第6章+滤波器组基础

GM-1(z)
ˆ ( n) x
图 6.1.1 滤波器组示意图， （a）分析滤波器组， （b）综合滤波器组。 假定滤波器 H 0 ( z ) ， H 1 ( z ) ，…， H M 1 ( z ) 的频率特性如图 6.1.2（a）所示， x ( n ) 通过这 些滤波器后，得到的 x 0 ( n ) ， x1 ( n ) ，…， x M 1 ( n ) 将是 x ( n ) 的一个个子带信号，它们的 频谱相互之间没有交叠。若 H 0 ( z ) ， H 1 ( z ) ，…， H M 1 ( z ) 的频率特性如图 6.1.2（b）所 示，那么， x 0 ( n ) ， x1 ( n ) ，…， x M 1 ( n ) 的频谱相互之间将有少许的混迭。由于 H 0 ( z ) ，
j
(6.2.2)
这样，对图 6.1.3 中的第 k 条支路， x ( n ) 通过该支路后就变成一个窄带信号，其频谱在
2 k M ~ 2 ( k 1) M 之间。如若将 hk ( n ) 的输出 x k ( n ) 再乘以 e
j
2 kn M
，这就等于将
x k ( n ) 的频谱的中心移到 0 的位置， 因为其带宽仍是 2 M ， 所以对 x k ( n ) 可作 M 倍
l 0 r
M 1
j
2 kl M
记
xl ( n r ) xБайду номын сангаас( Mn Mr l )
(6.2.5a)
154
pl ( r ) h0 ( Mr l )
则
(6.2.5b)
k ( n ) x l ( n r ) p l ( r ) e
l 0
G1 ( z ) ，…， G M 1 ( z ) ，所产生的输出分别是 y 0 ( n ) ， y1 ( n ) ，…， y M 1 ( n ) 。这 M 个信
号相加后得到的是信号 x ( n ) 。显然， G0 ( z ) ， G1 ( z ) ，…， G M 1 ( z ) 是综合滤波器组，其 任务是将 M 个子信号 x 0 ( n ) ， x 1 ( n ) ，…， x M 1 ( n ) 综合为单一的信号 x ( n ) 。 前已述及，将 x ( n ) 分成 M 个子带信号后，这 M 个子带信号的带宽将是原来的 1 M 。因

x ( n)
H0(z) H1(z)
x0 (n)
x1 ( n)
↓M ↓M
v 0 ( n)
v1 ( n )
↑M ↑M
u 0 (n)
u1 ( n )
G0(z) G1(z)

HM-1(z)
x M 1 ( n)
↓M
v M 1 ( n )
↑M
u M 1 ( n)
GM-1(z)

ˆ ( n) x
图 6.1.3 M 通道滤波器组 也许读者会问，图中 M 倍抽取后又紧跟 M 倍的插值，二者的作用不是抵消了吗？实 际上不是如此。前已述及，对 x ( n ) 分解成 x 0 ( n ) ， x1 ( n ) ，…， x M 1 ( n ) 后再抽取，得到
H 1 ( z ) ，…， H M 1 ( z ) 的作用是将 x ( n ) 作子带分解，因此我们称它们为分析滤波器组。
将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。 例如， 若图 6.1.1 中的 M 2 ， 那么，在图 6.1.2 中， H 0 ( z ) 的频率特性将分别占据 0 ~
x 0 ( n ) 内， x1 ( n ) 内含有很少的信号能量。这样，我们可对 x 0 ( n ) 仍用 16bit，对 x1 ( n ) 则
用 8bit，甚至是 4bit，由于 x 0 ( n ) 和 x1 ( n ) 的带宽分别比 x ( n ) 减少了一倍，所以， x 0 ( n ) 和
x1 ( n ) 的抽样频率可降低一倍。这样，对 x 0 ( n ) 编码的数据量是 160 Kbit s ，对 x1 ( n ) ，若
M 1



