混沌与分岔 ppt课件
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
分岔与混沌
化会引起特征值的变化，当控制参数达到分
岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它
可以表现为 ( ) 在复平面的运动。由此也可以
定义三种分岔类型:
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叉型分岔
霍普分岔
特征值 为
实数，沿复
平面的实轴由
负变正穿过虚
轴。
平衡点
x 0 和 x＝ ,
x 0,
而对应特征值则为
0
0
x2
对于图3，当 c时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当 c时，这
一支就变得不稳定了；一旦当 c 有新的平衡分支解 x 又变成稳
定的了，这种情况被称为超临界分岔。反过来，若新的平衡分支解x
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庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
考虑微分方程
x=f（x），x∈Rn
（1）
设f（x）足够光滑，且f（0）=0。
现在研究对于某个给定正整数r≥2，通过坐标的多项式变换，
使得在f的泰勒展开式中直到r次的项都有比较简单的形式。
庞加莱伯克霍夫范式定理 设f（x）是Cr向量场（r≥2），f
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庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
需要注意：
1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。
2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结
构往往有密切的关系，但并不一定相同。一般来说，对于
给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反映原系统的定
性性态仍然是一个未完全解决的问题。
3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通
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D log N(r) 或 log(1/ r)
DlimlogN(r) r0 log1(/ r)
一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫 维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此
时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人
把该维数称为分数维。
奇怪吸引子
奇怪吸引子又叫分形吸引子，因为它们都是相空间的分形点集， 不能用传统的规则几何图形表示。一个耗散系统的相空间当时间 趋于无穷大时，如果收缩到一个非整数维的点集，这就是一个奇 怪吸引子。
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蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。 Nhomakorabea伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
xn1axn(1xn)
它经常被用来描述没有世代交叠的昆虫群体的繁殖 演化，称为虫口模型。a为控制参数，虫口数x为状 态变量，xn为第n代虫口数，虫口模型给出第n代虫 口与第n+1代虫口的关系，知道n代虫口就可以按 逻辑斯蒂方程计算第n+1代虫口。
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非周期定态
在奇怪吸引子上的运动是系统的一种稳 定定态行为。 在奇怪吸引子上的运动具有回归性，但 混沌的回归性是不严格的，是非周期的。 非周期运动也可能是定态行为，非周期 定态未必都是混沌。
｛ ｛ 回归性
严格的周期性 周期性
准周期性
｛混沌式非周期
非周期性
非混沌式非周期
非线性回归 完备分类
对初始条件的敏感依赖性
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。
洛伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
“上帝的指纹”
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
在离散系统中，通常取逻辑斯蒂方程为典型系 统。
Logistic Equation：
x n 1 a x n (1 x n ) 或
xn1 1 x 2
虫口模型
逻辑斯蒂方程在生态学中的应用是无世代交叠的 虫口系统，x为状态变量，a或λ为控制变量。方程 给出第n代虫口数与第n+1代虫口数的确定性关系。 0<x<1， 0<a<4
数学中的混沌动力系统与分岔理论
在数学领域中，混沌动力系统与分岔理论是两个重要而引人注目的主题。
混沌动力系统是指那些对初始条件极其敏感，呈现出难以预测和复杂演化的系统。
分岔理论则是研究系统从一个稳定状态突变为多个稳定状态的过程。
这两个理论在许多领域都有广泛的应用，从自然科学到社会科学，深深地影响了人们对系统运行和演变的理解。
混沌动力系统最早是由美国气象学家、数学家爱德华·洛伦兹在1960年代中期提出的。
他的研究工作主要集中在研究大气运动模型。
在这个系统中，初始条件的微小变化会引起模型的输出结果相差甚远。
这引发了洛伦兹的兴趣，他将这种现象命名为“蝴蝶效应”来形容起初微弱的变化可能会引发大规模的效应。
洛伦兹在混沌动力系统的研究中发现了奇异吸引子的存在，这是一种引导系统演化过程的特殊性质。
奇异吸引子在混沌动力系统理论中起着重要的作用，它不仅提供了对系统行为的定量描述，同时也揭示了系统中的复杂结构。
分岔理论则着重研究系统的稳定性突变过程。
分岔是指当系统参数发生细微变化时，系统从一种稳定状态突变为另一种稳定状态的现象。
最著名的分岔是“费根鲍姆分岔”，早在19世纪末由法国数学家亨利·费根鲍姆提出。
他发现简单的非线性方程可能引起系统从一个稳定状态到周期运动，然后到混沌。
