 交x 轴和y 轴分别于点B 和点C ，抛物线y =-29x 2+bx +c 交x 轴于点A 和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是第二象限抛物线上的点，连接PB 、PC ，设点P 的横坐标为t ，△PBC 的面积为S ．求S 与t 的函数关系式(不要求写出t 的取值范围)；(3)在(2)的条件下，点D 在线段OB 上，连接PD 、CD ，∠PDC =45°，点F 在线段BC 上，EF ⊥BC ，FE 的延长线交x 轴于点G ，交PD 于点E ，连接CE ，若∠GED +∠DCE =180°，DC >DE ，S △CDE =15，求点P 的横出标．【答案】(1)y =-29x 2+13x +6(2)S =23t 2-4t (3)3-3112【解析】(1)解：直线y=-x+6交x轴和y轴于点B和点C 令x=0时，y=6，即C0,6，令y=0时，x=6，即B6,0，∵点B、C在抛物线上，∴代入解析式可得：c=6-29×62+13×6+6=0，解得：c=6b=-13，∴解析式为y=-29x2+13x+6；(2)过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作CR⊥MN于R ∵P在抛物线上，P横坐标为t∴P t,-29t2+13t+6，∵M在直线BC上，∴M t,-t+6，∴MP=-t+6--29t2+13t+6=29t2-43t，S△PBC=S△MPB-S△MPC=12MP⋅OB=1229t2-43t×6=23t2-4t，即S=23t2-4t；(3)由(1)得，OB=OC=6，∴∠OBC=∠OCB=45°又EF⊥BC交x轴于点G，∴∠GFB=90°∴∠FGB=90°-∠FBG=45°即∠FGB=∠FBG=45°∴FG=FB又∠PDC=45°设∠PDA=α，∴∠CDA=45°+α=∠CBD+∠BCD=45°+∠BCD∴∠BCD=α=∠PDA又∠GED+∠DCE=180°(已知)∠GED+∠FED=180°(平角定义)∴∠DCE=∠FED，又∠FED=∠FGE+∠PDG=45°+a∴∠FED=∠CDA，∴∠DCE=∠CDA，过点D作DR⊥CE于R，如图所示∴在Rt△CRD中，∠CDR=90°-∠RCD=45°-α，∴∠RDE=∠CDE-∠CDR=α，，∴∠RDE=∠EDA=α，∵∠CRD=∠DOC=90°，∠DCE=∠CDA，CD=CD，∴△RCD≌△ODC(AAS)，∴RD=CO=6，CR=OD，∠CDR=∠DCO，又∵S△DCE=15，∴12CE×DR=15∴CE=5作EM⊥x轴于M，CN⊥EM于N，DT⊥CN于T，如图所示∵∠RDE=∠EDA，∠ERD=∠EMD=90°，DE=DE，∴△RED ≌△MED (AAS )，∴RE =EM ，RD =MD ，∵EM ⊥x ，CN ⊥EM ，DT ⊥CN ，∴四边形NTDM 为矩形，∴∠MDT =90°，∴∠CDT =∠MDT -∠CDE -∠EDA =45°-α=∠CDR ，∴△DCR ≌△DCT (AAS )，∴DR =DT ，∴DM =DT ，∴四边形NMDT 是正方形∴DM =MN =NT =DT =OC =6，设EM =ER =m ，则CR =5-m =CT ，如图所示：∴NE =6-m ，NC =NT -TC =m +1在Rt △NEC 中，6-m 2+m +1 2=52解得：m 1=2，m 2=3，∵CD >DE ，∴m <5-m ，即m <2.5，∴m =3不符合题意，应舍去；当m =2时，CT =OD =3=MO ，∴E -3,2 ，又点D 3,0 ，设直线ED 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =23k +b =0 ，解得：k =-13b =1 ，∴直线ED 的解析式为：y =-13x +1，y =-13x +1y =-29x 2+13x +6 ，∴x =3-3112或3+3112(舍)，∴P 的横坐标是3-311210(2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c a <0 与x 轴交于A -2,0 、B 4,0 两点，与y 轴交于点C ，且OC =2OA ．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y =kx +1k >0 与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点P ，与直线BC 交于点M ，记m =S △CPM S △CDM，试求m 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N 点的坐标．【答案】(1)y =-12x 2+x +4(2)m 取得最大值23，此时点P 的坐标为2,4 (3)存在，满足条件的N 的坐标为72,3 或6,-3 【解析】(1)解：∵A -2,0 ，∴OA =2，∵OC =2OA ，∴OC =4，∴C 0,4 ，∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A -2,0 ，B 4,0 ，C 0,4 ，∴4a -2b +c =016a +4b +c =0c =4，解得：a =-12b =1c =4，∴该抛物线的解析式为y =-12x 2+x +4；(2)解：如图1，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于E ，连接CP ，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，∵B 4,0 ，C 0,4 ，∴4k +d =0d =4 ，解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，设P t ,-12t 2+t +4 ，则E t ,-t +4 ，∴PE =-12t 2+t +4-(-t +4)=-12t 2+2t ，∵直线y =kx +1k >0 与y 轴交于点D ，∴D 0,1 ，∴CD =4-1=3，∵PE ∥y 轴，即PE ∥CD ，∴△EMP ∽△CMD ，∴PM DM =PE CD =-12t 2+2t 3=-16t 2+23t ，∵m =S △CPM S △CDM =PM DM，∴m =-16t 2+23t =-16t -2 2+23，∵-16<0，∴当t =2时，m 取得最大值23，此时点P 的坐标为2,4 ；(3)解：存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形．①当DP 是矩形的边时，有两种情形，a 、如图2-1中，四边形DQNP 是矩形时，由(2)可知P 2，4 ，代入y =kx +1中，得到k =32，∴直线DP 的解析式为y =32x +1，可得D 0,1 ，E -23,0 ，由△DOE ∽△QOD 可得OD OQ =OE OD，∴OD 2=OE ⋅OQ ,∴1=23⋅OQ ，∴OQ =32，∴Q 32,0 ．根据矩形的性质，将点P 向右平移32个单位，向下平移1个单位得到点N ，∴N 2+32,4-1 ，即N 72,3 ，b 、如图2-2中，四边形PDNQ 是矩形时，∵直线PD 的解析式为y =32x +1，PQ ⊥PD ，∴直线PQ 的解析式为y =-23x +163，∴Q 8,0 ，根据矩形的性质可知，将点D 向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N ，∴N 0+6,1-4 ，即N 6,-3 ．②当DP 是对角线时，设Q x ,0 ，则QD 2=x 2+1，QP 2=x -2 2+42，PD 2=13，∵Q 是直角顶点，∴QD 2+QP 2=PD 2，∴x 2+1+x -2 2+42=13，整理得x 2-2x +4=0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的N 的坐标为72,3 或6,-3 ．11(2023·山东济宁·统考一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，其中A (-4,0)、B (1，0)，M 是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m ，(1)求抛物线的解析式；(2)连接BM ，交线段AC 于点D ，求S ΔADM S ΔADB的最大值(其中符号S 表示面积)；(3)连接CM ，是否存在点M ，使得∠ACO +2∠ACM =90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-34x 2-94x +3(2)S ΔADM S ΔADB 的最大值为45(3)存在，m =-319【解析】(1)解：(1)分别代入A (-4，0)、B (1，0)到抛物线解析式，解得：y =-34x 2-94x +3；故答案为：y =-34x 2-94x +3．(2)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将点A (-4，0)和点C (0，3)代入y =kx +b 中，-4k +b =0b =3 ，解得：k =34b =3，∴直线AC 的解析式为y =34x +3，如图所示，过点M 作MG ∥x 轴交于AC 于点G ，过点A 作AF ⊥MB 交MB 与点F ，∴G 点的纵坐标与M 点的纵坐标相同，∵M 为抛物线y =-34x 2-94x +3上的一点，设M m ，-34m 2-94m +3 ，又∵G 点在直线AC 上，直线AC 的解析式为y =34x +3，∴G -m 2-3m ,-34m 2-94m +3 ，∴MG =-m 2-4m ，又∵MG ∥AB ，∴MD DB =MG AB =-m 2-4m 5，∵S ΔADM =12MD ⋅AF ,S ΔADB =12DB ⋅AF ，∴S ΔADM S ΔADB =DM DB，∴S ΔADB S ΔADB =DM DB =MG AB=-m 2-4m 5=-m 2+4m 5=-15m +2 2+45，∴S ΔADM S ΔADB 的最大值为45．故答案为：45．(3)过点C 作CP ∥x 轴，延长CM 交x 轴于点T ．∴∠MCO =90°,∠MCP =∠MTA ，∵∠ACO +2∠ACM =90°∠ACO +∠PCM +∠MCA =90°，∴∠MCP =∠MCA ，∴∠MCA =∠MTA ，∴△ACT 为等腰三角形，∴AC =AT ．