培优--整式的乘除法

整式的乘法与除法

数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪,便于将灵魂从变化的世界转向真理的存在。

——柏拉图《理想国》 知识枞横

指数运算律是整式乘除的基础,有以下四个：

n m n m n m n mn n m n m a a a b a ab a a a a -+=÷===•,)(,)(,b n m 。学习指数运算律应

注意:

1．运算律成立的条件;

2．运算律字母的意义:既可以表示一个数,也可以是一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用。

多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展,方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：

1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列,如有缺项,要留空位； 2．确定商式、竖式演算式，同类项上下对齐;

3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止。

【例题1】（1）把6

21x ）

（+-x 展开后得022********...a x a x a x a x a +++++，则024681012a a a a a a a ++++++= ;

（“祖冲之杯”邀请赛)

（2）已知882210322)2(...)2()2(71

+++++++=-+x a x a x a a x x ）（）（，则7654321a a a a a a a +-+-+-= ;

(“祖冲之杯”

邀请赛)

思路点拨 我们很难将相应多项式的展开式写出,因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的，事实上,上列等式在的x 允许值范围内取任何一个值代入计算,等式都成立，考虑赋值法解。 [例２］已知,200025x =,200080y =则y

x 1

1+等于（ ) A ．２ B. 1 C ．

21 D.2

3 (“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 因x 、y 为指数,我们目前无法求出x 、ｙ的值,

xy

y x y +=+1x 1，其实只需求出xy y x 、+的值或他们的关系，自然想到指数运算律。 [例3]已知,12=+x x 求200522234+--+x x x x 的值。

（“华赛杯”邀请

赛试题)

思路点拨： 恰当地运用条件，把高此项用低次多项式表示，如

12)1()1(,x -12232-=--=-=-=⋅==x x x x x x x x x x x 等。

［例4]设d c a 、、、b 都是自然数，且,17,,2345=-==c a d c b a 求b -d 的值。 （上海市普陀区竞赛题)

思路点拨 设6232045,n d c m b a ====,这样b 、a 可用m 的式子表示，d 、c 可用n 的式子表示,减少字母的个数，降低问题的难度。

[例5］已知多项式b x ax x x +++73-2234能被22-+x x 整除，求

b

a

的值。 (北京市竞赛题）

【例６】 (1） 在2０0４、20０5、20０6、200７这四个数中， 不能表示为两个

整

数

平

方

差

是

_

＿

＿

＿

＿

_.

(第10届江苏竞赛题） (2) 已知（200０-a)(1９9８-a)＝1999,那么，

=

＿___＿_＿__.

(重庆竞赛题)

思路点拨: （１）

,m+n,m-n 的奇偶性相同,这是解本例

题的基础。 （2)视(２０00-a ）•(1９9８-a ）为整体,•由平方和想到完全平方公式及其变形

【例7】(1) 已知ａ、ｂ、ｃ满足,，,

则a+b+ｃ的值等于( ).

A. ２ B ． 3 C. 4 D.５

学力训练 基础夯实

1．(1）=⨯

1-25.0-423

21）（ 。 (2)若3a 2=n ,则=-12a 6n 。

２．如图，甲类纸片是边长为２ 的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙

类纸片是长、宽边长分别是２和1的长方形．现有甲类纸片１张，乙类纸片4张,则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形.

（2０1１浙江省湖州市中考题)

3．满足

x 31x 300200

的）（>-最小正整数为 。(武汉市选拔赛试题)

4．杨辉三角是一个由数字排列的三角形数表,一般形式如图所示,其中每一横行

都表示n

b ）（+a （此处6,5,4,3,2,1,0=n )的展开式中的系数。杨辉三角最本质的特

征是,它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

1

1 2 １ﻫ 1 3 ３ １ 1 4 6 4 1

1 5 １0 １０ 5 １ﻫ 1 6 １5 20 15 ６ 1

1b a 0

=+）（ b a +=+1b a ）（

8. 已知a2=3, b2＝1２，则ａ，ｂ,c的关系为( )

A. 2ｂ<ａ＋ｃ

B. 2b=a＋c

C. ２ｂ＞a＋c

D. a+b>ｃ

ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(河北竞赛题)

9.已知６2x－7xy-32y＋14x+y+ａ=(2ｘ-３y+b)(3ｘ＋y＋c), 试确确定ａ,b,

ｃ的值

10. 设a， b,c,d都是正整数，并且5a＝4b,3c=2d,c-a=1９,求d-b的值。

ﻩﻩﻩﻩﻩ (江苏省竞赛题)

１1．已知3x+ｋ2x+3除以x+3,其余数较被x+1除所得的余数少２，求k的值

ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(第19届香港中学竞赛题)

12．已知+2ab＋=0,那么，代数式，a(a+4b)-(ａ＋2b)(ａ-2b)的值为＿_

＿_＿______＿_＿___.

ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(2０１１年北京中考题)

13.若非零实数,a,b（a）,满足，

则=_＿_____．

14. 计算