这种突变行为使得分岔理论成为许多自然现象的重要解释机制，例如生物进化、气候变化等。
混沌动力系统和分岔理论在现代科学中有广泛的应用。
在天气预报中，混沌动力系统理论帮助科学家们理解气象系统的复杂行为，进而提高了预测的准确性。
在物理学中，混沌动力系统的研究揭示了粒子运动的随机性和确定性之间的微妙平衡。
在生物学中，分岔理论帮助研究者理解进化过程中物种数量的突变和物种多样性的起源。
在社会科学中，混沌动力系统的影响范围更加广泛，从经济学到心理学，都有许多应用案例。
总之，数学中的混沌动力系统与分岔理论是对系统运行和演化进行研究的重要工具。
混沌动力系统的研究揭示了系统的复杂性和不确定性，而分岔理论则研究了系统从一个稳定状态到多个状态的突变过程。
分岔ppt课件
2 .平方映射的不动点
<1时走向不动点 A
当参数<1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管
初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次 数 n 的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽 然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。
2 .平方映射的不动点
准备:
1. 建立坐标系 x n1 ~ x n
2. 作条抛物线：
x n1 x n (1 x n )
3. 作对角线，称恒等线
x n1 x n
通过它做投影。
1.平方映射
作图计算
平方映射 x n1 x n (1 x n ) 在 x n1 ~ x n 平面上是一条抛物线， 抛物线高度由 值决定。
d 2x dt 2
k x
x3
0
由势能曲线知：
a. 在 k 时0仅有一个平衡点：
x 0
b.在 k时存0 在三个平衡点：
x0 x k
可见在参数 k = 0 处发生了一次从单解
转为三解的叉式分岔。
c.在这三个平衡点中， x ， 处k
在势能极小点，是稳定的； x 处0 在势
能极大点，是不稳定的平衡点。
4 霍夫型分岔
一、从横坐标 x0 处作竖直线 与抛物线相交，这点的纵坐标 高度即为 x1;
二、从此点作水平线与对角线 相交，此交点横坐标即为x1；
三、再由此点作竖直线，得到 与抛物线相交时的高度x2，再 将x2移植到对角线上，找到横 坐标x2。从这里作竖直线与抛 物线相交得x3，如此反复······
1.平方映射
对于稳定的不动点，应有 e n+1 e n , 即： m 1
常微分方程的分岔和混沌现象
常微分方程的分岔和混沌现象在数学中，常微分方程是一种可以描述物理现象的数学模型。
它可以用来研究物体的位置、速度和加速度之间的关系，以及变化的趋势。
常微分方程的分岔和混沌现象是该领域中的一个重要的课题，本文将从这个角度来深入探讨。
一、什么是常微分方程的分岔？在物理现象中，往往有一些参数是可以改变的，比如弹簧的弹性系数，转动惯量等等。
在数学模型中，这些参数往往以某个常数的形式出现，我们称之为控制参数。
当控制参数发生微小变化时，数学模型的解也会发生微小的变化。
分岔就是指，当控制参数发生连续或突然的变化时，数学模型的解出现了明显的差别，显示出了不同的行为特征。
例如，当控制参数发生小变化时，物理现象可能在一个稳定的状态下来回振动，而当控制参数的值超过某个特定的临界点时，物理现象会出现混乱的不规则波动，这就是分岔现象。
二、什么是混沌现象？混沌现象是指，当物理现象受到微小的扰动时，它的运动过程变得高度不稳定和不可预测。
这种不可预测的现象表现为波动或震荡的不规则运动，这种不规则运动又称为混沌运动。
混沌现象在物理、化学、生物等多个领域中都有应用。
三、常微分方程的分岔与混沌现象之间的关系分岔是混沌现象的前提条件之一。
通过调整控制参数，一些数学模型可以表现出非常有规律但是复杂的行为。
随着控制参数的改变，它们会经历一系列的分岔，最终出现混沌现象。
例如，著名的洛伦兹系统，通过改变其参数，可以很容易地使方程产生分岔，最终出现混沌现象。
四、常微分方程的分岔和混沌现象的应用常微分方程的分岔和混沌现象在很多领域都有应用。
在物理领域中，这些现象可以用于描述流体、气体等的运动方式，从而帮助物理学家更好地理解它们的性质和行为。
在经济学中，常微分方程的分岔和混沌现象可以用来研究经济模型中的行为和趋势，以更好地预测和管理经济的发展。
在生物学中，常微分方程的分岔和混沌现象可以用于描述细胞生长和病毒传播的方式，为人们提供更好的治疗和预防方法。
分岔、拟周期与混沌现象
(7 6)
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
7.2 非线性电路的分歧 南京理工大学自动化学院sunjh
d u1 d du2 d du3 d
2 1 0
1 2 1
k u1 1 u 2 1 u3
混沌现象
非线性电路中的平衡点、周期解、拟周期的共同特征：
1、完全确定性； 2、解对初值的不敏感； 3、对周期解和拟周期解，频谱是离散的； 4、对于周期激励的电路，无论解是周期振荡或是拟周期 振荡，当选取激励信号的周期作等间隔横截其响应时，周 期信号在横截面表现为一个点，或m个点，一个点称周期1， m个点称周期m；拟周期则是一个无限填充的封面椭圆。这 种截面称为庞卡莱截面。
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
7.3
非线性电路中的拟周期现象 南京理工大学自动化学院sunjh
7.3
非线性电路的分歧 主要内容
1、分歧
2、过临界分歧
3、叉形分歧
4、Hopf分歧
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
7.4 混沌现象 南京理工大学自动化学院sunjh
7.4
局部分歧：讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。
全局分歧：研究大范围内拓扑结构的变化。 静态分歧：鞍结分歧、跨临界分歧等。
动态分歧：霍普夫（Hopf）分歧、闭轨分歧、环面分歧、同 宿或异宿分歧等等。
只有平衡点是非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
所谓确定的电路，是指所有元件参数全是确定的，不含任何随机 因数。
分岔与混沌
3 典型实例
2016/4/3
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典型实例
3.1 叉型分岔
典型实例是
x x3 x( x2 ) x
（1）