在Rt △ACO 中，AC =AO 2+OC 2=42+32=5，∴AC =AT =5，∴OT =AT +OA =5+4=9，∴T (-9，0)，设直线CT 的解析式为y =kx +b ，将点T (-9，0)和点C (0，3)代入y =kx +b 中，解得：k =13b =3 ，∴直线CT 的解析式为y =13x +3，∵M 是直线CT 和抛物线y =-34x 2-94x +3的交点，-4<m <0，∴令-34m 2-94m +3=13m +3，∴9m 2+27m +4m =0，∴9m 2+31m =0，∴m 9m +31 =0，解得m =0(舍去)或m =-319故答案为：m =-319．12(2023·海南海口·海口市第九中学校考二模)如图①，已知抛物线L :y =x 2+bx +c 的图象经过点A 0,3 ，B 1,0 ．过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，连结OE ．(1)求抛物线的关系式并写出点E的坐标；(2)若动点P在x轴下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出此时P点横坐标；(3)若将抛物线向上平移h个单位，且其顶点始终落在△OAE的内部或边上，写出h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴上l的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2-4x+3；E(3,3)(2)P的横坐标为52；(3)3≤h≤4；(4)存在，点P的坐标是：5-52,1-52或3-52,5+12或3+52,1-52或5+5 2,5+12【解析】(1)解：∵抛物线L：y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)，B(1,0)，∴1+b+c=0c=3，解得b=-4c=3，∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E(3,3)，(2)如图1，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P(m，m2-4m+3)，设直线OE的解析式为y=kx，把点E(3，3)代入得，3=3k，解得k=1，∴直线OE的解析式为：y=x，∴G(m，m)，∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3，∴S△OPE=S△OPG+S△EPG=12PG×AE=12×3×(-m 2+5m -3)=-32(m 2-5m +3)=-32m -52 2+398，∵-32<0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，∴P 的横坐标为52(3)由y =x 2-4x +3=(x -2)2-1，得抛物线l 的对称轴为直线x =2，顶点为(2，-1)，抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F (2，-1+h )．设直线x =2交OE 于点M ，交AE 于点N ，则N (2，3)，如图2，∵直线OE 的解析式为：y =x ，∴M (2，2)，∵点F 在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，∴2≤-1+h ≤3，解得3≤h ≤4；(4)设P (m ，m 2-4m +3)，分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP =∠PNF =90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP =PF ，∠OPF =90°，∴∠OPM +∠NPF =∠PFN +∠NPF =90°，∴∠OPM =∠PFN ，∴△OMP ≌△PNF (AAS )，∴OM =PN ，∵P (m ，m 2-4m +3)，则-m 2+4m -3=2-m ，解得：m =5+52或5-52，∵m =5+52>2，不合题意，舍去，∴m =5-52，此时m 2-4m +3=1-52，∴P 的坐标为5-52,1-52；②当P 在对称轴的左边，且在x 轴上方时，同理得：2-m =m 2-4m +3，解得：m 1=3+52或m 2=3-52，∵3+52>2，不合题意，舍去，∴m =3-52，此时m 2-4m +3=5+12，∴P 的坐标为3-52,5+12；③当P 在对称轴的右边，且在x 轴下方时，如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：m 1=3+52或m 2=3-52，∵3-52<2，不合题意，舍去，∴m =3+52，此时m 2-4m +3=1-52，P 的坐标为3+52,1-52；④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图5，同理得m 2-4m +3=m -2，解得：m =5+52或5-52(舍)，P 的坐标为：5+52,5+12；综上所述，点P 的坐标是：5-52,1-52 或3-52,5+12或3+52,1-52 或5+52,5+12．13(2023·广东珠海·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，其中点B 的坐标为(4,0)，与y 轴交于点C (0,2)．(1)求抛物线y =-12x 2+bx +c 和直线BC 的函数表达式；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上一个动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)连接B 和(2)中求出点P ，点Q 为抛物线上的一点，直线BP 下方是否存在点Q 使得∠PBQ =45°？若存在，求出点Q 的坐标．【答案】(1)y =-12x 2+32x +2，y =-12x +2(2)(2,3)(3)存在，-35，2325【解析】(1)把B (4,0)，C (0,2)代入y =-12x 2+bx +c 得：-8+4b +c =0c =2 ，解得b =32c =2，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+32x +2；设直线BC 的函数表达式为y =mx +2，把B (4,0)代入得：4m +2=0，解得m =-12，∴直线BC 的函数表达式为y =-12x +2；(2)过P 作PH ∥y 轴交BC 于H ，如图：设P t ,-12t 2+32t +2 ，则H t ,-12t +2 ，∴PH =-12t 2+32t +2--12t +2 =-12t 2+2t ，∴S ΔPBC =12PH ⋅OB =12×-12t 2+2t ×4=-t 2+4t =-(t -2)2+4，∵-1<0，∴当t =2时，S ΔPBC 取最大值4，此时P 的坐标为(2,3)；(3)直线BP 下方存在点Q ，使得∠PBQ =45°，理由如下：过P 作PM ⊥PB 交BQ 的延长线于M ，过P 作TK ∥x 轴，过B 作BK ⊥TK 于K ，过M 作MT ⊥TK 于T ，如图：由(2)知P (2,3)，∵B (4,0)，∴PK =2，BK =3，∵∠PBQ =45°，∴ΔPBM 是等腰直角三角形，∴∠MPB =90°，PB =PM ，∴∠KPB =90°-∠TPM =∠TMP ，∵∠K =∠T =90°，∴ΔBPK ≅ΔPMT (AAS )，∴PK =MT =2，BK =PT =3，∴M (-1,1)，由M (-1,1)，B (4,0)得直线BM 函数表达式为y =-15x +45，联立y =-15x +45y =-12x 2+32x +2 ，解得x =4y =0 或x =-35y =2325，∴Q 的坐标为-35，2325 ．14(2023·广西梧州·统考一模)如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A -6，0 ，B 0，8 ，C 8，0，点P 为线段AC 上的一动点(点P 与点A ，C 不重合)，过点P 作PQ ∥BC 交AB 于点Q ，将△APQ 沿PQ 翻折，点A 的对应点为点D ，连接PD ，QD ，BD ．设点P 的坐标为t ，0(1)当点D 恰好落在BC 上时，求点P 的坐标；(2)若△PDQ 与△ABC 重叠部分面积S 与点P 横坐标t 之间的函数解析式为S =a (t +6)2(-6<t ≤1)-67t 2+bt +647(1<t <8) ，其图象如图2所示，求a 、b 的值；(3)是否存在点P ，使得∠BDQ 为直角？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1，0(2)a =27，b =247(3)67，0【解析】(1)解：∵A -6，0 ，B 0，8 ，C 8，0 ，∴OB =OC =8，∴∠C =45°．∵PQ ∥BC ，∴∠APQ =∠C =45°．由折叠的性质可得AP =PD ，∠APQ =∠DPQ =45°，∴∠DPA =90°．∵B 0，8 ，C 8，0 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +8，∵P t ，0 ，∴PA =t --6 =t +6．∵点D 恰好落在BC 上，∴D (t ，-t +8)，∴PD =-t +8，∴t +6=-t +8，解得：t =1，∴点P 的坐标为1，0 ；(2)解：∵PQ ∥BC ，∴可设直线PQ 的解析式为y =-x +m ，∴0=-t +m ，解得：t =m ，直线PQ 的解析式为y =-x +t ．∵A -6，0 ，B 0，8 ，∴直线AB 的解析式为：y =43x +8． 联立y =-x +t y =43x +8 ，解得：x =3t -247y =4t +247，∴Q 3t -247，4t +247．当-6<t ≤1时，点D 在△ABC 内部，此时重叠部分面积为△PDQ 的面积，由折叠可知S △PDQ =S △APQ =12AP ⋅y Q =12×t +6 ×4t +247=27t +6 2，∴a =27；当1<t <8时，点D 在△ABC 外部，由图象可得当t =4时，S =1287，∴-67×42+4b +647=1287，解得：b =247；(3)解：如图，过点Q 和点B 分别作PD 的垂线，交PD 于点M 和PD 延长线于点N ，∵∠BDQ 为直角，∴∠BDN +∠MDQ =90°∵∠BDN +∠DBN =90°，∴∠MDQ =∠DBN ，∴tan ∠MDQ =tan ∠DBN ，即QM DM =DN BN ．∵Q 3t -247，4t +247 ，M t ，4t +247，D t ，t +6 ，N t ，8 ，B 0，8 ，∴QM =t -3t -247=4t +247，DM =t +6-4t +247=3t +187，DN =8-(t +6)=2-t ，BN =t ，∴4t +2473t +187=2-t t，解得：t 1=67，t 2=-6(舍)．∴存在，点P 的坐标为67，0 ．15(2023·吉林长春·统考一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+ax +1(a 为常数)，经过点P 2,-7 ，点Q 在抛物线上，其横坐标为m ，将此抛物线上P 、Q 两点间的部分(包括P 、Q 两点)记为图像G ．。
