2019届绵阳一诊理科数学(含答案)20181101

数学（理工类）参考答案及评分意见第1页（共6页）
绵阳市高中2016级第一次诊断性考试
数学（理工类）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
BBABD CBDAD CC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．7 14．-7 15．2
16．32-
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，
由a 4=7，得a 1+3d =7，① ……………………………………………………2分 又∵ a 2，a 6-2a 1，a 14是等比数列{b n }的前三项，
∴ (a 6-2a 1)2=a 2a 14，
即(5d -a 1)2=(a 1+d )(a 1+13d )，化简得d =2a 1，② ……………………………4分 联立①②解得a 1=1，d =2．
∴ a n =1+2(n -1)=2n -1． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ b 1=a 2=3，b 2=a 6-2a 1=9，b 3=a 14=27是等比数列{b n }的前三项， ……………………………………………………8分 ∴ 等比数列{b n }的公比为3，首项为3．
∴ 等比数列{b n }的前n 项和S n =3(13)13n −−=3(31)2
n −． ……………………10分 由S n >39，得3(31)2
n −>39，化简得3n >27． 解得n >3，n ∈N *． …………………………………………………………12分
18．解：
（Ⅰ）2())4cos 3f x x x π
=−+
=2cos cos2sin )33x x ππ
−+2(1+cos2x ) ………………2分
=
32cos222x x −+2cos2x +2
=12+cos22
x x +2
数学（理工类）参考答案及评分意见第2页（共6页） =sin(2)26x π+
+， ……………………………………………4分 由题意得()sin[2()]2266g x x ππ=−
++−， 化简得g (x )=sin(2)6x π−
． ……………………………………………………6分 （Ⅱ）由
6π≤x ≤23π，可得6π≤2x -6π≤76π． 当2π≤2x -6π≤76π即3
π≤x ≤23π时，函数()g x 单调递减． ∴ ()g x 在2[]63ππ，上的单调递减区间为2[]33
ππ，． ………………………9分 ∵ ()g x 在[]63
ππ，上单调递增，在2[]33ππ，上单调递减， ∴ ()g x ma x =()3
g π=sin 12π=． 又2()3g π=7sin 6π=sin (+6ππ)=-1sin 62π=−<()6
g π=1sin 62π=， ∴ 12
−≤()g x ≤1， 即()g x 在2[]63
ππ，上的值域为1[1]2−，．……………………………………12分 19．解 ：（Ⅰ）∵ 2c sin B =3a tan A ，
∴ 2c sin B cos A =3a sin A ．
由正弦定理得2cb cos A =3a 2， ………………………………………………2分
由余弦定理得2cb •222
+2b c a bc
−=3a 2，化简得b 2+c 2=4a 2， ∴ 22
24b c a
+=． ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）∵ a =2，由（Ⅰ）知b 2+c 2=4a 2=16，
∴由余弦定理得cos A =222+2b c a bc −=6bc
， …………………………………6分 根据重要不等式有b 2+c 2≥2bc ，即8≥bc ，当且仅当b =c 时“=”成立，
数学（理工类）参考答案及评分意见第3页（共6页）
∴ cos A ≥
68=34．………………………………………………………………8分 由cos A =6bc
，得bc =6cos A ，且A ∈(0)2π，， ∴ △ABC 的面积S =12
bc sin A =12×6cos A ×sin A =3tan A ． ………………10分 ∵ 1+tan 2A =1+22sin cos A A =222cos sin cos A A A +=21cos A ， ∴ tan A
=
≤
∴ S =3tan A
≤
∴ △ABC 的面积S
的最大值为． ……………………………………12分
20．解：（Ⅰ）()x f x e a '=−．
当a ≤0时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； …………………………2分 当a >0时，由()0f x '>解得x >ln a ，由()0f x '<解得x <ln a . ……………4分 综上所述：当a ≤0时，函数()f x 在R 上单调递增；
当a >0时，函数()f x 在(ln )a +∞，上单调递增，
函数()f x 在(ln )a −∞，上单调递减． ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，函数()f x 在R 上单调递增，
∴ 函数()f x 在[1，2]上的最小值为f (1)=e -a +3=4，
即1a e =−>0，矛盾. …………………………………………………………6分 当a >0时， 由（Ⅰ）得x =ln a 是函数()f x 在R 上的极小值点．
① 当ln a ≤1即0<a ≤e 时，函数()f x 在[1，2]上单调递增，
则函数()f x 的最小值为f (1)=e -a +3=4，即a =e -1，符合条件． …………7分 ②当ln a ≥2即a ≥e 2时，函数()f x 在[1，2]上单调递减，
则函数()f x 的最小值为f (2)=e 2-2a +3=4即212
e a −=<e 2，矛盾．…………8分 ③当1<ln a <2即e <a <e 2时，函数()
f x 在[1，ln a ]上单调递减，
函数()f x 在[ln a ，2]上单调递增，
