福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检数学试题 扫描版含答案

龙岩市一级达标校2019～2020学年第二学期期末高一教学质量检查

数学试题参考答案

10.（选做：立体几何）

连,AC BD 交于1O ，设AB 中点E

连PE ，则PE ⊥面ABCD ，设2O 是PAB ∆的中心，且213EO PE = 则以12,EO EO 为邻边的矩形的另一顶点设为O ，则O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心

PAB ∆边长为

3,PE ∴=21,O E ∴=1O E =

2,OE ∴=∴设外接球半径为R

则R OB ===

=S ∴球表2428R ππ== 选B

（选做：解析几何）

由已知1212,,(0,0),(3,3)PM C M PN C N C C ⊥⊥ ∴由PM PN =得22

1244PC PC -=- 2222(3)(3)a b a b ∴+=-+-

3a b ∴+=

又22224613(2)(3)a b a b a b +--+=-+-

法（一）

这式子值可看为是定点(2,3)到直线3x y +=

上动点(,)a b 的距离的平方

由直线外定点到直线上动点的距离中，垂直线段最短，

22(2)(3)a b ∴-+-最小值为距离平方 即22

= 选B 法（二）

22222(2)(3)(2)244a b a a a a -+-=-+=-+22(-1)22a =+≥，

当且仅当1a =时取得最小值2 选B

12. 由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===

(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅

2sin ,sin B =∴=

,a b B =是等腰ABC ∆的底角，(0,)2B π

∴∈ ,3B ABC π

∴=∴∆是等边三角形. A 正确

B 不正确：若,,,A B

C

D 四点共圆，则四边形对角互补，

由A 正确知21,cos 3D D π∠=

=-

但由于1,3,DC DA AC ===

22211cos 232

DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅ ∴B 不正确.

C 正确，

D 不正确：

设D θ∠=，则222

2cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-

(106cos )ABC S θθ∆∴=-=- 3sin 2

ADC S θ∆=

S ∴四边形3sin 2ABC ADC ABCD S S θ∆∆=+=

-+

13(sin cos 2θθ=⋅-+

3sin()3πθ=-+

(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈

3,ABCD S <≤+四边形 ∴C 正确，D 不正确 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置．）

13. 23

14. 12 15. 35；n a =232n n - 16. 16. 由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+

sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+

得sin()sin B A A -=

,B A A ∴-=即2B A =

ABC ∆为锐角三角形 2,322B A C A B A ππππ∴=<=--=-<

,cos (642A A ππ

∴<<∴∈ sin 2sin cos

2cos sin sin b B A A A a A A ∴===∈ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

17. （本小题满分10分）（选做：立体几何）

（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .

底面ABCD 为菱形，

O ∴为BD 的中点． ……………………………………………………………………1分 又E 为PD 的中点，

//EO PB ∴. ……………………………………………………………………3分 又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， //PB ∴平面AEC .…………………………5分 （2）底面ABCD 为菱形，

BD AC ∴⊥，………………………6分

又PC ⊥平面ABCD ，

PC BD ∴⊥，………………………7分

又PC AC C =，

BD ∴⊥平面PAC ， …………………………………………………………………9分 又BD ⊂平面PBD ，

∴平面PBD ⊥平面PAC …………………………………………………………10分

17. （本小题满分10分）（选做：解析几何）

（1）AB 边所在直线的方程为240x y --=，且AD 与AB 垂直，

∴直线AD 的斜率为2-．………………………………………………………………2分 AD ∴边所在直线的方程为022=++y x ………………………………………………5分

（2）矩形ABCD 两条对角线的交点为302

M （，）， M ∴为矩形ABCD 外接圆的圆心，又

52DM ==…………8分 ∴矩形ABCD 外接圆的方程为22325()24x y -+=

． ……………………………10分 18. （本小题满分12分）

（1）由已知得4cos cos b C b a C a ⋅⋅⋅=

，……………………………………………………2分 又2C π

≠，即cos 0C ≠，则24a =，2a ∴=.……………………………………6分

（2）角,,B A C 成等差数列，则3

A π=

， ………………………………………………8分 又2222cos a b c bc A =+-， 则22222()()3()324b c b c a b c bc b c ++=+-≥+-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，……………………10分 又2a =，故4,b c ABC +≤∆周长的最大值为6，……………………………………11分 当且仅当2b c ==时等号成立. ………………………………………………………12分

19. （本小题满分12分） P

B C D A E

O