专题26 二次函数与三角形面积问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题26 二次函数与三角形面积问题1．（2021—2022广东珠海市九年级期中）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A (4，0)、B (﹣1，0)、C (0，4)三点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D 是直线AC 上方的抛物线的一点，DN ⊥AC 于点D ，DM //y 轴交AC 于点M ，求DMN 周长的最大值及此时点D 的坐标；（3）如图2，点P 为抛物线第一象限上的点，连接OP 与直线AC 相交于点Q ，若:COQ AOQ S S △△＝3：5，求点P 的坐标．【答案】（1）234y x x =-++；（2）DMN周长的最大值为，(2,6)D ；（3）P ⎝⎭【分析】将(4,0)A 、(1,0)B -、(0,4)C 代入2y ax bx c =++中，建立方程组求解即可；（2）延长DM 交x 轴于点H ，通过分析证明DMN 是等腰直角三角形，得到1)DMN C DM =△，用待定系数法求得直线AC 的解析式，设2(,34)D m m m -++，点4(),M m m -+，求得DM 的表达式，配方求得DM 最大值，分析得到周长的最大值和点D 的坐标；（3）过点Q 作QE x ⊥轴于点E ，由面积比求得35CQ AQ =，由平行线段分线段成比例得到35OE CQ AE AQ ==，从而知道点Q 的横坐标，代入直线AC 求得纵坐标，用待定系数法求得直线OQ 的解析式，与抛物线建立方程组即可求得点P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A (4，0)、B (﹣1，0)、C (0，4)三点∴将(4,0)A 、(1,0)B -、(0,4)C 代入2y ax bx c =++中得：164004a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：134a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：234y x x =-++（2）如图1，延长DM 交x 轴于点H∵(4,0)A 、(0,4)C∴4OA OC ==又∵90AOC ∠=，∴45OCA OAC ∠=∠=∵//DM y 轴∴90AHM ∠=，45AMH ACO ∠=∠=∴=45DMN AMH ∠=∠∵DN AC ⊥∴90DNM ∠=∴45NDM ∠=∴DMN 是等腰直角三角形∴=DN MN DM = 设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠将(4,0)A 、(0,4)C 两点坐标代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩解得：14k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为：4y x =-+设2(,34)D m m m -++，则点4(),M m m -+∴()22234(4)424DM m m m m m m =-++--+=-+=--+∴当2m =时，DM 取的最大值2，此时(2,6)D∵ DMN 为等腰直角三角形∴1)DMN C DN MN DM DM DM =++=+=△∴DMN 周长的最大值为：1)=，此时(2,6)D（3）如图2：过点Q 作QE x ⊥轴于点E∵:=3:5COQ AOQ S S △△ ∴35CQ AQ = ∵QE x ⊥轴∴90AQE ∠=又∵90ACO ∠=∴//QE CO ∴35OE CQ AE AQ == 又∵4OA =∴ 32OE =,即32Q x = ∵点Q 在直线AC 上∴ 35+4=22Q y =- ∴ 35(,)22Q 设直线OQ 的解析式为：(0y mx m =≠）将点Q 代入得：53m = ∴直线OQ 的解析式为：53y x = 又∵点P 是直线OQ 与抛物线的交点∴ 25334y x y x x ⎧=⎪⎨⎪=-++⎩ ∴234120x x --=234120x x --=即()60x -=或20x +=解得：12x x ==又∵P 为抛物线第一象限上的点∴点P的横坐标为：P x ∴5=3P y =∴P ⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质，二次函数的最值求法等知识点，能够数形结合分析是解题关键．2．（2021—2022辽宁连山九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ．且点()0,5A ，()5,0B ，点P 为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当245AOE APCD S S ∆=四边形时，求点P 坐标； （3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）245y x x =-++；（2）1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q - 【分析】（1）直接将(0,5)A ，(5,0)B 代入2y x bx c =-++，求解即可；（2）先求出AB 的解析式，设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+，用t 表示出PD ，最后利用245AOE APCD S S ∆=四边形求出结果； （3）分三种情况讨论解答：①当EM 为平行四边形的对角线时；②当EP 为对角线时；③当EQ 为对角线时．【详解】（1）将点(0,5)A ，(5,0)B 分别代入2y x bx c =-++得25505b c c -++=⎧⎨=⎩， 45b c =⎧∴⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为245y x x =-++；（2）//AC x 轴，点()0,5A ，∴当5y =时，2455x x -++=，10x ∴=，24x =，()4,5C ∴，4AC ∴=，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将(0,5)A ，(5,0)B 分别代入得505n m n =⎧⎨=+⎩， 解得：1m =-，5n =∴直线AB 的解析式为5y x =-+；设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+()2245(5)5PD t t t t t ∴=-++--+=-+，4AC =，()22114521022APCD S AC PD t t t t ∴=⨯=⨯⨯-+=-+四边形 函数245y x x =-++，当0y =时，有2450x x -++=，11x ∴=-，25x =，(1,0)E ∴-，1OE ∴=，又5OA =，11515222AOE S OE OA ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 245AOE APCD S S ∆=四边形， 22452101252t t ∴-+=⨯=， 解得：12t =，23t =，∴点1(2,9)P ，2(3,8)P； （3）∵2(2)9y x =--+，∴当x =2时，y =-2+5=3，∴M (2,3),设P (m ，2(2)9m --+，(,5)Q n n -+，而E (-1，0)，①当EM 为平行四边形的对角线时，(平行四边形的对角线互相平分)得：21222(2)950322m n m n +-+⎧=⎪⎪⎨--+-++⎪=⎪⎩，解得121261,52m m n n ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (舍)， ∴点Q 的坐标为（-5,10）；②当EP 为对角线时，212220(2)93522m m m n -++⎧=⎪⎪⎨--+-+⎪=⎪⎩， 解得121223,10m m n n ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， ∴点Q 的坐标为（-1,6）或（0,5）；③当EQ 为对角线时，21222053(2)922n m n m -++⎧=⎪⎪⎨-+--+⎪=⎪⎩， 解得121261,92m m n n ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）， 点Q 的坐标为（9,-4），综上所得：1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -．【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是分类思想的运用．3．（2021—2022湖南省长沙市九年级月考）已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）经过A （3，0）、B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积是△BDA 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求面积的最小值及E 点坐标．