j
2 kl M
r

再记
tl (n)
M 1 l 0
r
x ( r ) p (n r )
l l j
2 kl M
(6.2.5c)
则
k ( n ) t l ( n )e
， k 0,1,, M 1
(6.2.6)
这是一个 M 点的逆 DFT， “时域”与“频域”序号分别是 l 和 k ，它们都在下标上。如果 我们把 M 倍抽取器移到滤波器的前面则可得到如图 6.2.2 的分析滤波器组。
用 4bit， 则数据量为 40 Kbit s 。 总的数据量为 200 Kbit s ， 这比 320 Kbit s 减少了约 37%。 在图 6.1.1（b ）中， M 个信号 x 0 ( n ) ， x 1 ( n ) ，…， x M 1 ( n ) 分别通过滤波器 G0 ( z ) ，

0 ( n ) ，…， M 1 ( n ) ，其目的是在低抽样频率状态下针对它们能量分布的特点给出不同
的处理 （例如编码） 。 这些处理或编码后的信号在送到插值器之前可能要经过很长的传输距 离，因此图中的抽取和插值环节都是必要的。 将信号 x ( n ) 通过分解、处理和综合后得到 x ( n ) ，我们希望 x ( n ) = x ( n ) ，例如，在通
2 km M
m
x(n m)h0 (m)e


j
k (n)
现将 x ( n ) 分成 M 个子序列，令
m
x( Mn m)h (m)e
0
j
2 km M
(6.2.4)
m Mr l ， r ~ ， l 0,1,, M 1
则
k (n ) x ( Mn Mr l )h0 ( Mr l )e


6.2 DFT 滤波器组
均匀 DFT 滤波器组是一种典型的滤波器组， 它的基本思路可推广到其它类型的滤波器 组。DFT 滤波器组有着不同的导出方法[15, 23]，现分别讨论之。
6.2.1 直接导出
在图 6.1.3 的 M 通道滤波器组中，我们先给定一低通滤波器 H 0 ( z ) ，其单位抽样响应 为 h0 ( n ) ，其频带为
H 0 ( e j )
H k ( e j )
H k 1 (e j )
0
2 k M
H 0 ( e j ) H k ( e j )
2 (k 1) M
H k 1 (e j )
2
0
2 k M
2 (k 1) M
2
图 6.1.2 分析滤波器组的频率响应， （a）无混迭， （b）稍有混迭 流为 320Kbit。若 x ( n ) 是一低频信号，也即 x ( n ) 的有效成份（或有用成份）大都集中在

2
和

2
~ 两个频段，前者对应
低频段，后者对应高频段。这样得到的 x 0 ( n ) 将是 x ( n ) 的低频成份，而 x1 ( n ) 将是其高频
150
成份。我们可依据实际工作的需要对 x 0 ( n ) 和 x1 ( n ) 作出不同的处理。例如，若我们希望 对 x ( n ) 编码，设 x ( n ) 的抽样频率为 20KHz，若每个数据点用 16bit，那么每秒钟需要的码
的抽取。图 6.1.3 中的第 k 条支路如图 6.2.1 所示。
x ( n)
hk(n)
x k ( n)
vk ( n )
↓M
图 6.2.1 M 通道滤波器组中的第 k 条支路 由上一章的讨论，有
k (n ) x k ( Mn )
x k ( n ) x ( n ) * hk ( n )

所以
x ( n)
z 1 z z
1
↓M ↓M
x 0 (n)
x1 ( n)
P0(n) P1(n)
1

↓M
M点 t1 ( n ) DFT 矩阵 W*M
t0 (n)
v0 ( n )
v1 ( n ) v M 1 ( n )
x M 1 (n)
t M 1 ( n )
PM-1(n)
图 6.2.2 均匀 DFT 滤波器组 图中 x l ( n ) x ( Mn l ) ， p l ( n ) h0 ( n l ) （注：因为图中将抽取环节移到滤波器的 前面，所以（6.2.2b）式中的 M 可以去掉） ， tl (n ) xl (n ) * pl (n ) 。 现在来分析一下完成图 6.2.2 的运算所需的计算量。 由于 H k ( z ) H 0 ( zWM ) ， 即每一个分析滤波器都是由 H 0 ( z ) 依次移位得到的， 因此，