则函数()f x 的最小值为f (ln a )=e ln a -a ln a +3=4即a -a ln a -1=0．
数学（理工类）参考答案及评分意见第4页（共6页）
令h (a )=a -a ln a -1(e <a <e 2)， 则()ln h a a '=−<0，
∴ h (a )在(e ，e 2)上单调递减，
而h (e )=-1，
∴ h (a )在(e ，e 2)上没有零点，
即当e <a <e 2时，方程a -a ln a -1=0无解．
综上，实数a 的值为e -1． …………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0，+∞)．
当a =e -1时，()f x =ln x -e x +(e -1)x -e +1，
则()f x '=1x
-e x +e -1， 令1()()1x h x f x e e x '==
−+−，则21()0x h x e x '=−−<．………………………2分 即()f x '在(0+)∞，上单调递减，又(1)0f '=，
故(01)x ∈，时，()f x '>0，)(x f 在(0，1)上单调递增，
(1+)x ∈∞，时，)(x f '<0，)(x f 在(1+)∞，上单调递减．
所以函数()f x 有极大值f (1)=-e ，无极小值． ………………………………4分 （Ⅱ）由()f x '=
1x -e x +a ，令g (x )=()f x '=1x -e x +a ， 则2
1()x g x e x '=−−<0，所以g (x )在(0+)∞，上单调递减， 即)(x f '在(0+)∞，上单调递减．
又0x →时，()f x '→+∞；x →+∞时，()f x '→−∞，
故存在0x ∈(0+)∞，使得0()f x '=0
1x 0x e −+a =0． ……………………………6分 当x ∈(0，x 0)时，)(x f '>0，f (x )在(0，x 0)上单调递增，
x ∈(x 0，+∞)时，)(x f '<0，f (x )在(x 0，+∞)上单调递减．
又()f x =0有唯一解， 则必有0000()ln 0x f x x e ax a =−+−=． 由0000
010ln 0x x e a x x e ax a ⎧−+=⎪⎨⎪−+−=⎩，， 消去a 得000001ln (1)()0x x x e x e x −+−−=．
数学（理工类）参考答案及评分意见第5页（共6页） 令1()ln (1)()x x x x e x e x ϕ=−+−−=1ln 2+1x x x e xe x
−+−，……………………8分 则211()2x x x x e e xe x x
ϕ'=−++− 21=
(1)x x x e x −+− =21(1)()x x e x −+． 故当x ∈(0，1)时，)(x ϕ'<0，)(x f 在(0，1)上单调递减，
当x ∈(1，+∞)时，)(x ϕ'>0，)(x f 在(1，+∞)上单调递增．…………10分 由1(1)0(2)ln 202
e ϕϕ=−<=−+>，， 得存在0(1,2)x ∈,使得0()0x ϕ=即0()0
f x =.
又关于x 的方程()f x =0有唯一解x 0，且*0(1)x n n n ∈+∈N ，，，
∴ 0(12)x ∈，．
故n =1． ………………………………………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）将t =2y 代入x
=3+
，整理得30x −= ， 所以直线l
的普通方程为30x −=． …………………………………2分 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，
将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，
得2240x y x +−=，
即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y −+=． ……………………………5分 （Ⅱ）设A ，B 的参数分别为t 1，t 2．
将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得
221(32)()42
t −+=，
化简得230t −=，
由韦达定理得12t t +=
于是122P t t t +== ………………………………………………………6分
数学（理工类）参考答案及评分意见第6页（共6页） 设P (x 0，y 0)
，则0093(41(2x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，
即P (94
，． ……………………………………………………………8分 所以点P 到原点O
的距离为2
=． ……………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤12
−时，)(x f =-2x -1+(x -1)=-x -2， 由)(x f ≥2解得x ≤-4，综合得x ≤-4； ……………………………………2分 当112
x −<<时，)(x f =(2x +1)+(x -1)=3x ， 由)(x f ≥2解得x ≥
23，综合得23≤x <1； …………………………………3分 当x ≥1时，)(x f =(2x +1)-(x -1)=x +2，
由)(x f ≥2解得x ≥0，综合得x ≥1． ………………………………………4分
所以)(x f ≥2的解集是2(4][+)3
−∞−∞，，． ………………………………5分 （Ⅱ）∵ )(x f =|2x+1|-|x -m |≥|x -3|的解集包含[3，4]，
∴ 当x ∈[3，4]时，|2x+1|-|x -m |≥|x -3|恒成立． …………………………7分 原式可变为2x+1-|x -m |≥x -3即|x -m |≤x +4， ……………………………8分 ∴ -x -4≤x -m ≤x +4即-4≤m ≤2x +4在x ∈[3，4]上恒成立，
显然当x =3时，2x +4取得最小值10，
即m 的取值范围是[-4，10]． ………………………………………………10分。