【答案】（1）215322y x x =-+；（2）存在，点P 坐标或）；（3）面积的最小值为94，E 点坐标（32，32） 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式求出点D 的坐标，取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，得到直线EP 为y ＝x ﹣1，联立方程组求解即可；（3）作BD ⊥OA 于D ，得到OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1，证明EF 是△AEO 的外接圆的直径，得到△EOF 是等腰直角三角形，当OE 最小时，△EOF 的面积最小，计算即可；【详解】（1）将点A （3，0），B （4，1）代入可得：933014431a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得：1252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故函数解析式为215322y x x =-+； （2）∵抛物线与x 轴的交点的纵坐标为0， ∴2153022x x -+=，解得：x 1＝3，x 2＝2， ∴点D 的坐标为（2，0），取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，∵ED ＝AD ＝1，∴此时△P AB 的面积是△DAB 的面积的两倍，∵直线AB 解析式为y ＝x ﹣3，∴直线EP 为y ＝x ﹣1， 由2115322y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P）． （3）如图2中，作BD ⊥OA 于D ．∵A （3，0），C （0，3），B （4，1），∴OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1，∴∠OAC ＝∠BAD ＝45°，∵∠OAF ＝∠BAD ＝45°，∴∠EAF ＝90°，∴EF 是△AEO 的外接圆的直径，∴∠EOF ＝90°，∴∠EFO ＝∠EAO ＝45°，∴△EOF 是等腰直角三角形，∴当OE 最小时，△EOF 的面积最小，∵OE ⊥AC 时，OE 最小，OC ＝OA ，∴CE ＝AE ，OE ＝12AC∴E （32，32），S △EOF ＝192224⨯=． ∴当△OEF 的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E 点坐标（32，32）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键． 4．（2021—2022福建省福州九年级月考）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，且B 点的坐标为（3，0），经过A 点的直线交抛物线于点D （2，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AD 的解析式：（2）点E 为x 轴上一点，点F 为抛物线上一点，是否存在点E ，使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由（3）点M 为直线AD 上方抛物线上一点，求当AMD 的面积最大时M 点的坐标及最大的面积．【答案】（1）y ＝−x 2＋2x ＋3，y ＝x ＋1；（2）E （-3，0），（0），（1，0）；（3）M （12，154），278【分析】（1）把点B 和D 的坐标代入抛物线2y x bx c =-++得出方程组，解方程组即可；由抛物线解析式求出点A 的坐标，设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋a ，把A 和D 的坐标代入得出方程组，解方程组即可；（2）分两种情况：①当AD 为平行四边形的边时，当a ＜−1时，DF ∥AE 且DF ＝AE ，得出F （0，3），由AE ＝−1−a ＝2，求出a 的值；当a ＞−1时，显然F 应在x 轴下方，EF ∥AD 且EF ＝AD ，设F （a −3，−3），代入抛物线解析式，即可得出结果．②当AD 为平行四边形的对角线时，则F （0， 3），则此时E （1，0）；（3）设M （x ，−x 2＋2x ＋3），过点M 作MN ⊥x 轴，交AD 于点N ，则N （x ，x ＋1），可得AMD的面积=−32x 2＋32x +3，进而即可求解．【详解】解：（1）把点B 和D 的坐标代入抛物线2y x bx c =-++得：930423b c b c -++-++⎧⎨⎩＝＝，解得：b ＝2，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝−x 2＋2x ＋3； 当y ＝0时，−x 2＋2x ＋3＝0， 解得：x ＝3或x ＝−1， ∵B （3，0）， ∴A （−1，0）；设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋a ，把A 和D 的坐标代入得：023k a k a -+=⎧⎨+=⎩，解得：k ＝1，a ＝1，∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1；（2）分两种情况：如图所示，设点E （a ，0），①当AD 为平行四边形的边时，a ＜−1时，则DF ∥AE 且DF ＝AE ， 则F 点即为（0，3）， ∵AE ＝−1−a ＝2， ∴a ＝−3，即E （-3，0）；当AD 为平行四边形的边时，a ＞−1时，显然F 应在x 轴下方，EF ∥AD 且EF ＝AD ， 则F （a -1-2，0+0−3），即：F （a -3，−3）， 由−（a −3）2＋2（a −3）＋3＝−3，解得：a ＝E （0），②当AD 为平行四边形的对角线时，则F （0， 3），则此时E （1，0），综上所述，满足条件的点E 的坐标为：E （-3，0），（0），（1，0）；（3）设M （x ，−x 2＋2x ＋3），过点M 作MN ⊥x 轴，交AD 于点N ，则N （x ，x ＋1）， ∴MN =−x 2＋2x ＋3-（ x ＋1）=−x 2＋x +2，∴AMD 的面积=11()()22D M M A MN x x MN x x ⋅-+⋅-=1()2D A MN x x ⋅-=132MN ⨯，∴AMD 的面积=−32x 2＋32x +3，当x =3123222-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，AMD 的最大面积=−32×212⎛⎫ ⎪⎝⎭＋32×12 +3=278， 此时，M （12，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、平行四边形的判定、抛物线与x 轴的交点等知识；熟练掌握待定系数法求抛物线和直线的解析式，分两种情况讨论是解决问题（2）的关键．5．（2021—2022广东东莞九年级月考）如图，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求CAB S △；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使PABS 面积最大，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由（4）设点Q 是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q ，使QAB CAB S S =△△，若存在，直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）223y x x =-++，y =-x +3；（2）3；（3）存在，P (315,24)；（4）存在，点Q 的坐标为（2，3），⎝⎭或⎝⎭【分析】（1）先通过代入A 点坐到二次函数解析式中，求出系数a 的值，从而求二次函数解析式，再代入A ，B 求出直线AB 解析式；（2）C 点坐标为（1，4），求出CD 的长，根据三角形的面积公式即可求解；（3）连接PB ，P A ，过P 作PE ∥y 轴，交AB 于E ，设P （a ，-a 2+2a +3），则E （a ，-a +3），可得PE =-a 2+2a +3-（-a +3）=-a 2+3a ，再根据S △ABP =S △BEP +S △AEP =12EP ×AO =12（-a 2+3a ）×3=-32a 2+92a =-32（a -32）2+278，即可得出结论； （4）根据S △QAB =S △CAB 即可得到一个关于点Q 的横坐标的方程，即可求出方程根的情况，进而得到不存在符合要求的Q 点． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y =a （x -1）2+4， 把A （3，0）代入解析式求得a =-1， ∴y =-（x -1）2+4=-x 2+2x +3； 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，由y =-x 2+2x +3可得B 点的坐标为（0，3）， 把A （3，0），B （0，3）代入y 2=kx +b 中，可得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：y =-x +3；（2）如图，过C 作CD ∥y 轴，交AB 于D由y=-（x-1）2+4得，C（1，4）又直线AB的解析式为：y=-x+3；∴D（1，2）∴CD=4-2=2∴S△CAB＝12×3×2＝3（3）如图，过P作PE∥y轴，交AB于E，连接PB，P A，设P（a，-a2+2a+3），则E（a，-a+3），∴PE=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，∴S△ABP=S△BEP+S△AEP=12EP×AO=12（-a2+3a）×3=-32a2+92a=-32（a-32）2+278，∴当a=32时，△ABP面积的最大值是278，此时点P的坐标为（32，154）（4）由（2）得S△CAB＝2假设存在符合条件的点Q，当点Q在第一象限时，设点Q的横坐标是x，△QAB的铅垂高为h，则h=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，由S△QAB=S△CAB，得：12×3×（-x2+3x）=3化简得：x2-3x+2=0，∴x=1（舍去）或x=2，∴点P （2，3）．