2019届绵阳一诊理科数学(含答案)20181101
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数学（理工类）参考答案及评分意见第1页（共6页）
绵阳市高中2016级第一次诊断性考试
数学（理工类）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
BBABD CBDAD CC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．7 14．-7 15．2
16．32-
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，
由a 4=7，得a 1+3d =7，① ……………………………………………………2分 又∵ a 2，a 6-2a 1，a 14是等比数列{b n }的前三项，
∴ (a 6-2a 1)2=a 2a 14，
即(5d -a 1)2=(a 1+d )(a 1+13d )，化简得d =2a 1，② ……………………………4分 联立①②解得a 1=1，d =2．
∴ a n =1+2(n -1)=2n -1． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ b 1=a 2=3，b 2=a 6-2a 1=9，b 3=a 14=27是等比数列{b n }的前三项， ……………………………………………………8分 ∴ 等比数列{b n }的公比为3，首项为3．
∴ 等比数列{b n }的前n 项和S n =3(13)13n −−=3(31)2
n −． ……………………10分 由S n >39，得3(31)2
n −>39，化简得3n >27． 解得n >3，n ∈N *． …………………………………………………………12分
18．解：
（Ⅰ）2())4cos 3f x x x π
=−+
=2cos cos2sin )33x x ππ
−+2(1+cos2x ) ………………2分
=
32cos222x x −+2cos2x +2
=12+cos22
x x +2
数学（理工类）参考答案及评分意见第2页（共6页） =sin(2)26x π+
+， ……………………………………………4分 由题意得()sin[2()]2266g x x ππ=−
++−， 化简得g (x )=sin(2)6x π−
． ……………………………………………………6分 （Ⅱ）由
6π≤x ≤23π，可得6π≤2x -6π≤76π． 当2π≤2x -6π≤76π即3
π≤x ≤23π时，函数()g x 单调递减． ∴ ()g x 在2[]63ππ，上的单调递减区间为2[]33
ππ，． ………………………9分 ∵ ()g x 在[]63
ππ，上单调递增，在2[]33ππ，上单调递减， ∴ ()g x ma x =()3
g π=sin 12π=． 又2()3g π=7sin 6π=sin (+6ππ)=-1sin 62π=−<()6
g π=1sin 62π=， ∴ 12
−≤()g x ≤1， 即()g x 在2[]63
ππ，上的值域为1[1]2−，．……………………………………12分 19．解 ：（Ⅰ）∵ 2c sin B =3a tan A ，
∴ 2c sin B cos A =3a sin A ．
由正弦定理得2cb cos A =3a 2， ………………………………………………2分
由余弦定理得2cb •222
+2b c a bc
−=3a 2，化简得b 2+c 2=4a 2， ∴ 22
24b c a
+=． ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）∵ a =2，由（Ⅰ）知b 2+c 2=4a 2=16，
∴由余弦定理得cos A =222+2b c a bc −=6bc
， …………………………………6分 根据重要不等式有b 2+c 2≥2bc ，即8≥bc ，当且仅当b =c 时“=”成立，
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∴ cos A ≥
68=34．………………………………………………………………8分 由cos A =6bc
，得bc =6cos A ，且A ∈(0)2π，， ∴ △ABC 的面积S =12
bc sin A =12×6cos A ×sin A =3tan A ． ………………10分 ∵ 1+tan 2A =1+22sin cos A A =222cos sin cos A A A +=21cos A ， ∴ tan A
=
≤
∴ S =3tan A
≤
∴ △ABC 的面积S
的最大值为． ……………………………………12分
20．解：（Ⅰ）()x f x e a '=−．
当a ≤0时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； …………………………2分 当a >0时，由()0f x '>解得x >ln a ，由()0f x '<解得x 当a >0时，函数()f x 在(ln )a +∞，上单调递增， 函数()f x 在(ln )a −∞，上单调递减． ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，函数()f x 在R 上单调递增， ∴ 函数()f x 在[1，2]上的最小值为f (1)=e -a +3=4， 即1a e =−>0，矛盾. …………………………………………………………6分 当a >0时， 由（Ⅰ）得x =ln a 是函数()f x 在R 上的极小值点．