M
~

M
，即带宽为
2 。设第 k 条支路上的分析滤波器为 H k ( z ) ， M
153
并假定它和 H 0 ( z ) 有如下关系：
hk ( n ) h0 ( n )e
则
j
2 kn M 2 k M
(6.2.1)
k ) H 0 ( zWM )
H k ( z ) H 0 ( ze
第 6 章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念
一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图 6.1.1 所示。
x ( n)
H0(z) H1(z)
x 0 (n)
x1 (n)
ˆ0 (n) x
ˆ1 ( n ) x
G0(z) G1(z)

HM-1(z)

x M 1 ( n ) ˆ M 1 ( n ) x
151

此，它们的抽样率可降低 M 倍。这样，在分析滤波器组 H 0 ( z ) ， H 1 ( z ) ，…， H M 1 ( z ) 后 还应分别加上一个 M 倍的抽取器，如图 6.1.3 所示。图中 H 0 ( z ) ， H 1 ( z ) ，…， H M 1 ( z ) 等工作在抽样频率 f s 状态下，而 0 ( n ) ，…， M 1 ( n ) 是处在低抽样频率状态（ f s M ） 下。我们希望重建后的信号 x ( n ) 等于原信号 x ( n ) ，或是其一个好的近似，那么，首先应 保证 x ( n ) 和 x ( n ) 的抽样频率一致。因此，在综合滤波器组 G0 ( z ) ，G1 ( z ) ，…，G M 1 ( z ) 之前还应加上一个 M 倍的插值器，如图 6.1.3 所示。图中中间部分的信号重新作了定义。 该图即是一个完整的 M 通道滤波器组。 图中 H 0 ( z ) ， H 1 ( z ) ，…， H M 1 ( z ) 的作用一方面是将原 x ( n ) 分成 M 个子带信号， 另一方面是作为抽取前的抗混迭滤波器。同理， G0 ( z ) ， G1 ( z ) ，…， G M 1 ( z ) 一方面起 到信号重建的作用，但实质上是插值后去除映像的滤波器。
152

信中，我们总希望接收到的信号和发送的信号完全一样。当然，要求 x ( n ) = x ( n ) 是非常困 难的，也几乎是不可能的。如果 x ( n ) cx ( n n 0 ) ，式中 c 和 n0 是常数，即 x ( n ) 是 x ( n ) 纯延迟后的信号，我们称 x ( n ) 是 x ( n ) 的准确重建（Perfect Reconstruction，PR） 。实现 PR 的滤波器组就称为 PR 系统。 在图 6.1.3 的系统中， x ( n ) 对 x ( n ) 的失真主要来自如下三个方面： 1. 混迭失真：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开及 x ( n ) 的 抽样频率 f s 不能大于其最高频率成份的 M 倍所致； 2 .幅度及相位失真：这两项失真来源于分析及综合滤波器组的频带在通带内不是全通 函数，而其相频特性不具有线性相位所致； 3. 对 x 0 ( n ) ， x1 ( n ) ，…， x M 1 ( n ) 作 M 倍抽取后再作处理（如编码）所产生的误差 （如量化误差） 。 上述误差来源中，第三种来源于信号编码或处理算法，它和滤波器组无关，因此，我 们在本书中不作讨论。在滤波器组中，研究最多的是如何消除第一和第二两类失真，或是 着重消除其中的一种。在本章，我们则集中讨论和滤波器组有关的一些基本概念，给出相 关的定义与公式。至于滤波器组本身的讨论，则留待第七、第八两章。 除了上面谈到的几种失真外，读者肯定还会问起一个问题：即图 6.1.3 中的 2 M 个滤 波器是否要一一设计？每一路的滤波是否要逐一计算？如果是这样，其设计任务和计算量 岂不是非常大？ 为了回答上述问题，我们用 DFT 滤波器组（这是一种其基本概念为大家所熟知，且又 是均匀的滤波器组）为例来给出相关的内容。