当点Q 不在第一象限时，如图，设点Q 的坐标是（x ，-x 2+2x +3）则有：2211233)()33(3)(23)3221(2x x x x x x -+++-+⨯⨯---++=整理，得2320x x --=，解得，1x =2x =所以，1y =2y =∴点Q 的坐标为⎝⎭或⎝⎭综上，点Q 的坐标为（2，3），⎝⎭或⎝⎭【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、一元二次方程的解，第一、第二问相对较简单，难点在第三问，关键是设出点P 坐标，得出点F 坐标，表示出PF 的长度，根据S △QAB =S △CAB 建立方程．6．（2021—2022辽宁九年级期中）已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠经过点A (-3，-7)，B (3，5)，顶点为点E ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点C ． （1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式．（2）在抛物线上A ，E 两点之间的部分(不包含A ，E 两点)，是否存在点D ，使得2DAC DCE S S =△△？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）y =2x -1，y =-x 2+2x +8；（2）存在，D (-1，5)；（3）点P 的坐标为，2)或(1，2)或(6，-16)或(-4，-16) 【分析】（1）设直线AB 的解析式为y kx m =+，把点()37A --，，()35B ，代入，即可得直线AB 的解析式，把点()37A --，，()35B ，代入抛物线()280y ax bx a =++≠，即可得抛物线的解析式； （2）把抛物线228y x x =-++化为顶点式2(1)9y x =--+，设点()228D m m m -++，,()11C ，，过点D 作y 轴的平行线交直线AB 于点M ，则()21M m m -，，即可得2218DACS m -+=，44DCESm =-，根据2DAC DCE S S =△△解得1m =-，即可得；（3）设点()P x y ，，当以点A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：①当AE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()22x y ---，，解得2y =，当2y =时，2282x x -++=，解得1x =1x =AP 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()416x y --，，解得16y =，当16y =时，22816x x -++=，方程无解，舍去；③当PE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()416x y ++，，解得16y =-，当16y =-时，22816x x -++=-，解得6x =或4x =-；即可得． 【详解】解：（1）设直线AB 的解析式为y kx m =+，把点()37A --，，()35B ，代入，得7353k mk m -=-+⎧⎨=+⎩，解得：21k m =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为21y x =-，把点()37A --，，()35B ，代入抛物线()280y ax bx a =++≠， 得79385938a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为228y x x =-++．（2）2228(1)9y x x x =-++=--+，∴顶点()19E ，，设点()228D m m m -++，，()11C ，， 过点D 作y 轴的平行线交直线AB 于点M ，则()21M m m -，，()221282142182DACS m m m m =⨯-++-+⨯=-+， ()181442DCESm m =⨯⨯-=-， 2DACDCESS=()2218244m m ∴-+=-，解得1m =-或5(m =舍去)，∴存在点()15D -，，使得2DAC DCE S S =△△（3）()37A --，，()19E ，， 设点()P x y ，，当以点A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：①当AE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()22x y ---，， 点Q 在x 轴上，2y ∴=，当2y =时，2282x x -++=，解得1x =1x =∴点P 坐标为()1或()1，②当AP 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()416x y --，， 点Q 在x 轴上，16y ∴=，当16y =时，22816x x -++=，方程无解，舍去，③当PE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()416x y ++，， 点Q 在x 轴上， 16y ∴=-，当16y =-时，22816x x -++=-， 解得6x =或4x =-∴点P 坐标为()616-，或()416--，，综上所述，点P 的坐标为()1或()1或()616-，或()416--，． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，平行四边形，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 7．（2021—2022广东汕头市九年级期中）已知抛物线y =x 2 -（m -3）x +n 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若抛物线的对称轴为x =2，A （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上点B 右边的一动点，问：是否存在这样的点P ，使得∠CAP =∠CAO ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点Q 是抛物线上的点，满足ABQ ABCSS=k 只有三个点Q ，直接写出k 的值与Q 的坐标．【答案】（1）y =x 2-4x +3；（2）存在，点P （154，3316）；（3）k 13=，点Q 的坐标为（2，-1）或（1）或（21）． 【分析】（1）对称轴为x =2=12（m -3），解得：m =7，将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：n =3，即可求解；（2）过点C 作CG ⊥AP 于点G ，延长CG 交x 轴于点H ，∠CAP =∠CAO ，则CG =CO ，OA =GA =1，设AH =x ，则GH Rt △COH 中，由勾股定理求得x =54，故点H （94，0），即可求解；（3）根据抛物线的对称性结合题意知其中有一个点Q一定是抛物线的顶点，据此即可求解．【详解】解：（1）对称轴为x=2=12（m-3），解得：m=7，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：n=3，故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3；（2）过点C作CG⊥AP于点G，延长CG交x轴于点H，过点G作GD⊥AB于点D，令x=0，则y=3，∴C（0，3），∵∠CAP=∠CAO，∴CG=CO=3，OA=GA=1，设AH=x，则GHCH=3在Rt△COH中，由勾股定理：（32=9+（1+x）2，解得：x=54，则GH34=，CH=154，HO=94，∵GD∥OC，∴△HGD~△HCO，∴3141554GD DH HGCO HO CH====，∴GD=35，HD=920，∴OD=95，∴点G（95，35），设直线AG的解析式为y=kx+b，∴93 55k bk b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：3434k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则直线AP 的表达式为：y =34x +b ，将点A 的坐标代入上式并解得：直线AP 的表达式为：y =34x -34②，联立①②并解得：x =1（舍去）或154， 故点P （154，3316）； （3）∵满足ABQ ABCS S=k 只有三个点Q ，∴根据抛物线的对称性，其中有一个点Q 一定是抛物线的顶点， y =x 2-4x +3= (x -2)2-1，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）， 不妨设Q （2，-1），∵抛物线的对称轴为x =2，A （1，0），C （0，3）， ∴B （3，0）， ∴AB =3-1=2， ∴132ABCS AB OC =⨯=，1•12ABQQ S AB y ==， ∴k =13ABQ ABCS S=， 当点Q 在x 轴上方时， 则点Q 的纵坐标为1， ∴(x -2)2-1=1，即(x -2)2=2， 解得x 或2∴点Q 的坐标为（2，-1）或（1）或（21）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似的判定和性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．8．