上式中，x 是实数， 是可正可负的参数，令 x =0，可知方程(1)的定态平衡 解是
x 0, x 0和 x ,
•中心流形法
•李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）
•幂级数法 •摄动法 •Shilnikov法 •数值法
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奇异性理论方法
奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化 为较简单的范式（Normal Form）进行识别和分类，再通 过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态， 随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分 叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应 用奇异性方法。 该方法参考：
2016/4/3
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十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔， 而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它 们在分岔点均满足：
d [Re( ( )] 0 d
2016/4/3
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2.静态分岔和动态分岔 静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和 稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等； 动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡 点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周 期分岔）等。 3. 局部分岔和全局分岔 局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构 如何发生变化。全局分岔则分析向量场的大范围的 拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔都属于局部分岔 ，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局 分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局 分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对 局部分岔的研究就显得尤为重要。 机械系统与振动国家重点实验室
分岔与混沌
092071201 李慧丽一类分支出十二个小振幅极限环的三次多项式系统刘一戎 黄文韬这是一篇刘一戎老师和黄文韬老师的论文，该文研究一类三次系统的小振幅极限环问题，用奇点量的的方法计算焦点量，得到了一类三次多项式系统在细焦点分支出12个小振幅极限环的结论。
奇点量的表达式是相对简单的，极限环存在性的证明过程是准确的符号运算。
下面是原文内容的译文。
1 引言在平面微分系统定性理论中，下列多项式系统的极限环分支问题是一个众所周知的困难问题这个问题属于Hilbert 第十六问题的第二部分。
最近的综述文章[1]给出了这个问题的最新进展。
令H(n)表示n 次多项式系统(1)的最大极限环个数，则文[3]证明了H(2)≥4。
文[7，9，37]给出了H(3)≥11。
最近，P.Yu 和韩冒安[10]利用正规型理论研究下列关于原点对称的三次多项式系统：其中22112030312140,,,,,,,2aa b a a a b b a b b b a a b+≠>==-=-=-= 2422212121222212(10101)(40329)2()10(221)a b b ba b b a b a b b b ba +---+=-+--。
发现了这个系统有12个小振幅极限环。
在这12个小振幅极限环中有6个由焦点(0,1)分支出，另外6个由其对称的焦点(0,-1)分支出。
这个结果是迄今为止关于三次多项式系统极限环分支的最好结果。
但我们也看到该文的关于系统(2)的第五个和第六个个焦点量太长，以至无法在正文中表出，而且在极限环存在性的证明中采用了数值近似计算。
我们设想能否将这两点改进？在本文中，我们研究了如下的三次多项式系统的极限环分支问题：这里δ，(1,2,3,4,5)i A i =为实常数。
这个系统关于原点对称，且有两个对称的焦点(1,0)和(-1,0)。
通过奇点量和焦点量的计算，我们用两种方法证明了该系统有12个小振幅极限环，其一的精确地构造了Poincar é后继函数，导出该系统有2m(m=1，2，…，6)个小振幅极限环的一般结论，存在12个极限环则为结论中的一种情形；其二是用文[45]的极限环存在的一个充分条件定理，构造出半径加速递减的极限环，从而得出结论。
第6章 混沌与分岔ppt课件
BIT
PEMC
1. 对初值的敏感性
混沌的特点
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流体块中的对流为模型，提出了著名的 Lorenz 方程。 Lorenz 用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的 研究得到迅速发展，如
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；
Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
BIT
PEMC
混沌概念
混沌，英文为 chaos ，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首先 提出。 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
