勾股定理 全章

证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
在从“面积到乘法公式” 一章的学习中，我们把几个图形拼 成一个新的图形，通过图形面积的 计算得到了许多有用的式子。这节 课同样地我们用多种方法拼图验证 了勾股定理，你有什么感受？
例题分析
例 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a；
证 明 一
1 ab 2
(3)
(a-b)2
(4)
=
C2－4×
a2+b2－2ab = c2－2ab
可得：a2 + b2 = c2
b
a
c b (a+b )2
证 明 二
a
c
1 = c 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
c
b a b
a
可得: a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示?
G
D A C
H
B1
F
B3
G
B2
A
C
D
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、 宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm， A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上 有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请 你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶 面爬到B点，最短线路是多少？
A A
B
解：台阶的展开图如图：连结AB 在Rt△ABC中根据勾股定理 AB2=BC2＋AC2
有一个圆柱,它的 高等于12厘米,底面 我怎么 半径等于3厘米,在圆 走会最 近呢? 柱下底面上的A点有 一只蚂蚁,它想从点 A爬到点B , 蚂蚁沿 着圆柱侧面爬行的 A 最短路程是多少? (π 的值取3)
B
B
高 12cm
9cm
B
A
∵
A
长18cm (π的值取3)
AB2=92+122=81+144=225=
152
∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
探索与提高：
如图所示，现在已测得长方体木块 的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一 只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处， 一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对 的顶点B处。 H B
G F
D A C
（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的 表面向上爬，它要从点A爬到点B处，有无 数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该 沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最 短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗？ （2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问 蜘蛛沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能 H B 迅速地抓到苍蝇？ F
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
1 4 4 3 1 2
（面积单位） 25
A
C
B
图3-1
C
A
B
图3-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
1 2 7 1 （ ） 2
一块长3m、宽2.2m的薄木板能否从 门框内通过?为什么?
D
C
解：连接AC，在Rt△ABC中根据 勾股定理：
2m
∵ AC AB BC
2 2
2
1 2 5
2 2
A
1m
B
AC 5 2.236
思考题 1（05、江苏宿迁）如图，
将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、 高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体 无盖盒子中，则细木棒露在盒外面 的最短长度是 ㎝． C
弦 c
股 b
a 勾
┏
2+b2=c2 a
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
c
c b

a2 + b2 = c2
证明八
证明八
证明八
证明八
证明八
证明九
a2
b2
证明九
证明九
证明九
证明九
a2 + b2 = c2 c2
证明九
证明九
证明九
拼 图 游 戏
拼图游戏
无字证明
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
青出
④
⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
青朱出入图
青出
41 (2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 24 4.8 _____,斜边为上的高为______.
3．若等腰三角形中相等的两边 长为10cm,第三边长为16 cm,那 么第三边上的高为 ( )D
A.12 cm C. 8 cm
证明三
c2
a2
b2
对比两个图形,你能直接观察验 证出勾股定理吗？
a2
a2 c2 b2 a 2 + b 2 = c2
证明六 證明
c
印度婆什迦羅的
b a
c2 = b2 + a2
证明七 “总统”证法
a
b ½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2×½ab a2 + 2ab + b2 = c2 +2 ab a
B
O A
实数
一一对应
数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A -2 -1 B 0 C 1 2 D
点A表示
点C表示
2
2 点B表示 3
点D表示
1
7 3
图1中的x等于多少? 图2中的x、y、z等于多少?
1 1
x 1 图1
1
2
z
y x 1 图2 1
在数轴上画出表示 2 的点
步 1、在数轴上找到点A,使OA=1; 骤： 2、作直线l⊥OA于点A,在l上取一点B， 使AB=1; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧， 弧与数轴交于C点，则点C即为表示 2 l 的点。 ∴点C即为表示 2 的点 B
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
做一做：
A
625 P
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
AC=__________ 15
C
400
1
1
美丽的勾股树
＝552＋482＝5329
∴AB=73cm
C
B
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没 有了水，需要寻找水源．为了不致于走 散，他们用两部对话机联系，已知对话 机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先 出发，他以6千米/时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以5千米/时的速度向 北行进，上午10：00，甲、乙二人相距 多远？还能保持联系吗？
A
C
B
图3-1
C
25 （面积单位）
A
B
图3-2
思考：面积A，B， 把C“补”成边长为7的 正方形面积加1单位面 C还有上述关系 积的一半 吗？
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 正方形的面积吗？
（2）你能发现
A
C
B
图3-1
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
A
B
图3-2
C A B C 图2-1 A B
S正方形c
1 2 6 2
（单位面积） 18
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
C A B C 图2-1 A B
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
思考
如图,一个三米长的 梯子AB,斜靠在一竖 直的墙AO上,这时 AO的距离为2.5m,如 果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子 底端B也外移0.5m吗?
A
C
O
B
D
某楼房三楼失火， 消防队员赶来救火， 了解到每层楼高3米， 消防队员取来6.5米 长的云梯，如果梯 子的底部离墙基的 距离是2.5米，请问 消防队能否进入三 楼灭火?
图1-2
看 一 看
发们 映 友 现， 直 家 什我 角 作 相 么们 三 客 传 ？ 也 角 ， 25 来 形 发 00 观三现年 察边朋前 下的友， 面某家一 的种用次 图数砖毕 案量铺达 ，关成哥 看系的拉 看，地斯 你同面去 能学反朋
（1）观察图2-1
C A B C 图2-1 A B
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。 正方形B的面积是
9 个单位面积。
正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。
C A B C 图2-1 A B
S正方形c
1 4 3 3 18 2
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
青 入
青方
青 出
朱入 朱入
朱 朱 出 朱方 出
华罗庚
青入
青出
证明十
II
I III
注意：
面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2
证明十
I
II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
I III II
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
图1-1
A
B
2.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测
得内部底面直径为5㎝，高为12㎝， 吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝， 问吸管要做多长？
C
A
B
探索2 如图,一架长为10m的梯子AB斜靠在
墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如 果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也 滑动1 m?
A
A 8
10
C
B B
所以梯子的顶端下滑1m，它的底 端不是滑动1m.
B. 10 cm D. 6 cm
应用 知识 回归 生活
想一想：
46厘米 58厘米
小明妈妈买了一部 29英寸（74厘米）的电 视机，小明量了电视机 的屏幕后，发现屏幕只 有58厘米长和46厘米宽， 他觉得一定是售货员搞 错了。你同意他的想法 吗？你能解释这是为什 么吗？
探索1、一个门框的尺寸如图所示，
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2+b2=c2 a
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ a b
Sa+Sb=Sc
c
2+b2=的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
小结
①本节课学到了什么数学知识？ ②你了解了勾股定理的发现方法了吗？ ③你还有什么困惑？
作业
教材第77页习题18.1第1、2、3题
勾股定理:
a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b2 a2
C b
(1)
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
c c
a
(2)
(a-b)2 (3) (2) c c
(4) 已知: a:b=3:4,
(2)可用勾股定理建立方程.
c=15,求a、b.
方法 (1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; 小结
课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12, 则BC=13 ( )

2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=____,b=___. 6 8