（2021—2022辽宁沈阳市九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y 12=x 2+bx +c 经过点A （﹣4，0），点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA ＝OB ，直线AB 与抛物线在第一象限交于点C （2，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB 的函数解析式为 ，点M 的坐标为 ，连接OC ，若过点O 的直线交线段AC 于点P ，将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则点P 的坐标为 ； （3）在y 轴上找一点Q ，使得△AMQ 的周长最小，则点Q 的坐标为 ；（4）在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、O 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y 12=x 2+2x ；（2）y ＝x +4，（﹣2，﹣2），（﹣2，2）或（0，4）；（3）Q （0，43-）；（4）存在，点N 的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）． 【分析】（1）将点A 、点C 的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）由点A （-4，0），OA OB =，得出点B （0，4），即可求出直线AB 的表达式，点M 为抛物线的顶点，由抛物线的顶点坐标即可求出点M 的坐标，因为OP 将AOC 的面积分成1：2的两部分，所以AP 13=AC 或23AC ，即可求出点P 的坐标； （3）根据将军饮马问题即可求出点Q 的坐标；（4）分AC 是边、AC 是对角线两种情况分别求解即可． 【详解】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式 11640214262b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩， 解得20b c =⎧⎨=⎩，故直线AB 的表达式为：y 12=x 2+2x ； （2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4）， 由点A 、B 的坐标得，直线AB 的表达式为：y ＝x +4；对于y 12=x 2+2x ，函数的对称轴为x ＝﹣2，故点M （﹣2，﹣2）； OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP 13=AC 或23AC ，则1233P C y y =或，即12633P y =或，解得：y P ＝2或4， 故点P （﹣2，2）或（0，4）；（3）如图所示，作点A 关于y 轴的对称点'A ，连接'A M 与y 轴交于点Q ，连接AQ 、MQ 、AM△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小， 点A ′（4，0），设直线A ′M 的表达式为：y ＝kx +b ，则4022k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得1343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线A ′M 的表达式为：y 13=x 43-，令x ＝0，则y 43=-，故点Q （0，43-）；（4）存在，理由：设点N （m ，n ），而点A 、C 、O 的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0）， ①当AC 是边时，点A 向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C ，同样点O （N ）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N （O ），即0±6＝m ，0±6＝n ，解得：m ＝n ＝±6， 故点N （6，6）或（﹣6，﹣6）； ②当AC 是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m +0，6+0＝n +0，解得：m＝﹣2，n＝6，故点N（﹣2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，涉及一次函数的性质、平行四边形的性质、以及面积的相关计算，熟练掌握二次函数的性质，一次函数以及平行四边形的性质是解答此题的关键．9．（2021—2022湖北黄石九年级月考）如图，已知抛物线L1：y＝﹣ax2﹣2ax+3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为6．（1）求抛物线L1的解析式；（2）若M是线段AC上的一动点，过点M作MN∥y轴，MN与抛物线相交于点N，设点M 的横坐标为m，求MN的长度（用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当△ANC的面积最大时，将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，抛物线L2的顶点为P，且△ACP的面积等于△ANC的面积，求点P的坐标．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）MN=-m2-3m；（3）P的坐标为：（-54，4）或（134，4）．【分析】（1）由-ax2-2ax+3a=0，得A（-3，0），B（1，0），AB=4，根据S△ABC=6，得点C的坐标为（0，3），将C（0，3）代人y=-ax2-2ax+3a得a=1，故抛物线L1的解析式为y=-x2-2x+3；（2）由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的解析式为y=x+3，根据点M的横坐标为m，知点M的纵坐标为m+3，点N的纵坐标为-m2-2m+3，从而MN=-m2-3m；（3）当MN最长时，△ANC的面积最大，由MN=-m2-3m=-（m+32）2+94（-3＜m＜0），可得此时点N的坐标为（-32，154），过点N作直线l∥AC交y轴于Q，在y轴上C的下方作R，使CR=CQ，过R作直线l'∥AC，用待定系数法可得直线l的解析式为y=x+214，①当抛物线L2的顶点P在直线l：y=x+214上时，△ACP的面积等于△ANC的面积，可求得此时P（-54，4），②根据CR =CQ 可得直线l '解析式为y =x +34，知N 到AC 的距离等于直线l '与直线AC间的距离，P 在直线l '上，即可得P （134，4）． 【详解】解：（1）令-ax 2-2ax +3a =0，解得x =-3或x =1， ∴A （-3，0），B （1，0），AB =4， ∵S △ABC =2AB OC⨯=6， ∴OC =3，即点C 的坐标为（0，3），将C （0，3）代人y =-ax 2-2ax +3a 得：3a =3，解得a =1， ∴抛物线L 1的解析式为y =-x 2-2x +3； （2）由（1）可得A （-3，0），C （0，3）， 设直线AC 的解析式为y =kx +b ， 将C （0，3），A （-3，0）代入得：303b k b =⎧⎨=-+⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =x +3， ∵点M 的横坐标为m ，∴点M 的纵坐标为m +3，点N 的纵坐标为-m 2-2m +3， ∴MN =（-m 2-2m +3）-（m +3）=-m 2-3m ； （3）∵S △ANC =12MN •|x C -x A |=32（-m 2-3m ），∴当 MN 最长时，△ANC 的面积最大， ∵MN =-m 2-3m =-（m +32）2+94，（-3＜m ＜0，），∴当m =-32时，MN 最长，将x =-32代入y =-x 2-2x +3得y =-（-32）2-2×（-32）+3=154，∴点N 的坐标为（-32，154），过点N 作直线l ∥AC 交y 轴于Q ，在y 轴上C 的下方作R ，使CR =CQ ，过R 作直线l '∥AC ，如图：由（2）知直线AC解析式为y=x+3，∴设直线1的解析式为y=x+n，将N（-32，154）代入得n=214，∴直线l的解析式为y=x+214，①当抛物线L2的顶点P在直线l：y=x+214上时，△ACP的面积等于△ANC的面积，∵抛物线L1：y=-x2-2x+3顶点为（-1，4），∴在y=x+214中令y=4得x=-54，∴此时P（-54，4），②在y=x+214中令x=0得y=214，∴Q（0，214），∴CQ=214-3=94，∵CR=CQ，∴R（0，34），∵直线l'∥AC，∴直线l'解析式为y=x+34，而直线l∥AC，直线l'∥AC，且CR=CQ，∴N到AC的距离等于直线l'与直线AC间的距离，即P在直线l'上，此时△ACP的面积等于△ANC 的面积，∵将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，且抛物线L1：y=-x2-2x+3顶点为（-1，4），∴在y=x+34中，令y=4得x=134，即得P（134，4），综上所述，P 的坐标为：（-54，4）或（134，4）．【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、抛物线平移等知识，解题的关键是掌握和熟练运用同底等高的三角形面积相等．10．（2021·湖北·黄石市中考模拟预测）如图1，已知抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A ，(3,0)B -．