分岔现象最早来源于 1729 年 Musschenbrock 对压杆失稳实 验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分 岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研 究的重要动力。 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究 中发现大量的分岔现象。 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性 分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
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混沌的特点
1. 对初值的敏感性
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。
1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流 体 块 中 的 对 流 为 模 型 ， 提 出 了 著 名 的 Lorenz 方 程 。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏pp感t课件性，就是著名的蝴蝶效应。 11
n
lim sup f (n) (x) f (n) ( p) 0, x S, p为周期点
n
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则称 f 在S上是混沌的。
混沌的概念
Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道；
2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；
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混沌的特点
7. 奇怪吸引子
相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面） 相空间的子集合 又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它
表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变化; 具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展
2. 混沌的概念
3. 混沌的特点
4. 混沌现象举例
5. 分岔的概念
6. 混沌的研究方法
7. 分岔的研究方法
8. 混沌在现代科技领域的应用
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混沌与分岔的起源与发展
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
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4. 分形性
混沌的特点
分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特 性。
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混沌的特点
5. 普适性
普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
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混沌的特点
6. 遍历性
遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混 沌区域内任何一点。
Li-Yorke定理：
设连续自映射 f : I I R ，I 是 R 的一个闭区间，如果：
① 存在一切周期的周期点；
②存在不可数子集S，S不含周期点，使得 118
lim sup f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
n
lim inf f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
混沌的特点
2. 内在随机性
确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌； Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
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混沌的概念
混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。
三个质量相同的物体呈直线等距离排列，两端物体绕 中间物体做圆周运动。
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拉格朗日
三个等质量的物体，排成等边三角形绕三角形的中心做 圆周运动。
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近代计算机运算
三个等质量的物体在一条“8”字形轨道上运动。 ppt课件 ------宇宙中还没找到。 6
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研 究得到迅速发展，如：
混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
n周 期 轨道的定义： 当 x0为 f 的一个 n周期点 时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重
要特征之一。
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混沌的特点
3. 长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
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直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
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三体问题的进展
16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单特解即特 殊情况下