3.1.2指数函数1教案学生版

3.1.2 指数函数(一)

【学习要求】

1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念;

2.掌握指数函数的图象及性质;

3.初步学会运用指数函数来解决问题. 【学法指导】

通过了解指数函数的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;通过展示函数图象,用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 填一填：知识要点、记下疑难点

1.指数函数的定义:一般地,函数 (a>0,a≠1,x ∈R)叫做指数函数.

2.指数函数y ＝a x (a>0,a≠1)的图象过定点

3.指数函数y ＝a x (a>0,a≠1,x ∈R),当a>1时,在(－∞,＋∞)上是 当0

[问题情境]印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下,请你在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格加一倍. 直到摆满棋盘上64格”,国王说:“你的要求不高,会如愿以偿的”.于是,下令把一袋麦子拿到宝座前,计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格,袋子已经空了,一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那样迅速,很快看出,即使拿出来全印度的粮食,国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想,共需要多少粒麦子？ 探究点一 指数函数的概念

问题1某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…,一个细胞分裂x 次后,得到细胞的个数为y,则y 与x 的函数关系是什么呢？

问题2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过1年剩留的质量约是原来的84%.这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系是怎样的？

问题3 在上述两问题关系式中,如果用字母a 代替2和0.84,那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式？

小结：指数函数的定义:一般地,函数y ＝a x (a>0,a≠1,x ∈R)叫做指数函数. 问题4 指数函数的定义中为什么规定了a>0且a≠1?

例1 在下列的关系式中,哪些是指数函数,为什么？

(1)y ＝2x ＋

2; (2)y ＝(－2)x ; (3)y ＝－2x ; (4)y ＝πx ; (5)y ＝x 2; (6)y ＝(a －1)x (a>1,且a≠2).

跟踪训练1 指出下列函数哪些是指数函数:

(1)y ＝4x ; (2)y ＝x 4; (3)y ＝(－4)x ; (4)y ＝x x ; (5)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭

⎫a>1

2，且a≠1.

探究点二 指数函数的图象与性质

导引为了研究指数函数的图象,我们来看下面两组指数函数的图象,

第一组y ＝2x ,y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象;第二组y ＝3x ,y ＝⎝⎛⎭

⎫13x 的图象. 问题1 图象分别在哪几个象限？这说明了什么？

问题2 图象有什么特征？猜想图象的上升、下降与底数a 有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？

问题3 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？

问题4 函数图象有什么关系？可否利用y ＝2x 或y ＝3x 的图象画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x

或y ＝⎝⎛⎭

⎫13x 的图象？

问题5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y ＝a x 的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)

例2 已知指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)的图象过点(3,π),求f(0),f(1),f(－3)的值.

跟踪训练2 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2),求a,b 的值.

例3 求下列函数的定义域与值域:

(1)y ＝21x －4;(2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x|;(3)y ＝4x ＋2x ＋1

＋1.

跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域:

(1)y ＝0.31x －1

;(2)y ＝35x －

1

练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.下列各函数中,是指数函数的是 ( ) A.y ＝(－3)x

B.y ＝－3x

C.y ＝3x －

1 D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x

2.函数f(x)＝1－2x 的定义域是 ( )

A.(－∞,0]

B.[0,＋∞)

C.(－∞,0)

D.(－∞,＋∞)

3.函数f(x)＝xa

x |x|

(a>1)的图象的大致形状是 ( )