混沌与分岔 ppt课件
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Li-Yorke定理：
设连续自映射 f : I I R ，I 是 R 的一个闭区间，如果：
① 存在一切周期的周期点；
②存在不可数子集S，S不含周期点，使得 118
lim sup f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
n
lim inf f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
13
4. 分形性
混沌的特点
分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特 性。
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14
混沌的特点
5. 普适性
普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
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混沌的特点
6. 遍历性
遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混 沌区域内任何一点。
直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
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3
三体问题的进展
16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单特解即特 殊情况下的简单稳定运动轨道。
欧拉
混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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8
混沌的概念
n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
n周 期 轨道的定义： 当 x0为 f 的一个 n周期点 时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
混沌的特点
2. 内在随机性
确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
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混沌的特点
7. 奇怪吸引子
相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面） 相空间的子集合 又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它
表示系统的来自百度文库态随时间呈无规则的非周期变化; 具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，
混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重
要特征之一。
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混沌的特点
3. 长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
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三个质量相同的物体呈直线等距离排列，两端物体绕 中间物体做圆周运动。
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4
拉格朗日
三个等质量的物体，排成等边三角形绕三角形的中心做 圆周运动。
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5
近代计算机运算
三个等质量的物体在一条“8”字形轨道上运动。 ppt课件 ------宇宙中还没找到。 6
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研 究得到迅速发展，如：
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展
2. 混沌的概念
3. 混沌的特点
4. 混沌现象举例
5. 分岔的概念
6. 混沌的研究方法
7. 分岔的研究方法
8. 混沌在现代科技领域的应用
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2
混沌与分岔的起源与发展
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
3. 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
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10
混沌的特点
1. 对初值的敏感性
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。
1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流 体 块 中 的 对 流 为 模 型 ， 提 出 了 著 名 的 Lorenz 方 程 。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏pp感t课件性，就是著名的蝴蝶效应。 11
n
lim sup f (n) (x) f (n) ( p) 0, x S, p为周期点
n
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则称 f 在S上是混沌的。
混沌的概念
Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道；
2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌； Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
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7
混沌的概念
混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。
设连续自映射 f : I I R ，I 是 R 的一个闭区间，如果：
① 存在一切周期的周期点；
②存在不可数子集S，S不含周期点，使得 118
lim sup f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
n
lim inf f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
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4. 分形性
混沌的特点
分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特 性。
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混沌的特点
5. 普适性
普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
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混沌的特点
6. 遍历性
遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混 沌区域内任何一点。
直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
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三体问题的进展
16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单特解即特 殊情况下的简单稳定运动轨道。
欧拉
混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
n周 期 轨道的定义： 当 x0为 f 的一个 n周期点 时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
混沌的特点
2. 内在随机性
确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
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混沌的特点
7. 奇怪吸引子
相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面） 相空间的子集合 又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它
表示系统的来自百度文库态随时间呈无规则的非周期变化; 具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，
混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重
要特征之一。
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混沌的特点
3. 长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
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三个质量相同的物体呈直线等距离排列，两端物体绕 中间物体做圆周运动。
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拉格朗日
三个等质量的物体，排成等边三角形绕三角形的中心做 圆周运动。
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5
近代计算机运算
三个等质量的物体在一条“8”字形轨道上运动。 ppt课件 ------宇宙中还没找到。 6
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研 究得到迅速发展，如：
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展
2. 混沌的概念
3. 混沌的特点
4. 混沌现象举例
5. 分岔的概念
6. 混沌的研究方法
7. 分岔的研究方法
8. 混沌在现代科技领域的应用
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混沌与分岔的起源与发展
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
3. 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
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混沌的特点
1. 对初值的敏感性
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。
1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流 体 块 中 的 对 流 为 模 型 ， 提 出 了 著 名 的 Lorenz 方 程 。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏pp感t课件性，就是著名的蝴蝶效应。 11
n
lim sup f (n) (x) f (n) ( p) 0, x S, p为周期点
n
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则称 f 在S上是混沌的。
混沌的概念
Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道；
2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌； Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
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混沌的概念
混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。