（1）求抛物线的解析式及其顶点C 的坐标；（2）设点D 是x 轴上一点，当CDO ACO ∠=∠时，求点D 的坐标；（3）如图2，抛物线与y 轴交于点E ，点P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A 交BE 于点M ，交y 轴于点N ，BMP 和EMN 的面积相等时，求P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--+，C 坐标为（-1,4）；（2）（17,0），（-19,0）；（3）939,416⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线解析式，将抛物线解析式化为顶点式即可确定顶点C 的坐标；（2）先求出抛物线对称轴为x =-1，OA =1，OC D 位于点A 右侧时，根据题意得到△COD 1∽△AOC ，即可求出点D 1坐标，当点D 位于点A 右左侧时，证明∠CD 2O =∠CD 1O ，得到点D 2和D 1关于直线x =-1对称，即可求出点D 2坐标；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），用含a 的式子表示出PA 解析式，进而确定点N 的坐标为（0，a +3），根据BMP 和EMN 面积相等，得到四边形BPNO 面积=△BOE 面积= 11933222OB OE ⨯⨯=⨯⨯=，构造关于a 的方程，求解即可得到点P 坐标． 【详解】解：（1）把(1,0)A ，(3,0)B -代入抛物线2y x bx c =-++得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =--+，将抛物线配成顶点式为()222314y x x x =--+=-++， ∴抛物线顶点C 坐标为（-1,4）；（2）如图1，设抛物线对称轴交x 轴于点H ，由题意得抛物线对称轴为x =-1，OA =1，OC ==如图1，当点D 位于点A 右侧时， ∵∠CD 1O =∠ACO ，∠COD 1=∠AOC ， ∴△COD 1∽△AOC ， ∴1=D O CO AO CO，， ∴D 1O =17，∴点D 1坐标为（17,0）； 当点D 位于点A 左侧时，∵∠CD 1O =∠ACO ，∠CD 2O =∠ACO ， ∴∠CD 2O =∠CD 1O ， ∴CD 2= CD 1， ∵CH ⊥D 2D 1，∴点D 2和D 1关于直线x =-1对称， ∴点D 2坐标为（-19,0）；∴满足条件的点D 的坐标有两个，分别为（17,0），（-19,0）；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），直线P A 解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，得，2230ak b a a k b ⎧+=--+⎨+=⎩，解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3，∴直线P A 解析式为y ＝（﹣a ﹣3）x +a +3， 当x ＝0时，y ＝a +3， ∴N （0，a +3），∵抛物线解析式为223y x x =--+， ∴点E 坐标为（0,3）， ∵BMP 和EMN 面积相等，∴BMP 面积+四边形BONM 面积=EMN 面积+四边形BONM 面积， ∴四边形BPNO 面积=△BOE 面积= 11933222OB OE ⨯⨯=⨯⨯=， 连接OP ，则()()()21193233222a a a a ⨯⨯--++⨯+-=， 解得10a =（不合题意，舍去），294a =-，当94a =-时，2392316a a --+=，∴点P 坐标为（94-，3916）．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数、勾股定理、等腰三角形等知识，综合性较强，理解函数图象上点的坐标特点，运用好转化、分类的数学思想是解题的关键． 11．（2021·重庆·中考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ． （1）求线段BC 的长；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以y 轴为对称轴，将抛物线213222y x x =+-对称，对称后点P 的对应点为点P '，点M 为对称后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点A 、P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．【答案】（1）2）BPE 面积的最大值为4；此时P 的坐标为()23--，．（3）532⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，或532⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由抛物线表达式2132022y x x =+-=，求出点B 的坐标，当0x =时求出点C 的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC 的长度．（2）由//CE BP 把BPE 的面积转化为△BPC 的面积，作PF ∥y 轴交BC 于点F ，交x 轴于点H ，根据点B 和点C 的坐标求出BC 所在直线的表达式，然后设出点P 和F 的坐标，表示出△BPC 的面积，根据二次函数的最值求解即可．（3）分A P '是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A 和点P '的坐标求出A P '的长度，然后设出点M 的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M 的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N 的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ， ∴当y =0时，即2132022x x +-=，整理得：2340x x +-=， 解得：1214x x ==-，．∴A 点坐标为10，，B 点坐标为()40-，． ∴OB =4． 当0x =时，y =-2，∴C 点坐标为()02-，， ∴OC =2．∴BC ==．（2）如图所示，连接PC ，作PF ∥y 轴交BC 于点F ，交x 轴于点H ．∵//CE BP ，∴△BPE 和△BPC 是同底等高的三角形， ∴BPE BPC S S =△△，∴求△BPE 面积的最大值即求△BPC 面积的最大值．∵B ()40-，，C ()02-，， ∴设BC 所在直线表达式为y kx b =+，将B ，C 两点代入y kx b =+得：042k b b =-+⎧⎨-=⎩， 解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． ∴BC 所在直线表达式为122y x =--． ∴设P 点坐标为213,222m m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，F 点坐标为1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ， ∴2211312222222PF m m m m m ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭． ∴()11112222PBC PBF PCF S S S PF BH PF OH PF BH OH PF OB =+=+=+=△△△，即()222112442422PBC S m m m m m ⎛⎫=--=--=-++ ⎪⎝⎭△， ∴BPE 面积的最大值为4，将m =-2代入213222y x x =+-得()()213222322y =⨯-+⨯--=-， ∴此时P 点坐标为()23--，． （3）∵抛物线表达式为213222y x x =+-， ∴对称轴133212222b x a =-=-=-⨯， ∵以y 轴为对称轴，将抛物线213222y x x =+-对称， ∴对称后的抛物线的对称轴232x =． ∵对称后点P 的对应点为点P '，点P 的坐标为()23--，，∴点P '的坐标为()23-，， 又∵A 点坐标为10，， ∴AP '=设M 点坐标为32a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴AM 分两种情况，①当A P '是菱形的边长时，如图所示，∵四边形AMNP 是菱形，∴AM AP '=，解得：a =∴132M ⎛ ⎝⎭，，232M ⎛ ⎝⎭． ∵四边形AMNP 是菱形，∴对角线AN 和P M '互相平分，∴根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：A N M P A N M P x x x x y y y y ''+=+⎧⎨+=+⎩，代入可得：1312203N N x y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或2312203N N x y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：52N x =，13N y =，23N y -，∴1532N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，2532N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ②当A P '是菱形的对角线时，如图所示，∴3P M ' ∵四边形33AM P N '是菱形，∴33AM P M '=，解得：32a =-． ∴33322M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 又∵()033222A P y y +-+==-， ∴此时M 点在线段'AP 上，以点A 、P '、M 、N 为顶点构不成菱形，故此种情况不存在．综上所述，N 点的坐标为532⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或532⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查了二次函数综合，二次函数中三角形面积最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，找到坐标和线段长度之间的关系．。
二次函数三角形面积
二次函数三角形面积二次函数是高中数学中的重要内容之一，而二次函数与三角形面积之间的关系也是数学中的一个经典问题。
本文将通过简单的例子和详细的讲解，介绍二次函数与三角形面积的关系。
我们来看一个简单的例子：假设有一个三角形，它的底边长为3，高为2。
我们想要求这个三角形的面积。
这时我们可以使用二次函数来求解。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
而三角形的面积可以通过底边长和高来计算，公式为S = 1/2 * 底边长 * 高。
我们可以将三角形的面积S表示为二次函数的形式，即S = ax^2 + bx + c。
由于我们已知底边长为3，高为2，代入公式可得2 = a * 3^2 + b * 3 + c。
接下来，我们需要求解二次函数的系数a、b、c。
由于已知三个点(3,2)，我们可以通过代入这三个点的坐标来求解。
代入第一个点(3,2)，可得2 = 9a + 3b + c。
接着，代入第二个点(0,c)，可得c = a * 0^2 + b * 0 + c，即 c = c。
最后，代入第三个点(-3,2)，可得2 = 9a - 3b + c。
通过以上三个方程，我们可以解得a、b、c的值。
进一步求解，我们可以得到二次函数的解析式。
在得到二次函数的解析式之后，我们可以进一步求解三角形的面积。
将求得的系数a、b、c代入二次函数的解析式中，我们可以得到三角形的面积函数S(x)。
通过对S(x)进行化简，我们可以得到一个简化的表达式，即二次函数与三角形面积的关系式。
在进一步讨论之前，我们可以先来看一下二次函数的图像。
由于二次函数是一个抛物线，它的图像可以分为两种情况：开口向上和开口向下。
当二次函数的系数a大于0时，它的图像开口向上；当系数a小于0时，它的图像开口向下。
对于开口向上的二次函数，它的最低点即为抛物线的顶点。
而顶点的横坐标就是二次函数的极值点。
我们可以通过求导来找到这个极值点。
中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(老师版)
专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设三角形运动速度为1，分0≤t≤2时，2＜t≤2时，2＜时，时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∵当s ＝12×1×1+2×2﹣212t ⨯＝92﹣12t 2；s ＝22-12+2×12t)2=t 2﹣112；t≤2时，s ＝2122-×1×1＝72；当2＜时，s ＝22-2×12(t -2)2=t 2﹣4t+152；当2+2＜s ＝22+12-2×12t+2）2=92t+2）2，∵等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∵A 符合要求， 故选：A ． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【答案】B 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d 的值 【详解】解： 直线l ：13y x b =+经过点M （0，14）则b=14，∵直线l ：1134y x =+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∵该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d ＜1∵该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，11173412y =+=＜1；当x=2时，221113412y =+= ＜1； 当x=3时，315144y =+=＞1； ∵美丽抛物线的顶点只有12,B B ∵若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-= ， ∵若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． 故选B ． 【点睛】此题主要考查抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16B．15C．14D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∵一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∵满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果∵ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）。
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O AA O
CC
x
B
x
B
（3）直线l⊥x轴，若直线l由点A开始沿x轴正方向以 每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t （0≤t≤5）秒，运动过程中直线l在△ABC中所扫过的 面积为S，求S与t的函数关系式。
l
yy
O AA O
CC
B x B
x
已知二次函数y＝x 2＋ax＋a－2． （1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总
D 1
O1
Ax
练习：如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于
A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线 的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？
y
C
B
A
O
x
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在 一点P，使△PBC的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值； 若不存在，请说明理由．
有两个交点；
（2）设a ＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的
距离为 13 时，求出此二次函数的解析式；
（3）若题（2）中二次函数图象与x轴交于A、B两 点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积
为 3 13 。 2
谢谢观看！ 2020
（4）在抛物线y＝x 2－2x＋k上求点Q，使 △BCQ是以BC为直角边的直角三角形
y
AO
Bx
C M
练习：如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过
点A的直线y＝- 3 x＋m与x轴交于点E．
3
（1）求点E的坐标；
（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；
（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点
B
2
S△ COP=_______ S△ PAB=_______
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
2
1
(-1,0)
A O
(3,0)
B
2
S△ PCB=_______
(1,4) E4 P
(0,3) C 3
2
S△ ACP=_______ 1
(-1,0)
A
OD 2
(3,0)
B
S
水 平 宽 铅 锤 高 2
A
铅垂高
h
C
B 水平宽 a
例1：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x 轴于点A(3，0)，交y轴于点B。 （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个 动点，是否存在一点P，使S△PAB＝89 S△CAB
y
C
B
二次函数中的三角形面积问题
例 1: 已 知 抛 物 线 y= － x2+2x+3 与 x 轴 交
于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，
与y轴交于C点，顶点为P，
(1,4)
4
P
S = △ AOC ______________
(0,3) C 3
S△ BOC=_______
2
1
(-1,0)
A O
(3,0)
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积； （3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等 于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不
存在，请说明理由．
练习：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标
分别是A（－1，0）、B（4，0），点C在y轴的 负半轴上，且∠ACB＝90°． （1）求点C的坐标； （2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S
的最大值．
y
A
O
B
Ex
例3. 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分
别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把 △AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转 到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、 D、B三点．
y
C
B
A
O
x
例2．如图，抛物线y＝x 2－2x＋k与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C（0，－3）． （1）k的值和A、B的坐标； （2）设抛物线y＝x 2－2x＋k的顶点为M，求四边 形ABMC的面积；
y
O
A
Bx
C M
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D， 使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求 出点D的坐标；若不存在，请说明理由；